Sistemi Dinamici e Meccanica Classica Esame del 05/07/2012
Sistemi Dinamici
Esercizio SD1. Si studi qualitativamente il sistema dinamico definito da
˙ x = y
˙
y =−dU (x)
dx , con U (x) = x4− x2, tracciandone il diagramma di fase.
2) Si determinino le frequenze di oscillazione attorno ai punti di equilibrio stabile e le rette tangenti alle separatrici nel punto di equilibrio instabile.
3) Si scriva l’integrale che d`a il periodo del moto attorno al punto di equilibrio stabile con Energia E = 2.
Esercizio SD2 – (12 crediti) Si consideri il sistema dinamico:
x = x˙ 2+ xy− y2+ 4
˙
y = xy + x (1)
Si determinino i punti di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a con il primo metodo di Lyapunov.
Meccanica Lagrangiana
Esercizio L Un sistema `e costituito da un’asta di lunghezza 2L e massa M , che pu`o ruotare attorno al suo estremo A (incernierato all’origine di un sistema di assi cartesiani nel piano verticale), e da un punto materiale P di massa M/3 libero di scorrere sull’asse orizzontale di tale sistema. Tra P e l’altro estremo B dell’asta agisce una forza elastica (di costante elastica k).
1. Si scriva la lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero–Lagrange.
2. Si verifichi che il sistema ha due posizioni di equilibrio per valori di a = kL
gM inferiori ad un certo valore criticoba, e quattro per valori di a superiori ad ba. (N.B.: g, L, M, k sono grandezze positive). Determinare il valore criticoba e determinare la stabilit`a delle posizioni di equilibrio al variare di a(6= ba).
3. Posto kL = gM
10 , (cio`e a = 1
10), si verifichi che le frequenze proprie delle oscillazioni del sistema attorno alla posizione di equilibrio stabile sono
ω1 = 3g L
r 1
10, ω2 = g 2 L
r3 5, e se ne calcolino i modi normali.
g
A
B
P
z
x
1
Meccanica Hamiltoniana
Esercizio H1. Si dimostri che la trasformazione Q1 = sin q1+ cos q2 Q2 = − cos q1+ sin q2
P1 = (cos q2)p1− (sin q1)p2 cos (q1− q2) P2 = (sin q2)p1+ (cos q1)p2
cos (q1− q2)
`
e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie.
Esistono funzioni generatrici di altre specie?
Esercizio H2 – (12 crediti). Si consideri H(x, y, px, py) = 1
2
px2
x2y2 +py2
y4
+ 1
2y2(x− 1)2 (2)
1. Si dimostri che l’equazione di Hamilton-Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato.
2. Si scriva esplicitamente l’integrale del moto ottenuto attraverso il processo di separazione delle variabili nell’equazione di H-J come funzione di {x, y, px, py}.
2
