CAPITOLO 6

(1)

Interferenza

CAPITOLO 6

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli

(2)

Interferenza Doppia fenditura

Le sorgenti S₁ ed S₂ hanno la stessa fase iniziale perché appartengono allo stesso fronte d’onda.

Costruzione di Huygens-Fresnel per due fenditure

Formazione sullo schermo d i f r a n g e c h i a r e (interferenza costruttiva) alternate a frange scure (interferenza distruttiva)

(3)

Interferenza Doppia fenditura

Laboratorio virtuale

(4)

Interferenza Sorgenti coerenti

Per il principio di Huygens-Fresnel S₁ ed S₂ hanno la stessa fase iniziale perché appartengono allo stesso fronte d’onda.

Nel punto P la differenza di fase fra le onde è

) ( r

₂

r

₁

k − δ =

Con le sorgenti ordinarie non si rileva nessune effetti di interferenza perché emettono in genere onde luminose non coerenti. Gli atomo emettono degli impulsi luminosi molto brevi, in modo non correlato.

(5)

Interferenza Sorgenti coerenti

E

₁

( ) x, t ^{= E}

0

cos kr (

₁

− ω ^t + ϕ

₁

)

E

₂

( ) x, t ^{= E}

0

cos kr (

₂

− ω ^t + ϕ

₂

)

Due sorgenti puntiformi di onde sferiche

Nel punto P la differenza di fase fra le onde è

) (

)

(

₂ ₁

φ

₂

φ

₁

δ = k r − r + −

Se la differenza di fase è costante nel tempo in ogni punto P, le sorgenti si dicono coerenti

r

₂

≈ r

₁

(6)

Interferenza Doppia fenditura

) ( r

₂

r

₁

k − δ =

d senθ -r

r d

r >> ⇒

₂ ₁

=

se

d senθ kd senθ

λ

δ = = ² π

λ θ

π δ

m sen

d

m

=

= 2

Si avrà un massimo quando la differenza di percorso è un multiplo intero della lunghezza d’onda

( )

(

² ¹

)

₂

1 2

θ λ

π δ

+

= +

=

m sen

d Si avrà un minimo quando la differenza m

di percorso è un multiplo semi intero della lunghezza d’onda

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

= m

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

=

m

(7)

Interferenza Doppia fenditura

L tgθ x

senθ d

L >> ⇒ = =

se

d L m x

d m

/ / (rad)

λ

λ θ

=

= Massimo

( )

( ^m ) ^L ^d

x

d m

2 / 1

2 2 / 1 2

λ λ θ

+

=

+ Minimo =

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

= m

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

=

m

(8)

Interferenza Doppia fenditura

Si definisce passo dei massimi la distanza misurata sullo schermo

tra i centri di due frange chiare

d

x ₌ λ L Δ

Nel caso le onde viaggiano in un mezzo con indice di rifrazione n, va considerato il percorso ottico

La frangia centrale è quella corrispondente ad m=0

d senθ n

nd L m x

nd m

/ / λ λ θ

=

= ( )

( ^m ) ^L ^nd

x

nd m

2 / 1

2 2 / 1 2

λ λ θ

+

=

+

=

Massimi Minimi

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

=

m

(9)

Interferenza Metodo dei fasori

E

₁

( ) r, t ^{≈ E}

⁰

^{cos kr} ( ⁻ ^ω ^t )

E

₂

( ) r, t ^{≈ E}

0

cos kr ( − ωt +δ ) ^λ ^{d senθ}

δ = ² π

( ) x , t E

1

E

2

E !

_P

! ! +

= ( ) ^E

P ²

^{= E} ( )

⁰ ²

^{+ E} ( )

⁰ ²

^{+ 2 E} ( )

⁰ ²

^cos ^δ

δ cos 2

₀ ₀

0

I I I

I

_P

= + +

) cos 1

(

2

₀

+ δ

= I I

_P

E

₁

E

₂

E

_P

(kr−ωt)

δ

(10)

Interferenza Metodo dei fasori

0 0

0

max

I I 2 I I 4 I

I = + + =

Si avrà interferenza costruttiva in corrispondenza di differenza di cammini multipli interi della lunghezza d’onda

0 2

₀ ₀

0 0

min

= I + I − I I =

Si avrà interferenza distruttiva in

I

corrispondenza di differenza di cammini multipli semi interi della lunghezza d’onda

) cos 1

(

2

₀

+ δ

= I

I

_P

_I 4 _I

₀

cos

²

δ 2

P

=

(11)

Interferenza Intensità

I

_P

= 4I

₀

cos

²

π ^{d sen} θ λ

d senθ λ

δ = ² π

I

_P

= 4I

₀

cos

²

π ^{d x} λ ^L

cos 2 4 _I

₀ ²

δ I

_P

=

L tgθ x

senθ d

L >> ⇒ = =

se

Per sorgenti incoerenti

0 0

2

0

2 2 4 1 cos

4 I I

L x I d

I

_P

= < >= =

λ

π

(12)

Interferenza

I

_P

= 4I

₀

cos

²

π ^{d x} λ ^L

Si avrà interferenza costruttiva (massimi) per

d L x m

L m x d L

x

d π λ

λ π λ

π ₌ ₁ ₌ ₌ cos

²

Si avrà interferenza distruttiva (minimi) per

d

L x m

L m x d L

x d

2 ) 1 2

( ) 2

1 2

(

0 cos

²

π λ

λ π λ

π = = + = +

Intensità

Possiamo ottenere i massimi e minimi anche studiando la funzione

intensità

(13)

Interferenza Lamine sottili

Bolla di sapone Macchia di olio

Sorgenti coerenti

) ( r

₂

r

₁

k −

δ =

d

r

k

n θ

δ = ² ^cos

Differenza di fase dovuto al cammino ottico

(14)

Interferenza Lamine sottili

Differenza di fase dovuta alla riflessione sulla prima

superficie della lamina

δ = − π

π θ

δ = 2 n k d cos

_r

−

E’ come se si siano due sorgenti virtuali con una differenza di fase

Per sorgenti, tuttavia, estese non si nota nessuna figura di interferenza

(15)

Interferenza Lamine sottili

π δ = 2 n k d −

Per incidenza normale

λ π

δ = 4 π n d −

Se lo schermo è a distanza L >> d, si osservano massimi e minimi

L

n m

d

m

4 / ) 1 2

( 2

λ π

δ

+

=

Massimi Minimi

n m

d

m

2 / ) 1 (

) 1 2

(

λ π δ

+

=

+

,... =

2 , 1 ,

= 0 m

Lo spessore della lamina per osservare interferenza costruttiva deve essere pari a multipli interi dispari di λ/4n. Lo spessore della lamina per osservare interferenza distruttiva deve essere pari a multipli interi di λ/2n

(16)

Interferenza Lamine sottili

Strati antiriflettenti

Spessore minimo dell’ossido (n = 1.45) in grado di produrre riflessone minima per l = 550 nm (massimo dello spettro solare)

I raggi riflessi alla superficie superiore e inferiore della lamina di spessore d subiscono entrambi uno sfasamento di π. All’osservatore le due onde giungono sfasate per la sola differenza di cammino ottico

λ δ = ² ^kn

₃

^d = ⁴ π ⁿ

³

^d

La condizione di minimo è

δ = m ⁽ ² + ¹ ⁾ π d = ( 2 m + 1 ) λ / 4 n

3

4

3

/ n d = λ

m 095

.

0 µ

=

d

(17)

Interferenza Lamine sottili

Strati antiriflettenti

Gli strati antiriflettenti vengono usati in applicazioni particolari come nelle lenti degli obiettivi delle macchine fotografiche, telecamere, e nelle celle solari di silicio dove è necessario produrre riflessione minima per lunghezze d’onda solari in modo da aumentarne l’efficienza

(18)

Interferenza Lamine sottili

Cuneo sottile Anelli di newton

α λ ^/ ⁴ )

1 2

max

= m ( + x

α

λ ⁿ

m

x

_min

= / 2

n R

m

r

_max

⁼ ( 2 ⁺ 1 ) λ / 2 n

mR

r

_min

= /

(19)

Interferenza N sorgenti

L >> (N-1)d

L

I cammini delle onde prodotte da ogni fenditura risulteranno essere paralleli ed inclinati di un generico angolo θ rispetto la normale alla linea contenente le sorgenti

P

E

₁

= E

₀

e

^{i kr}⁽ ¹⁻^ω^t⁾

^E

₂

= E

₀

e

^{i kr}⁽ ²^−ωt⁾

E

_N

= E

₀

e

^{i kr}⁽ ^N^−ωt⁾

E

_R

= E

₀

e

^{i kr}⁽ ¹⁻^ω^t⁾

+ E

₀

e

^{i kr}⁽ ²⁻^ω^t⁾

+.... + E

₀

e

^{i kr}⁽ ^N⁻^ω^t⁾

d senθ kd senθ

λ π

δ

= = ²

...

I_R

I₁ = senN

δ

2 sen

δ

2

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

I_R

( )

θ ^{= I}1

sen Nπdsenθ λ senπdsenθ

λ

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

2

(20)

Interferenza N sorgenti

( )

2

1

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

λ θ π π λ θ

θ _dsen

sen

dsen sen N

I

_R Nell’intervallo 0 < θ < π/2 l’intensità risultante presenta un massimo principale ogni qual volta si annulla il denominatore

m d sen θ = λ

1 2

max

N I

I =

Quindi

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

= π m

λ θ π

λ θ

π ^dsen ^dsen _m

sen = 0 , =

( )

1

⎟

²

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= sen m

m I senN

mass I

_R

π

θ π

(21)

Interferenza N sorgenti

( )

2

1

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

λ θ π λ

θ π

θ _dsen

sen

dsen sen N

I I

_R

L’intensità risultante è minima quando si annulla il numeratore di I

_R

(θ)

λ θ π

π ^dsen _m

N = ′ sen θ = m ^′ Nd λ

Tra due massimi principali l’intensità risultante presenta N-1 minimi d’intensità (I

_R

=0)

Si esclude N, 2N, 3N .. per cui si hanno i massimi

,...

1 2

2N, , 1 2

,..., 1 ,

, 1 ,...,

2 ,

1 − + − +

′= N N N N N

m

(22)

Interferenza N sorgenti

(23)

Interferenza N sorgenti

( )

2

1

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

λ θ π λ

θ π

θ _dsen

sen

dsen sen N

I I

_R

Poiché la funzione I

_R

(θ) è sempre positiva si deduce che tra due minimi deve un esistere massimo secondario. I massimi secondari si ottengono quando il numeratore di I

_R

(θ) vale 1

,...

1 2

2N,

, 1 2

,..., 1

, ,

1 , 2 ,...,

2 ,

1 − − + − +

′′ = N N N N N N

m

) 2 1 2

( π

λ θ

π ^dsen _{= m} _′′ ₊ N

m Nd

sen θ = ( 2 ′′ + 1 ) 2 λ

Minimo Minimo

(24)

Interferenza N sorgenti

Tra due massimi principali l’intensità risultante presenta N-2 massimi secondari di intensità pari a

(

¹

)

²

2

1 2 ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ′′ +

=

N sen m

I

_m

I

π

²

( )

²

2

1 2 ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ′′ +

=

N sen m

N

I

_m

I

^Max

π

(25)

Interferenza N sorgenti

L’ampiezza angolare dei massimi principali diminuisce all’aumentare di N.

Si può calcolare come distanza fra due minimi adiacente al massimo

m Nd sen θ = ^′ λ

sen θ ⁾ Nd ² λ

( =

Δ

All’aumentare del numero di sorgenti l’ampiezza angolare diventa più piccola

Nd sen θ ⁾ Nd ² λ ^cos θ θ ² λ

( = = Δ =

Δ cos Nd

2 θ θ = λ

Δ

′

m = 1

(26)

Interferenza N sorgenti

m d

sen θ = λ m = 0 , ± 1 , ± 2 ,...

Massimi principali

= 0 θ sen

senθ = λd¹

senθ = λd² senθ = λd³

Nd cos

2 θ θ = λ

Δ

(27)

Interferenza Esercizi

Principali caratteristiche dell’interferenza prodotta da N sorgenti coerenti:

• La posizione dei massimi principali è determinata dal rapporto λ/d e non da N

• l’intensità dei massimi principali cresce con N secondo la legge I

_R

=I

_max

=N²I

₁

• La distanza tra due minimi adiacenti al massimo vale 2λ/Nd e diminuisce all’aumentare del numero delle sorgenti

• L’ampiezza angolare dei massimi principali diminuisce all’aumentare di N

• Tra due massimi principali vi sono N-1 minimi e N-2 massimi

secondari

(28)

Interferenza Esercizi

Interferenza di due antenne che emettono in fase alla lunghezza d’onda l con potenza P

₀

d = l

1 , 0

, =

= m

m d sen θ λ Massimi per

90 ,

0

^o

=

^o

= θ

θ

Minimi per

^sen

θ

=

(

²^m+¹

) ^λ

₂_d

θ = 30

^o

Ad una certa distanza r ciascuna antenna emette con I

0

= P

0

/ 4 π r

²

e l’intensità totale vale 4

₀

cos

²

4

₀

cos

²

( π θ ) λ

θ

π ^d ^sen _I _sen

I

_P

= =

Inoltre

I

Z

E = 2

₀

(29)

Interferenza Esercizi

Interferenza di quattro antenne che emettono in fase alla lunghezza d’onda l con potenza P

₀

d = l = , m = 0 , 1

m d sen θ λ

Massimi principali ancora per

90 ,

0

^o

=

^o

= θ

θ

Minimi per 1 1 , 2 , 3 , 4

′ =

= ′

= ′ m

m N m Nd

sen θ λ

o o

o

, 30 . 0 , 48 . 5 5

.

= 14 θ

Nei massimi principale I

_P

= 16I

₀

(30)

Interferenza Esercizi

Interferenza di quattro antenne che emettono in fase alla lunghezza d’onda l, ma separate da una distanza d =l/4

d = l /4 d d

m

sen θ = λ λ >

Massimi principali per

Solo m = 0 e quindi θ = 0

^o

Tutta la potenza è concentrata in una direzione

0

^o

θ =

) (

2 2

Nd = rad

≈

Δ θ λ

(31)

Interferenza Inteferometro di Michelson

(32)

Interferenza Inteferometro di Michelson

Massimi per

2nariad = mλ

Minimi per

nariad = (2m + 1)λ 4

Se si varia d di λ/2 le frange luminose si spostano di un’unità Se vediamo passare N frange luminose

Δr = 2naria (d1 − d2 ) = d

Δr = 2(d

₁

− d

₂

) = 2d

2d = m λ d = m λ

2 2d = (2m +1) λ 2 d = (2m +1) λ

4 λ = 2d

N

(33)

Interferenza

Misure di precisione

Inteferometro di Michelson

λ = 2d N

λ = 650⋅10

⁻⁹

m N = 1

d = λ

2 ≈ 300⋅10

⁻⁹

m = 0.3 micron

(34)

Interferenza SAR

Interferometria satellitare con radar, Syntetic Aperture Radar, SAR)

Una coppia di immagini radar acquisite dal satellite dalla medesima posizione producono un interferogramma, cioè una mappa di spostamento espressa in termini di differenze di fase, tra le due immagini radar.

Ogni ciclo, o frangia, rappresenta uno spostamento della superficie terrestre lungo la linea di vista del satellite di mezza lunghezza d’onda del segnale emesso.

Il segnale elettromagnetico emesso dal satellite, viene “riflesso” dalla superficie terrestre e catturato dal sensore.

(35)

Interferenza Onde gravitazionali

Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO)

ΔL

L ≈10

⁻¹⁸

(36)

Interferenza Sensori FBG

Alta velocità di trasmissione

Assenza d’interferenze elettro-magnetiche e quasi totale assenza di rumore

Il segnale che viaggia nelle fibre ottiche per telecomunicazione è centrato intorno a 1550 nanometri (1.55 micron). Questa lunghezza corrisponde ad un minimo dell’attenuazione nella propagazione del segnale nella fibra. E’ una lunghezza d’onda non visibile trattandosi di un infrarosso vicino.

Fibre ottiche

(37)

Interferenza Sensori FBG

Nella parte più interna di una fibra, viene realizzata una variazione periodica e piccolissima dell’indice di rifrazione. Il periodo di questa variazione è circa 0.5 micron. La lunghezza della zona trattata è solitamente di 1 cm e quindi risulta costituita da circa 20000 cambiamenti di indice di rifrazione.

Fiber Bragg Grating

Reticolo di Bragg

Nella zona con indice di rifrazione n viene riflessa la lunghezza d’onda

λ

_B

= 2nd

d

n

(38)

Interferenza Sensori FBG

d

n n

Interferenza costruttiva se

2nd = m λ ^{, m} = 1,2,....

Per m = 1

λ

_B

= 2nd

(39)

Interferenza Sensori FBG

Quando il segnale viaggia nella fibra arrivato nella zona del reticolo di Bragg può, a seconda della sua frequenza essere trasmesso, essere riflesso all’indietro o uscire dalla fibra. Le FBG dunque possono agire come filtri e selezionare una particolare frequenza presente sul segnale ed estrarla (riflessione indietro) dalle altre.

(40)

Interferenza Sensori FBG

(41)

Interferenza Sensori FBG

Una fibra con reticolo di Bragg puòi essere utilizzata come sensore (FBG) per misurare le deformazioni e conseguentemente gli sforzi delle strutture dove essa è incollata o inserita. Se la parte della fibra con il reticolo è incollata o inserita in una struttura, la deformazione della stessa comporterà una deformazione del reticolo e, quindi, un cambiamento della lunghezza d’onda riflessa

Applicazioni: ingegneria civile, aereonautica, misure di posizione

Estensione/Compressione della fibra – Il reticolo cambia la sua geometria e la diffrazione generata è caratterizzata da una lunghezza d’onda della luce variata rispetto a quella centrale caratteristica dello specifico sensore.

(42)

Interferenza Sensori FBG

(43)

Interferenza Sensori FBG

I sensori FBG sono anche sensibili alla temperatura ΔT che provoca un cambiamento nella lunghezza d'onda di Bragg, Δλ_B. La traslazione relativa della lunghezza d'onda di Bragg, Δλ_B / λ_B, a causa di una variazione di temperatura è data approssimativamente da:

Δ λ

_B

λ

_B

⁼ α ΔT

Il coefficiente α dipende dalla fibra

(44)

Interferenza N sorgenti

L >> (N-1)d

L

I cammini delle onde prodotte da ogni fenditura risulteranno essere paralleli ed inclinati di un generico angolo θ rispetto la normale alla linea contenente le sorgenti

P

E₁ = E₀e^{i kr}⁽ ¹⁻^ω^t⁾ E₂ = E₀e^{i kr}⁽ ²^−ωt⁾ E_N = E₀e^{i kr}⁽ ^N^−ωt⁾

E_R = E₀e^{i kr}⁽ ¹^−ωt⁾ + E₀e^{i kr}⁽ ²^−ωt⁾ +.... + E₀e^{i kr}⁽ ^N^−ωt⁾ E_R = E₀e^{i kr}⁽ ¹⁻^ω^t⁾(1+ e^{ik r}⁽²^−r²⁾ +.... + e^{ik r}⁽^N^−r¹⁾) E_R = E₁(1+ eⁱ^δ +.... + e^{i( N}^−1)δ)

d senθ kd senθ

λ π

δ

= = ²

...

E_R = E₁

∑

_n=0^n=N−1e^i(n)δ

E_R = E₁1− e^iN^δ 1− eⁱ^δ

I_R

I₁ = 1− e^iNδ 1− e^iδ

2

= senNδ 2 senδ

2

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

(45)

Interferenza N sorgenti

Nel punto P le ampiezze delle singole onde sferiche sono uguali mentre lo sfasamento tra due onde

emesse da sorgenti consecutive vale

θ

λ

δ = ² π ^d ^sen

Utilizzando il metodo dei vettori rotanti si ricava l’ampiezza risultante in P

2 ρ ^sen ^N 2 δ E

_R

=

2 2

1

ρ ^sen δ E =

2

1

δ 2

δ sen sen N E

E

_R

=

(46)

Interferenza N sorgenti

Si ha il massimo quando tutti i fasori sono allineati

,...

2 , 1 , 0

2 =

= π m m δ

Si ha il minimo quando tutti i fasori formano una linea chiusa

,...

2 , 1

2 2 ′ ′ =

′ =

= m

N m m

N δ π δ π

(47)

Interferenza N sorgenti

Si ha il minimo quando tutti i fasori formano una linea chiusa ₌ ₂ _′ ₌ ^′ ₂ _m _′ ₌ ₁ _, ₂ _,...

N m m

N δ π δ π

2 / 4 2

1 π π

δ = = δ = 2 π = π

4 2

π π

δ 2

2 3 4

3 =

= δ ² π ² π

4 4 =

=

= 1

′

m m ′ = 2

= 3

′

m ^m ^′ ⁼ ⁴

(48)

Interferenza N sorgenti

( )

2

1

2 2

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

= δ

δ θ

sen sen N I

I

_R

Per N = 2

( ) 4 cos 2

2

2 1

2

1

δ δ

θ δ ^I

sen I sen

I

_R

=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

Uguale al risultato ottenuta per due sorgenti

(49)

Interferenza Cuneo sottile

λ π π π

δ = − = nd −

knd 4

2

In un generico punto distante x dall’estremo dove lo spessore è nullo è associato uno spessore d = αx

,...

2 , 1 , 4 0

) 1 2

(

2 ⇒ = = + =

= m

m n x

d

m π α λ

δ

,...

2 , 1 , 2 0

) 1 2

( ′ + ⇒ = = ′ ′ =

= m

m n x

d

m π α λ

δ

L’interferenza è costruttiva se

L’interferenza è distruttiva se

α

λ ⁿ

m

x

_max

= ( 2 + 1 ) / 4 ^x

_min

= ^m λ ^/ ² ⁿ α

(50)

Interferenza Anelli di Newton

Alla distanza r dal centro lo spessore della lamina vale

12 2 2

2 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

−

=

−

= R

R r R r

R R

d

Essendo (r/R)² << 1

R r R

d ... 2

2 1 1

2 2

⎥ ≈

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

,...

2 , 1 , 2 0

) 1 2

4 ( ) 1 2

2 ( 2

2 = + ⇒ = + =

=

⇒

= m

n m R

n r R m

d r

mπ λ λ

δ

L’interferenza è distruttiva se L’interferenza è costruttiva se

,...

2 , 1 , 2 0

) 2 1 2

(

2 ′ ′ =

=

′ ⇒

=

⇒

′+

= m

n R r m

m n R

d r

m

π λ λ

δ

CAPITOLO 6

Interferenza

CAPITOLO 6

Interferenza Doppia fenditura

Interferenza Doppia fenditura

Laboratorio virtuale

Interferenza Sorgenti coerenti

) ( r

r

k − δ =

Interferenza Sorgenti coerenti

E

( ) x, t = E

cos kr (

− ω t + ϕ

)

E

( ) x, t = E

cos kr (

− ω t + ϕ

)

) (

)

(

φ

φ

δ = k r − r + −

r

≈ r

Interferenza Doppia fenditura

) ( r

r

k − δ =

d senθ -r

r d

r >> ⇒

=

se

d senθ kd senθ

λ

δ = = 2 π

λ θ

π δ

m sen

d

m

=

= 2

( )

(

)

θ λ

π δ

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

= m

,...

2 , 1 ,

0 ± ±

=

m

Interferenza Doppia fenditura

L tgθ x

senθ d

L >> ⇒ = =

se

d L m x

d m

/ / (rad)

λ

λ θ

=

= Massimo

( )

( m ) L d

x

d m

2 / 1

2

( ) x, t ^{= E}

− ω ^t + ϕ

( ) x, t ^{= E}

− ω ^t + ϕ

δ = = ² π

( ^m ) ^L ^d

x ₌ λ L Δ

( ^m ) ^L ^nd

( ) r, t ^{≈ E}

^{cos kr} ( ⁻ ^ω ^t )

( ) r, t ^{≈ E}

cos kr ( − ωt +δ ) ^λ ^{d senθ}

δ = ² π

= ( ) ^E

^{= E} ( )

^{+ E} ( )

^{+ 2 E} ( )

^cos ^δ