ISTITUZIONI DI MATEMATICA (CANALE M-Z) - DESIGN 24/02/2020
Prof. S. Creo
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Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.
1) (6 punti) Utilizzando i metodi delle matrici, risolvere il seguente sistema:
2x + y + z = 0, x − z = −1, x − 3y − 2z = −1.
2) (6 punti) Data la seguente funzione
f (x) = x2− x − 2 2x2− 16x + 32, determinarne il dominio, il segno e gli eventuali asintoti.
3) (7 punti)
a) Classificare tutti i possibili punti di discontinuit`a di una funzione f (x).
b) Determinare se esistono valori di α ∈ R tali che la seguente funzione sia continua nel punto x = 0:
f (x) =
√9x arctg(2x4) (√3
1 + 2x3− 1) sen(√
x3) x > 0,
α−5tg(5x7) + α2(x + 3) − 10 log(1 + αx) x ≤ 0.
4) (6 punti) Data la funzione f (x) = x+log(1 + x2)
2 , trovare il suo dominio, individuare gli eventuali punti di massimo e di minimo di f (x) nell’intervallo I = [0, +∞) e dire se sono assoluti o relativi. Studiare inoltre la concavit`a e la convessit`a di f (x).
5) (7 punti)
a) Scrivere la formula di integrazione per parti.
b) Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
x log(x + 1) dx.
