Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica.

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Esercitazione 9 (18 Dicembre 2017)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica.

Tutor: Caterina Fenu

1. Considerato il seguente metodo alle differenze finite, dipendente dai parametri reali α e β,

(η_i+1= η_i+ ²₅hαf (x_i, η_i) + 2f (x_i+ ^αβ₃ h, η_i+ ^αβ₃ hf (x_i, η_i)) η₀ = y₀

dire per quale valore dei parametri risulta convergente e per quali valori risulta del second’ordine.

2. Si classifichi il seguente schema alle differenze finite e se ne studino, al variare dei parametri reali α e β, stabilit`a, consistenza e convergenza

η_k+1 = η_k+h 3

f (x_k, η_k) + α 2f

x_k+ α

3βh, η_k+ α

3βhf (x_k, η_k)

.

3. Si dica per quali valori del parametro α la seguente formula alle differenze finite risulta consistente, stabile, e per quali del secondo ordine

η_i+1= η_i+h

4f (xi, η_i) + 3f (x_i+ αh, η_i+ αhf (x_i, η_i)).

4. Si studi, al variare di γ ∈ R, la stabilit´a del seguente metodo multistep η_k+2 = (γ − 3)η_k+1+ hh

2 + γ 5

f (x_k, η_k) − 2γ

5f (x_k+1, η_k+1)i 5. Studiare la convergenza del seguente metodo alle differenze finite

η_i+2= 4

3η_i+1− 1 3η_i+2

3hf (x_i+2, η_i+2).

In particolare, dire se il metodo `e consistente e stabile, e determinare il suo ordine.

6. Si classifichi il seguente schema alle differenze finite η_k+2 = 3

2η_k+1− γη_k+1

2hf (x_k, η_k)

e si stabilisca, motivando la risposta, se fissando γ = ¹₂ e γ = ³₄ `e stabile e consistente.

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7. Trasformare il seguente problema del secondo ordine (y⁰⁰(x) = 2y⁰− 2y

y(0) = 1, y⁰(0) = 0

in uno del primo ordine e calcolare i primi due passi del metodo di Eulero-Cauchy utiliz- zando h = ¹₂.

Soluzione:

1. Il metodo è convergente per α = ¹₂ e β ∈ R. È del secondo ordine per α = ¹₂ e β = ¹⁵₄ . 2. Lo schema è monostep, esplicito a due stadi. È stabile ∀α, β ∈ R. È consistente per

α = 4. `E convergente per α = 4.

3. La formula è stabile ∀α ∈ R. È consistente ∀α ∈ R. È del secondo ordine per α = ²₃. 4. Il metodo è stabile per 2 < γ < 4.

5. Il metodo è stabile, è consistente ed è del secondo ordine.

6. Lo schema è multistep, esplicito a uno stadio. Per γ = ¹₂ è stabile e consistente. Per γ = ³₄ è stabile ma non consistente.

7.

y 1 2

≈ η_1,1 = 1 y⁰ 1

2

≈ η_1,2 = −1 y(1) ≈ η2,1 = 1

2 y⁰(1) ≈ η_2,2 = −3

.