Massa su Guida Parabolica
Figure 1:
Sia data una massa m che scivola senza attrito su una guida parabolica posta su un piano verticale di eq. y = αx2, determinare la frequenza delle piccole oscillazioni.
Metodo 1: seconda legge di Newton
Nel punto indicato in figura, la seconda legge di Newton si scrive:
R + m~~ g = m~a (1)
Proiettando sugli assi cartesiani:
m¨x = −N sin θ m¨y = N cos θ − mg
Notare che θ ha segno negativo in figura, da cui il segno “−” nella prima equazione.
Dall’equazione della parabola si ricava:
¨
y = 2α ˙x2+ 2αx¨x (2)
1
Per piccole oscillazioni (=piccoli valori di x), l’espressione sopra ci dice che
¨
y ' 0, da cui:
m¨x = −N sin θ mg = N cos θ
Possiamo dividere le due equazioni del sistema appena scritto ed utilizzare l’equazione della parabola per determinare il coefficiente angolare della retta tangente: tan θ = d(y(x))dx = 2αx.
¨
x = −2αgx (3)
Questa e’ l’equazione di un oscillatore armonico di pulsazione
ω2 = 2αg (4)
(notare che α ha le dimensioni di [L]−1).
Metodo 2: conservazione dell’energia
Scriviamo la conservazione dell’energia:
E = 1
2m( ˙x2+ ˙y2) + mgy = 1
2m( ˙x2+ (2αx ˙x)2) + mgαx2 (5) Per piccole oscillazioni il secondo termine dell’energia cinetica pu`o essere trascurato rispetto al primo, per cui:
E ' 1
2m ˙x2+ mgαx2 (6)
Confrontando con l’espressione dell’energia derivante da un oscillatore ar- monico (E = 12m ˙x2+12mω2x2), si ricava che la massa effettua piccole oscil- lazioni intorno alla posizione di equilibrio con ω2 = 2αg.
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