4 Ulteriori aspetti dell’ integrazione

Si ringrazia il prof. Juan Gabriel Brida dell’Universit`a di Bolzano

1 DIFFERENZIAZIONE

1. Calcolate la derivata prima delle funzioni seguenti:

(a) f (x) = x + 2

(b) f (x) = x³+ 3x²+ x + 7 (c) f (x) = 2

√x +√³ x

(d) f (x) = e^x+ ln x (e) f (x) = 2x + 1

x²³ −3 x (f) f (x) = x ln x (g) f (x) = e^xln x

(h) f (x) = 8x²+ 1 x³− 8 (i) f (x) =√³

xe^x (j) f (x) = −2

ln x

(k) f (x) = e^x x³

(l) f (x) =

√x− 1 x− 1 2. Calcolate la derivata delle funzioni seguenti:

(a) f (x) =√

x²+ 4x + 1 (b) f (x) = xe^x1

(c) f (x) =√ e^2x+ 1

(d) f (x) = x√ e^2x+ 1

(e) f (x) = ln²(2x + 1) x³

(f) f (x) = e^−2x− 1 e^3x− 1 (g) f (x) =

√x²− x + 5 x+ 2

(h) f (x) =pe^{3 x}ln |x|

(i) f (x) = x√ 1 − x²

3. Per ognuna delle seguenti funzioni-diversamente definite a seconda del segno di x- stabilire se f (x) `e continua e differenziabile in x = 0:

(a) f (x) =

(1 − x se x ≥ 0

2x²− x − 2 se x < 0 (b) f (x) =

(3x²+ 2x se x ≤ 0 ln√

1 + 4x se x > 0 (c) f (x) =







ln (x + 3) se x ≥ 0 x²+ 6x + 9

18 se x < 0 4. Per ognuna delle seguenti funzioni trovare i punti stazionari , e determinare per quali valori di x essa `e crescente o

decrescente:

(a) f (x) = ¹₃x³−2x²+3x+1 (b) f (x) = ²₃x³−¹2x²−x−1 (c) f (x) = x − e^x (d) f (x) = x + ln x.

5. Trovare i massimi e minimi per ognuna delle seguenti funzioni di x nell’ intervallo specificato:

(a) f (x) = x³− 3x + 8 [−1, 2].

(b) f (x) = x²− 27 x− 6 [0, 5]

(c) f (x) = (x − 1)³ [−1, 3]

(d) f (x) = 3x⁴− 4x³− 12x²[−1, 3]

(e) f (x) = x³

x⁴+ 27 [−4, 4]

(f) f (x) = 2x²

x⁴+ 1] − ∞, +∞[

6. Decidere per quali valori di x le seguenti funzioni sono convesse e determinare gli eventuali punti di flesso:

(a) f (x) = x⁴

(b) f (x) = x x²+ 1

(c) f (x) = 1 − x 1 + x

(d) f (x) = x²e^x

(e) f (x) =1 9x³−1

6x²−2 3x

(f) f (x) = 2x³− 3x²

(g) f (x) = e^x+ e^−x 2

(h) f (x) = 2x − 3 + 4 ln |x|

(i) f (x) = −2x + e^−x

7. Per ogni f (x): (i) trovare i valori estremanti di x in corrispondenza a cui f ha massimo/minimo locale, determinando dove essa `e crescente/decrescente; (ii) decidere dove `e convessa/concava e determinare gli eventuali punti di flesso:

(a) f (x) = −x³+ 3x²+ x + 4 (b) f (x) = −2x³− 3x²+ 3x + 7 (c) f (x) = x³− 4x + 16

8. Determinare quale delle seguenti funzioni f (x)`e dotata di inversa, e, in caso affermativo, rappresentare sullo stesso diagramma f ed f⁻¹:

(a) f (x) = 2x + 3 (b) f (x) = x³ (c) f (x) = x⁴

(d) f (x) = x⁵

(e) f (x) = x²+ 2x + 1, x > 0 (f) f (x) = e^x−1

(g) f (x) = log(x²), x 6= 0 (h) f (x) =√

x²− 1, −1 ≤ x ≤ 1

1

9. Dimostrare che la funzione definita per ogni x ∈ R da: f(x) = x⁷+ x³− 3x²+ 3x + 9 `e invertibile.

2 REGOLA DI DE L’HOSPITAL BERNOULLI

Tramite la regola di De L’Hospital Bernoulli calcolare i limiti delle seguenti forme indeterminate:

1. lim

x→0

1 −√ 1 − x x 2. lim

x→0

√3

1 + x − 1 x 3. lim

x→0

e^2x− 1 x 4. lim

x→0

e^x2− 1 4x 5. lim

x→0

e^x2− 1 x² 6. lim

x→1

x³+ 2x²− 2x − 1 x³− x²+ 5x − 5 7. lim

x→0

e^x− 1 − x x² 8. lim

x→0

(1 + x)^m− 1 x 9. lim

x→0

(1 + x)^m− 1 − mx x²

10. lim

x→0

ln(1 + x) − x x² 11. lim

h→0

√x+ h −√ x h 12. lim

x→4

√1 + 2x − 3

√x− 2

13. lim

x→5

√x− 1 − 2 x− 5 14. lim

x→2

x³− 2x²− 4x + 8 x⁴− 8x²+ 16 15. lim

x→0

ln (1 + 2x) x 16. lim

x→0

ln²(1 + x) (e^x− 1)²

17. lim

x→0

1 −√ 1 − x² x(e^x− 1)

18. lim

x→0

ln√ 1 + 2x

x 19. lim

x→0

e^2x− 1 e^3x− 1 20. lim

x→0

e^2x− 2 + e^−3x x 21. lim

x→0xln |x|

22. lim

x→0^±xe^1x 23. lim

x→0x^pln x, p > 0 24. lim

x→1

 x

x− 1 − 1 ln x



25. lim

x→∞

x⁷+ 6x²+ 3 x⁸+ 2x + 7 26. lim

x→∞

e^x2− 1 x²⁰

27. lim

x→+∞

ln²x x

28. lim

x→+∞

ln⁸x x 29. lim

x→+∞

ln^px x , p >0 30. lim

x→+∞

e^x x² 31. lim

x→+∞

e^x x¹⁷ 32. lim

x→+∞

e^x x^p, p >0 33. lim

x→+∞

ln x e^x

34. lim

x→−∞

ln ^x+1_x
e^x

3 INTEGRAZIONE

1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

(a) Z

x¹²dx (b)

Z

(−x²+ x − 7)dx (c)

Z 1 3xdx (d)

Z x²+ 5x + 2

√x dx

(e) Z

(x − 2)³dx (f)

Z x√³

xdx

(g)

Z x

x+ 1dx (h)

Z x² x+ 1dx (i)

Z q x√

xdx

(j)

Z x³ x+ 1dx (k)

Z x²− 4x + 4

x dx

(l) Z √

x− 1dx

(m) Z −5

3x³dx (n)

Z

(x + 2)

3 2dx (o)

Z 4

3x + 7dx (p)

Z 1

√xdx

(q) Z

e^−2xdx

(r)

Z e^2x+ 1 e^x dx

(s) Z

e^3x+ e^2x+ e^x
dx (t)

Z 2x + 5 x+ 1 dx (u)

Z x²− 4x + 4 x− 2 dx (v)

Z (x + 2)² x− 2 dx (w)

Z x⁴+ 4 x+ 1dx (x)

Z x³− 4x²+ 3 x− 3 dx 2. Calcolare i seguenti integrali definiti:

(a)

1

Z

0

e^x− 1 e^x dx

(b)

3

Z

2

5 2xdx

(c)

1

Z

0

x x+ 1dx

(d) Z ⁴

1

√x+ 1 x dx

(e)

4

Z

2

x² x− 1dx

(f)

2

Z

0

x√ xdx

(g)

3

Z

2

1 x²dx

(h)

1

Z

0

5e^−3x+6dx

(i)

1

Z

0

√x+ 1dx

2

(j)

1

Z

0

px²+ 1dx (k)

1

Z

0

p1 − x²dx (l)

1

Z

1

px²− 1dx

3. Trovare tutte le funzioni primitive F (x) tali che:

(a) F⁰(x) = − (x − 1)² (b) F⁰(x) = 1

2− 2x

(c) F⁰(x) = 4 − x² e F (0) = 1.

(d) F⁰(x) = x(1 − x²) e F (0) = ¹₂

(e) F⁰(x) = e^−x+ x² e F (0) = 2

4. Se F⁰(x) = x + 1 e F (0) = 2, quanto vale F (3)?

5. Sia a > 1, e si considerino le due funzioni f (x) = a^xe g(x) = x^a.Si calcolino: df dx, dg

dx, Z

f(x)dx, Z

g(x)dx.

6. Calcolare l’area sottesa al diagramma di f (x) su [a, b]:

(a) f (x) = x²+ x, [a, b] = [1, 3]

(b) f (x) = (x + 3)², [a, b] = [−4, −1]

(c) f (x) =√³

x², [a, b] = [1, 8]

(d) f (x) = x +√

x, [a, b] = [1, 4]

(e) f (x) =√

x,[a, b] = [1, 4]

(f) f (x) =√³

x⁷, [a, b] = [1, 2]

7. Si consideri la regione chiusa S delimitata dalle curve assegnate, e dalle indicate parallele [x = a, x = b] all’asse y. Fare prima un disegno di S e poi calcolarne l’area:

(a) y = x − x², y = −x; [0, 2]

(b) y = x¹²; y = x¹³; [0, 1]

(c) y = x¹²; y = x¹³; [0, 2]

(d) y = xx²− 1; y = x; −1,√ 2 (e) y = x, y = x²− 2x; [0, 2]

(f) y = 1

x+ 1; y = x²

x+ 1; [0, 1]

(g) y = e^x, y = ln x; [1, 2]

8. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni di x:

(a) d dx

Z x 0

t²dt

(b) d dx

Z x 0

e^−t2dt

(c) d dx

Z x

−x

e^−t2dt

(d) d dx

Z x 0

1 + t^2
−3 dt

(e) d dx

Z x² 0

1 + t^2
−3 dt

(f) d dx

Z x² x³

t⁶ 1 + t⁴dt 9. Calcolare i limiti seguenti:

(a) lim

x→0

Z x 0

e^t2dt x

(b) lim

x→0

Z x

−x

ln(t²+ 1)e^t2dt x

(c) lim

x→0

Z x

−x

t²e^t2dt x

(d) lim

x→∞

Z x 1

1 tdt ln x

(e) lim

x→0

Z 5x

−x

t⁸ln(3t²+ 1)dt x³

(f) lim

x→∞

Z x

1 x

1 tdt x²

4 Ulteriori aspetti dell’ integrazione

1. Mediante integrazione per parti calcolare:

(a) Z

xe^xdx (b)

Z

x²e^xdx (c)

Z

x³e^xdx (d)

Z

xe^−xdx (e)

Z

x²e^−xdx

(f) Z

x³e^−xdx (g)

Z

xln x dx (h)

Z

x² ln x dx (i)

Z

x³ ln x dx (j)

Z

ln x dx

(k) Z ln x

x dx (l)

Z ln x x² dx (m)

Z ln x x³ dx (n)

Z

xe^2xdx (o)

Z x e^3xdx

(p) Z

3x²e^3xdx

(q) Z

xln(x + 1)dx

(r) Z

x²ln(x + 3)dx

(s)

Z 2x

(x − 3)³dx 3

(t)

Z 5x

(x − 1)²dx (u)

Z x²

(x + 1)⁴dx (v)

Z 1

(x²+ 1)²dx (w)

Z 1

(x²− 1)²dx 2. Integrazione per sostituzione. Calcolare gli integrali:

• Z ¹

0

2xe^x2dx

• Z ¹

0

x²e^x3dx

• Z ln 2

0

x³e^x4dx

• Z ¹

0

xe^−x2dx

• Z ⁰

−1

(x²+ 1)⁵⁰xdx

• Z ³/2

0

2x − 3 x²− 3x − 4dx

• Z ¹

0

x x²+ 1dx

• Z ¹

0

x (x²+ 1)²dx

• Z ¹

0

xp

x²+ 3dx

• Z ¹

0

x√

x+ 2dx

• Z 2e

e

ln x x dx

• Z e

1

(ln x)² x dx

• Z e

1

(ln x)³ x dx

• Z ²e

e

1 xln xdx

• Z ²e

e

1 x(ln x)²dx

• Z ¹

0

x³ (x²+ 1)³dx

• Z ²

1

1 x²e

1 xdx

• Z ¹

0

x³e^−x2dx

• Z ¹

0

√8x + 5dx

• Z ¹

0

5 (2x + 3)²dx

• Z ²

1

1 (4x − 3)³dx

•

e

Z

1

ln x x dx

•

1

Z

0

x³e^x

2

dx

•

1

Z

0

x x²+ 1dx

•

4

Z

3

2x − 3 x²− 3x + 2dx

•

3

Z

2

x² x³− 1dx

•

1

Z

0

xp

1 + x²dx

• Z e²

e

1 xln xdx

•

1

Z

0

x⁵e^−x

2

dx

•

2

Z

0

√ x

1 + 2x²dx

•

1

Z

0

e^x e^x+ 1dx

•

1

Z

0

(11x + 6)⁷dx

• Z ²

1

x⁴ ln x dx

3. Dimostrare che, se α 6= β, allora per ogni x 6= α e x 6= β risulta:

ax+ b

(x − α) (x − β) = 1 α− β

 aα + b

x− α −aβ+ b x− β



4. Usare la identit`a dell’esercizio precedente per calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:

(a)

Z 2x − 3 (x − 1) (x − 2)dx (b)

Z 10

x²− 3x − 4dx

(c)

Z x³− 2x + 3 x(x − 1) dx (d)

Z x³− 3x² x²− 4 dx

(e)

Z x⁴+ 5x²+ 3 x²− 7x + 10dx (f)

Z x³− 5x²+ x + 4 x²− 5x + 6 dx 5. Calcolare, se possibile i seguenti integrali impropri:

(a) Z ^+∞

1

1 xdx (b)

Z ^+∞

1

1 x²dx (c)

Z ^+∞

1

1 x³dx (d)

Z ^+∞

1

1

√3

xdx (e)

Z ^+∞

1

√1 xdx (f)

Z ^+∞

0

e^−xdx

(g) Z ⁰

−∞

e^−xdx

(h) Z +∞

0

e^xdx

(i) Z ⁰

−∞

e^xdx

(j) Z ^+∞

0

xe^−xdx

(k) Z ^+∞

1

ln x x dx

(l) Z ^+∞

1

ln x x² dx (m)

Z ^+∞

1

ln x x³ dx (n)

Z +∞

1

(ln x)² x dx (o)

Z ⁰

−∞

xe^7xdx

(p) Z ^+∞

−∞

xe^−x2dx

(q) Z ^+∞

2

1 xln xdx (r)

Z +∞

0

x 1 + x²dx (s)

Z ^+∞

0

xe^−xdx

(t) Z ^+∞

0

(x⁵+ 1)⁻²⁰x⁴dx

(u) Z ^+∞

−∞

x³e^−x4dx

4