ISTITUZIONI DI MATEMATICA (CANALE M-Z) - DESIGN 11/02/2020
Prof. S. Creo
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Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.
1) (6 punti) Data la retta r di equazione x + 2y − 4 = 0, trovare l’equazione della retta s perpendicolare ad r e passante per l’origine. Calcolare inoltre l’equazione cartesiana esplicita della circonferenza avente come centro il punto C = (0, 1) e passante per il punto di intersezione fra le rette r ed s.
2) (6 punti) Data la seguente funzione
f (x) = x − 3 x2− 2x − 8, determinarne il dominio, il segno e gli eventuali asintoti.
3) (7 punti)
a) Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo.
b) Calcolare il seguente limite:
x→2lim
(1 − e2(x−2)) log(1 + x) sen(x2− 4x + 4) tg(x − 2) arcsen(2x − 4)2 .
4) (7 punti)
a) Enunciare il Teorema di Fermat.
b) Data la funzione f (x) = 2x arctg x − log(1 + x2), trovare il suo dominio, in- dividuare gli eventuali punti di massimo e di minimo di f (x) nell’intervallo I = (−1, 1) e dire se sono assoluti o relativi. Studiare inoltre la concavit`a e la convessit`a di f (x).
5) (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito:
Z 0
−1
3x4+ 3x3+ 30x2− 8x − 4 x2+ x + 10 dx.
