Si ringrazia il prof. Juan Gabriel Brida dell’Universit`a di Bolzano
1 DIFFERENZIAZIONE
1. Calcolate la derivata prima delle funzioni seguenti:
(a) f (x) = x + 2
(b) f (x) = x3+ 3x2+ x + 7 (c) f (x) = 2
√x +√3 x
(d) f (x) = ex+ ln x (e) f (x) = 2x + 1
x23 −3 x (f) f (x) = x ln x (g) f (x) = exln x
(h) f (x) = 8x2+ 1 x3− 8 (i) f (x) =√3
xex (j) f (x) = −2
ln x
(k) f (x) = ex x3
(l) f (x) =
√x− 1 x− 1 2. Calcolate la derivata delle funzioni seguenti:
(a) f (x) =√
x2+ 4x + 1 (b) f (x) = xex1
(c) f (x) =√ e2x+ 1
(d) f (x) = x√ e2x+ 1
(e) f (x) = ln2(2x + 1) x3
(f) f (x) = e−2x− 1 e3x− 1 (g) f (x) =
√x2− x + 5 x+ 2
(h) f (x) =pe3 xln |x|
(i) f (x) = x√ 1 − x2
3. Per ognuna delle seguenti funzioni-diversamente definite a seconda del segno di x- stabilire se f (x) `e continua e differenziabile in x = 0:
(a) f (x) =
(1 − x se x ≥ 0
2x2− x − 2 se x < 0 (b) f (x) =
(3x2+ 2x se x ≤ 0 ln√
1 + 4x se x > 0 (c) f (x) =
ln (x + 3) se x ≥ 0 x2+ 6x + 9
18 se x < 0 4. Per ognuna delle seguenti funzioni trovare i punti stazionari , e determinare per quali valori di x essa `e crescente o
decrescente:
(a) f (x) = 13x3−2x2+3x+1 (b) f (x) = 23x3−12x2−x−1 (c) f (x) = x − ex (d) f (x) = x + ln x.
5. Trovare i massimi e minimi per ognuna delle seguenti funzioni di x nell’ intervallo specificato:
(a) f (x) = x3− 3x + 8 [−1, 2].
(b) f (x) = x2− 27 x− 6 [0, 5]
(c) f (x) = (x − 1)3 [−1, 3]
(d) f (x) = 3x4− 4x3− 12x2[−1, 3]
(e) f (x) = x3
x4+ 27 [−4, 4]
(f) f (x) = 2x2
x4+ 1] − ∞, +∞[
6. Decidere per quali valori di x le seguenti funzioni sono convesse e determinare gli eventuali punti di flesso:
(a) f (x) = x4
(b) f (x) = x x2+ 1
(c) f (x) = 1 − x 1 + x
(d) f (x) = x2ex
(e) f (x) =1 9x3−1
6x2−2 3x
(f) f (x) = 2x3− 3x2
(g) f (x) = ex+ e−x 2
(h) f (x) = 2x − 3 + 4 ln |x|
(i) f (x) = −2x + e−x
7. Per ogni f (x): (i) trovare i valori estremanti di x in corrispondenza a cui f ha massimo/minimo locale, determinando dove essa `e crescente/decrescente; (ii) decidere dove `e convessa/concava e determinare gli eventuali punti di flesso:
(a) f (x) = −x3+ 3x2+ x + 4 (b) f (x) = −2x3− 3x2+ 3x + 7 (c) f (x) = x3− 4x + 16
8. Determinare quale delle seguenti funzioni f (x)`e dotata di inversa, e, in caso affermativo, rappresentare sullo stesso diagramma f ed f−1:
(a) f (x) = 2x + 3 (b) f (x) = x3 (c) f (x) = x4
(d) f (x) = x5
(e) f (x) = x2+ 2x + 1, x > 0 (f) f (x) = ex−1
(g) f (x) = log(x2), x 6= 0 (h) f (x) =√
x2− 1, −1 ≤ x ≤ 1
1
9. Dimostrare che la funzione definita per ogni x ∈ R da: f(x) = x7+ x3− 3x2+ 3x + 9 `e invertibile.
2 REGOLA DI DE L’HOSPITAL BERNOULLI
Tramite la regola di De L’Hospital Bernoulli calcolare i limiti delle seguenti forme indeterminate:
1. lim
x→0
1 −√ 1 − x x 2. lim
x→0
√3
1 + x − 1 x 3. lim
x→0
e2x− 1 x 4. lim
x→0
ex2− 1 4x 5. lim
x→0
ex2− 1 x2 6. lim
x→1
x3+ 2x2− 2x − 1 x3− x2+ 5x − 5 7. lim
x→0
ex− 1 − x x2 8. lim
x→0
(1 + x)m− 1 x 9. lim
x→0
(1 + x)m− 1 − mx x2
10. lim
x→0
ln(1 + x) − x x2 11. lim
h→0
√x+ h −√ x h 12. lim
x→4
√1 + 2x − 3
√x− 2
13. lim
x→5
√x− 1 − 2 x− 5 14. lim
x→2
x3− 2x2− 4x + 8 x4− 8x2+ 16 15. lim
x→0
ln (1 + 2x) x 16. lim
x→0
ln2(1 + x) (ex− 1)2
17. lim
x→0
1 −√ 1 − x2 x(ex− 1)
18. lim
x→0
ln√ 1 + 2x
x 19. lim
x→0
e2x− 1 e3x− 1 20. lim
x→0
e2x− 2 + e−3x x 21. lim
x→0xln |x|
22. lim
x→0±xe1x 23. lim
x→0xpln x, p > 0 24. lim
x→1
x
x− 1 − 1 ln x
25. lim
x→∞
x7+ 6x2+ 3 x8+ 2x + 7 26. lim
x→∞
ex2− 1 x20
27. lim
x→+∞
ln2x x
28. lim
x→+∞
ln8x x 29. lim
x→+∞
lnpx x , p >0 30. lim
x→+∞
ex x2 31. lim
x→+∞
ex x17 32. lim
x→+∞
ex xp, p >0 33. lim
x→+∞
ln x ex
34. lim
x→−∞
ln x+1x ex
3 INTEGRAZIONE
1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
(a) Z
x12dx (b)
Z
(−x2+ x − 7)dx (c)
Z 1 3xdx (d)
Z x2+ 5x + 2
√x dx
(e) Z
(x − 2)3dx (f)
Z x√3
xdx
(g)
Z x
x+ 1dx (h)
Z x2 x+ 1dx (i)
Z q x√
xdx
(j)
Z x3 x+ 1dx (k)
Z x2− 4x + 4
x dx
(l) Z √
x− 1dx
(m) Z −5
3x3dx (n)
Z
(x + 2)
3 2dx (o)
Z 4
3x + 7dx (p)
Z 1
√xdx
(q) Z
e−2xdx
(r)
Z e2x+ 1 ex dx
(s) Z
e3x+ e2x+ ex dx (t)
Z 2x + 5 x+ 1 dx (u)
Z x2− 4x + 4 x− 2 dx (v)
Z (x + 2)2 x− 2 dx (w)
Z x4+ 4 x+ 1dx (x)
Z x3− 4x2+ 3 x− 3 dx 2. Calcolare i seguenti integrali definiti:
(a)
1
Z
0
ex− 1 ex dx
(b)
3
Z
2
5 2xdx
(c)
1
Z
0
x x+ 1dx
(d) Z 4
1
√x+ 1 x dx
(e)
4
Z
2
x2 x− 1dx
(f)
2
Z
0
x√ xdx
(g)
3
Z
2
1 x2dx
(h)
1
Z
0
5e−3x+6dx
(i)
1
Z
0
√x+ 1dx
2
(j)
1
Z
0
px2+ 1dx (k)
1
Z
0
p1 − x2dx (l)
1
Z
1
px2− 1dx
3. Trovare tutte le funzioni primitive F (x) tali che:
(a) F0(x) = − (x − 1)2 (b) F0(x) = 1
2− 2x
(c) F0(x) = 4 − x2 e F (0) = 1.
(d) F0(x) = x(1 − x2) e F (0) = 12
(e) F0(x) = e−x+ x2 e F (0) = 2
4. Se F0(x) = x + 1 e F (0) = 2, quanto vale F (3)?
5. Sia a > 1, e si considerino le due funzioni f (x) = axe g(x) = xa.Si calcolino: df dx, dg
dx, Z
f(x)dx, Z
g(x)dx.
6. Calcolare l’area sottesa al diagramma di f (x) su [a, b]:
(a) f (x) = x2+ x, [a, b] = [1, 3]
(b) f (x) = (x + 3)2, [a, b] = [−4, −1]
(c) f (x) =√3
x2, [a, b] = [1, 8]
(d) f (x) = x +√
x, [a, b] = [1, 4]
(e) f (x) =√
x,[a, b] = [1, 4]
(f) f (x) =√3
x7, [a, b] = [1, 2]
7. Si consideri la regione chiusa S delimitata dalle curve assegnate, e dalle indicate parallele [x = a, x = b] all’asse y. Fare prima un disegno di S e poi calcolarne l’area:
(a) y = x − x2, y = −x; [0, 2]
(b) y = x12; y = x13; [0, 1]
(c) y = x12; y = x13; [0, 2]
(d) y = xx2− 1; y = x; −1,√ 2 (e) y = x, y = x2− 2x; [0, 2]
(f) y = 1
x+ 1; y = x2
x+ 1; [0, 1]
(g) y = ex, y = ln x; [1, 2]
8. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni di x:
(a) d dx
Z x 0
t2dt
(b) d dx
Z x 0
e−t2dt
(c) d dx
Z x
−x
e−t2dt
(d) d dx
Z x 0
1 + t2−3 dt
(e) d dx
Z x2 0
1 + t2−3 dt
(f) d dx
Z x2 x3
t6 1 + t4dt 9. Calcolare i limiti seguenti:
(a) lim
x→0
Z x 0
et2dt x
(b) lim
x→0
Z x
−x
ln(t2+ 1)et2dt x
(c) lim
x→0
Z x
−x
t2et2dt x
(d) lim
x→∞
Z x 1
1 tdt ln x
(e) lim
x→0
Z 5x
−x
t8ln(3t2+ 1)dt x3
(f) lim
x→∞
Z x
1 x
1 tdt x2
4 Ulteriori aspetti dell’ integrazione
1. Mediante integrazione per parti calcolare:
(a) Z
xexdx (b)
Z
x2exdx (c)
Z
x3exdx (d)
Z
xe−xdx (e)
Z
x2e−xdx
(f) Z
x3e−xdx (g)
Z
xln x dx (h)
Z
x2 ln x dx (i)
Z
x3 ln x dx (j)
Z
ln x dx
(k) Z ln x
x dx (l)
Z ln x x2 dx (m)
Z ln x x3 dx (n)
Z
xe2xdx (o)
Z x e3xdx
(p) Z
3x2e3xdx
(q) Z
xln(x + 1)dx
(r) Z
x2ln(x + 3)dx
(s)
Z 2x
(x − 3)3dx 3
(t)
Z 5x
(x − 1)2dx (u)
Z x2
(x + 1)4dx (v)
Z 1
(x2+ 1)2dx (w)
Z 1
(x2− 1)2dx 2. Integrazione per sostituzione. Calcolare gli integrali:
• Z 1
0
2xex2dx
• Z 1
0
x2ex3dx
• Z ln 2
0
x3ex4dx
• Z 1
0
xe−x2dx
• Z 0
−1
(x2+ 1)50xdx
• Z 3/2
0
2x − 3 x2− 3x − 4dx
• Z 1
0
x x2+ 1dx
• Z 1
0
x (x2+ 1)2dx
• Z 1
0
xp
x2+ 3dx
• Z 1
0
x√
x+ 2dx
• Z 2e
e
ln x x dx
• Z e
1
(ln x)2 x dx
• Z e
1
(ln x)3 x dx
• Z 2e
e
1 xln xdx
• Z 2e
e
1 x(ln x)2dx
• Z 1
0
x3 (x2+ 1)3dx
• Z 2
1
1 x2e
1 xdx
• Z 1
0
x3e−x2dx
• Z 1
0
√8x + 5dx
• Z 1
0
5 (2x + 3)2dx
• Z 2
1
1 (4x − 3)3dx
•
e
Z
1
ln x x dx
•
1
Z
0
x3ex
2
dx
•
1
Z
0
x x2+ 1dx
•
4
Z
3
2x − 3 x2− 3x + 2dx
•
3
Z
2
x2 x3− 1dx
•
1
Z
0
xp
1 + x2dx
• Z e2
e
1 xln xdx
•
1
Z
0
x5e−x
2
dx
•
2
Z
0
√ x
1 + 2x2dx
•
1
Z
0
ex ex+ 1dx
•
1
Z
0
(11x + 6)7dx
• Z 2
1
x4 ln x dx
3. Dimostrare che, se α 6= β, allora per ogni x 6= α e x 6= β risulta:
ax+ b
(x − α) (x − β) = 1 α− β
aα + b
x− α −aβ+ b x− β
4. Usare la identit`a dell’esercizio precedente per calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:
(a)
Z 2x − 3 (x − 1) (x − 2)dx (b)
Z 10
x2− 3x − 4dx
(c)
Z x3− 2x + 3 x(x − 1) dx (d)
Z x3− 3x2 x2− 4 dx
(e)
Z x4+ 5x2+ 3 x2− 7x + 10dx (f)
Z x3− 5x2+ x + 4 x2− 5x + 6 dx 5. Calcolare, se possibile i seguenti integrali impropri:
(a) Z +∞
1
1 xdx (b)
Z +∞
1
1 x2dx (c)
Z +∞
1
1 x3dx (d)
Z +∞
1
1
√3
xdx (e)
Z +∞
1
√1 xdx (f)
Z +∞
0
e−xdx
(g) Z 0
−∞
e−xdx
(h) Z +∞
0
exdx
(i) Z 0
−∞
exdx
(j) Z +∞
0
xe−xdx
(k) Z +∞
1
ln x x dx
(l) Z +∞
1
ln x x2 dx (m)
Z +∞
1
ln x x3 dx (n)
Z +∞
1
(ln x)2 x dx (o)
Z 0
−∞
xe7xdx
(p) Z +∞
−∞
xe−x2dx
(q) Z +∞
2
1 xln xdx (r)
Z +∞
0
x 1 + x2dx (s)
Z +∞
0
xe−xdx
(t) Z +∞
0
(x5+ 1)−20x4dx
(u) Z +∞
−∞
x3e−x4dx
4
