Partendo dallo stato iniziale A,

(1)

calcolare,

ed il calore Q_CD scambiato dal gas compiuto dal gas durante il ciclo

durante la trasformazione C → D . Partendo dallo stato iniziale A,

raggiungendo successivamente gli stati intermedi B, Il ciclo è costituito da:

➢ un riscaldamento isocoro reversibile (A→B),

➢ un’espansione isobara reversibile (B→C),

➢ un’ulteriore espansione isoterma reversibile (C→D),

➢ un raffreddamento isobaro reversibile (D→A)

p_A = 7.0 x 10⁴ Pa, Sapendo che :

V_C= 25.0 l, T_B= 180 °C,

T_A= 20 °C, V_A = 12.0 l,

nello stato iniziale A.

un gas perfetto monoatomico

e tornando poi dallo stato D C e D

compie il ciclo ABCD

il lavoro L dopo aver rappresentato il ciclo nel diagramma di Clapeyron,

V_D= 38.6 l

(2)

la trasformazione tra A e B e’ un

e comportera’ un aumento di temperatura del gas

avverra’ quindi a volume riscaldamento isocoro reversibile

costante

A A A

p V = nRT

B A B

p V = nRT

e quindi

gli stati iniziali e finali di una trasformazione sono sempre

e dato che il sistema in esame e’ un gas perfetto

dei gas perfetti

stati di equilibrio

si potra’ applicare l’equazione di stato

(

T

_B >

T

_A ) (

V

_B =

V

_A

)

per assunzione

in entrambi questi stati

B B B

p V = nRT

che diviene dato che

V

_B =

V

_A

(3)

nel punto B

→ la pressione del gas sara’ maggiore di quella nel punto A se ne deduce che

p

_B >

p

_A

dividendo membro a membro si ha ^B ^B

A A

p T

p = T

B ^B A

A

p T p

= T

da cui

e dato che

T

_B >

T

_A

(4)

p(V)

V

A B

la trasformazione e’ reversibile percio’

anche lungo tutta la trasformazione

e’ il fatto che si potra’ applicare l’ equazione di stato

potra’ essere rappresentata da una curva continua nel piano di Clapeyron

inoltre, e ancora piu’ importante, dei gas perfetti

orientata in questo caso da A verso B

(5)

la successiva trasformazione e’ una quindi si avra’ che

V

_C >

V

_B

p(V)

V

A

B C

espansione isobara reversibile

ragionando come in precedenza si deduce che

T

_C >

T

_B

(6)

p(V)

V

A

B C

D

la trasformazione tra C e D e’ reversibile

si tratta di una espansione → V_D > V_C isoterma →

DU

_CD = 0

(7)

p(V)

V

A

B C

D

infine la trasformazione tra D ed A e’ isobara reversibile

(8)

p

A

V

_A ^e

T

_A ^{sono noti}

D A

p  p

B A

V  V

nel punto

A

nel punto

B

^e

T

_B ^{sono noti}

V

D

V

C

nel punto

C

^{e’ noto} ^e

T =

_C

?

B

? p =

C B

p  p

nel punto

D

e’ noto e

D C

T = T

non e’ noto il numero

n

delle moli di gas infine

(9)

applichiamo l’equazione di stato dei gas perfetti

A A A

p V = nRT

A A A

n p V

= RT ₌ _0.345

il numero delle moli

per ricavare nel punto A

attenzione per eseguire i calcoli occorre utilizzare il

S.I.

la temperatura in gradi Kelvin, la pressione in pascal e il volume in metri cubi quindi occorre esprimere

(10)

nel punto B utilizzeremo

B B

B

p n RT

= V

da

B A

V  V

_B

^0.345

^B

A

p RT

= V

e che

1.08 10

5

p

B

=  Pa

l’equazione di stato dei gas perfetti per ricavare la pressione

B B B

p V = nRT

quindi

n

^{= 0.345}

e dato che

(11)

ragionando come in precedenza nel punto

C

C C C

p V = nRT

^C ^C

C

T p V

= nR

^{e dato che}

p

C

 p

B

B C C

T p V

= nR

da

si potra’ ottenere l’ incognita ancora mancante

C

944 K

T =

riesce

e a questo punto le coordinate termodinamiche nel punto

D

sono tutte note

(12)

dunque e’ stato possibile determinare

siamo quindi in grado di calcolare il lavoro svolto durante il ciclo

tutte le incognite del problema

p(V,T)

V

A

B C

D

p_A= 7.0 10⁴ T_A= 293.15 K V_A= 1.2 10^-2 m³

p_D= 7.0 10⁴Pa T_D = 944 K V_D= 3.86 10^-2m³ p_C= 1.082 10⁴

T_C = 944.06 K V_C= 2.5 10^-2 m³ p_B= 1.082 10⁵

T_B= 453.15 K V_B= 1.2 10^-2 m³

(13)

A B

0 L

_→

=

➢ le trasformazioni sono tutte reversibili si puo’ esprimere il lavoro infinitesimo come

dL = pdV

B

A

V

A B V

L

_→

=  p dV

il lavoro da A a B sara’

ma la trasformazione e’ isocora percio’

V

_B =

V

_A

quindi

➢ la trasformazione da A a B e’ isocora reversibile quindi

fin

( )

in

V in fin

L

_→

= 

V

p V dV

e

(14)

➢ la trasformazione tra C ^e D ^e’

➢ la trasformazione da B ^a C ^e’

( )

B C B C B

L

_→

= p V − V

➢ la trasformazione tra D ^ed A

isobara reversibile

e’ isobara reversibile

( )

D A A A D

L

_→

= p V − V

D

C

V C D

L

_→

= 

V

p dV

V^V_C^D ^C

nRT dV

=  V ⁼ ^nRT

^C



^V^V_C^D

^dV _V

^C

^ln

^D

C

nRT V

= V

isoterma reversibile

(15)

in conclusione :

A B B C C D D A

L = L

_→

+ L

_→

+ L

_→

+ L

_→

0

_B

(

_C _B

)

_C

ln

^D _A

(

_A _D

)

C

p V V nRT V p V V

= + − + V + −

3 3 3 2

1.4 10 1.18 10 1.87 10 7.1 10 J

= + − =

C D C D C D

U

_→

Q

_→

L

_→

D = −

_C

ln

^D

C

nRT V + V

C D C D C D

Q

_→

= D U

_→

+ L

_→

( )

V D C

nc T − T

Calore Q

_CD

scambiato dal gas

(16)

Partendo dallo stato iniziale A,

p V = nRT

p V = nRT

T

T

V

V

)

p V = nRT

V

V

p

p

p T

p = T

p T p

= T

T

T

V

V

T

T

DU

p

V

T

p  p

V  V

A

B

T

V

V

C

T =

?

? p =

p  p

D

T = T

n

p V = nRT

n p V

= RT = 0.345

S.I.

p n RT

= V

V  V

0.345

p RT

= V

1.08 10

p

=  Pa

p V = nRT

n

C

p V = nRT

T p V

= nR

p

 p

T p V

= nR

944 K

T =

D

p(V,T)

V

0 L

=

dL = pdV

L

=  p dV

V

V

( )

L

= 

= RT ₌ _0.345

^0.345

➢ la trasformazione tra C ^e D ^e’

➢ la trasformazione da B ^a C ^e’

➢ la trasformazione tra D ^ed A

=  V ⁼ ^nRT

^dV _V

^ln