Q ualità Appunti del corso

A p p u n t i d e l c o r s o

Qualità

INDICE

CAPITOLO 1. Termini per la qualità 1.1 Aspetti generali

1.2 Variabilità

CAPITOLO 2. Richiami di probabilità 2.1 La distribuzione binomiale

2.2 La distribuzione di Poisson 2.3 La distribuzione normale 2.4 La distribuzione chi quadrato 2.5 Aspetti inferenziali

2.5.1 Distribuzioni campionarie

2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare 2.2.3 Verifica d’ipotesi

CAPITOLO 3. Il Controllo Statistico di Processo 3.1 Variabilità nel processo produttivo

3.2 Aspetti generali delle carte di controllo 3.3 Costruzione di una carta di controllo

3.3.1 Limiti di controllo

3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campionamento 3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici 3.4 Stima dei parametri del processo da un prerun

CAPITOLO 4. Carte di controllo per variabili 4.1 Carte di controllo per il livello del processo 4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti) 4.1.2 Carta x bilaterale con parametri non noti 4.1.3 Carta x unilaterale

4.1.4 Carta per mediane

4.2 Carte di controllo per la variabilità del processo produttivo 4.2.1 Carta S

4.2.2 Carta S con regola del 3-sigma 4.2.3 Carta R

4.3 Costruzione e uso delle carte x − R e x − S CAPITOLO 5. Carte di controllo per attributi 5.1 Carta di controllo np e carta p

5.1.1 Carta np

5.1.2 Carta np con limiti 3-sigma 5.1.3 Carta np con p

non noto 5.1.4 Carta p

5.2 Carte di controllo per le non conformità

5.2.1 Carta per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta c)

5.2.2 Carta c con i limiti 3-sigma 5.2.3 Carta c con λ

non noto

5.2.4 Carta per il numero di non conformità per unità fisica (carta u)

Termini per la qualità

Il termine qualità è ampiamente utilizzato nel linguaggio corrente ed il suo significato è, almeno a grandi linee, noto a molti. La definizione più generale possibile del termine qualità è la seguente:

qualità è l’insieme delle caratteristiche di un’entità (bene o servizio) che ne determinano la capacità di soddisfare le esigenze espresse ed implicite di chi la utilizza.

Di solito si parla di qualità con riferimento a prodotti fisici o a servizi. La distinzione è rilevante in quanto non sempre strumenti adeguati per valutare la qualità di un prodotto possono essere adeguati per un servizio. Nel seguito tut- tavia si presenteranno metodologie che con le dovute accortezze possono essere utili in entrambi i casi. Per questo motivo il termine prodotto verrà utilizzato anche come sinonimo di servizio salvo i casi segnalati.

E’ importante prima di procedere parlare anche del processo produttivo.

Infatti prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Una definizione generale di processo produttivo è la seguente: un processo produttivo è un insieme di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformano degli elementi in ingresso (input) in elementi in uscita (output). Tra gli input conviene distinguere tra input controllabili ed input non controllabili da parte di chi governa il processo.

1.1 Aspetti generali

Gli aspetti generali della qualità sono:

1. la qualità di progetto. I beni e servizi sono prodotti con vari gradi di qualità. Tali differenze sono intenzionali

2. la conformità alle normative. Questo aspetto fa riferimento all’aderenza del prodotto alle specificazioni e tolleranze assegnategli in fase di proget- tazione.

1

Ogni prodotto possiede un certo numero di elementi misurabili, o comunque percepibili dall’utilizzatore, che contribuiscono congiuntamente alla formazione della qualità del prodotto. Questi elementi vengono indicati con il nome di CARATTERISTICHE DI QUALITA’. Le caratteristiche di qualità possono essere di diversi tipi, ad esempio: fisiche, sensoriali, comportamento nel tempo.

In genere quando le caratteristiche di qualità sono misure espresse su una scala continua (peso, resistenza, lunghezza, durata) si parla di variabili. Quan- do invece si utilizzano dati discreti, per esempio dati di conteggio (numero di lampadine non funzionanti, ecc.) si parla di attributi.

Le caratteristiche di qualità sono valutate in relazione alle specifiche ovvero le misure stabilite per alcune caratteristiche di qualità del prodotto/servizio. Il valore desiderato per una caratteristica di qualità è definito VALORE NOMI- NALE oppure VALORE TARGET. Oltre al valore nominale può essere indicato un intervallo di valori, tipicamente un intorno del valore nominale, tale che se il valore della caratteristica di qualità rientra in tale intervallo il prodotto viene ritenuto conforme.

Il limite superiore di questo intervallo è definito limite di specifica su- periore (USL, Upper Specification Limit), limite inferiore è definito limite di specifica inferiore (LSL, Lower Specification Limit). Talvolta per alcune caratteristiche di qualità ha senso fornire solamente specifiche unilaterali.

1.2 Variabilità

La variabilità delle caratteristiche di qualità è un aspetto molto delicato per la qualità del prodotto. Le aziende infatti investono risorse per assicurarsi che i valori delle caratteristiche di qualità dei prodotti realizzati siano il più vicino possibile ai valori nominali. Tuttavia due o più unità di prodotto (o servizio) non sono mai uguali. Pertanto esiste sempre un livello di variabilità nelle carat- teristiche di un prodotto e la qualità del prodotto dipende dall’ammontare della variabilità.

Nella Figura (1.1) sono visualizzate, come esempio, le distribuzioni di due caratteristiche di qualità. Si può notare il diverso livello di variabilità ed è intuitivo comprendere che una maggiore variabilità aumenta la probabilità di produrre un elemento che non rispetta le specifiche.

Poiché la variabilità può essere descritta solamente in termini statistici, i metodi statistici hanno un ruolo centrale nelle attività legate al miglioramento della qualità.

La variabilità può manifestarsi in diversi modi

• in una unità di prodotto

• tra unità di prodotto

• nel tempo

Inoltre la variabilità è dovuta ad almeno quattro cause (4M):

Caratteristica di qualità

valore nominale

USL LSL

Figura 1.1: Caratteristiche di qualità con diversa variabilità

1. Man 2. Machine 3. Methods 4. Materials

La variabilità non è totalmente eliminabile quindi un certo grado di variabil- ità può essere ritenuto tollerabile, o fisiologico, per un dato processo produttivo.

Questo tipo di variabilità viene indicata anche con il nome di variabilità naturale.

Il controllo della qualità ha l’obiettivo di mantenere la variabilità nel

processo e nel prodotto ad un livello naturale. Il miglioramento della qualità

mira ad una riduzione della variabilità nel processo e nel prodotto.

Richiami di probabilità

In questo capitolo vengono richiamate le più comuni variabili aleatorie discrete e continue. Dovrebbero essere nozioni ampiamente note quindi si farà riferimento al capitolo 2 del libro di testo (Montgomery, 2000).

Verranno richiamati solo alcuni aspetti.

Distribuzioni discrete: ipergeometrica, binomiale, poisson

2.1 La distribuzione Binomiale

La variabile X ha distribuzione binomiale con parametri n ≥ 0 e p (0 < p < 1) X ∼ Bin(n, p)

se

Pr {X = k} = µ n

k

¶

p

(1 − p)

k = 0, 1, 2....n si ha E(X) = np, V (X) = np(1 − p).

Simbologia

Bi(j; n, p) indica il la probabilità che una variabile casuale binomiale di parametri n, e p assuma il valore j

Bi(j; n, p) = Pr {X = j} = µ n

j

¶

p

(1 − p)

F

( k| n, p) indica il valore della funzione di ripartizione di una varibile casuale binomiale di parametri n e p calcolato nel punto k

F

( k| n, p) = Pr {X ≤ k} = X

Bi(j; n, p)

5

2.2 La distribuzione di Poisson

La variabile X ha distribuzione di Poisson con parametro λ > 0 X ∼ P o(λ)

se

Pr {X = k} = e

λ

k! k = 0, 1, 2.

E(X) = λ e V (H) = λ.

Simbologia

P o(j; λ) indica il la probabilità che una variabile casuale di Poisson di parametro λ assuma il valore j

P o(j; λ) = Pr {X = j} = e

λ

j!

F

( k| λ) indica il valore della funzione di ripartizione di una variabile casuale di Poisson di parametro λ calcolato nel punto k

F

( k| λ) = Pr {X ≤ k} = X

P o(j; λ)

2.3 La distribuzione normale

Se X è una variabile aleatoria normale, allora la sua funzione di densità è definita come segue:

f (x) = 1 σ √

2π e

(

)

− ∞ < x < ∞

µ è la media della distribuzione, σ

è la varianza. La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente

X ∼ N ¡ µ, σ

¢

La funzione di ripartizione della normale è definita come la probabilità che la variabile X assuma valori inferiori o uguali ad un certo valore a:

Pr {X ≤ a} = F (a) = Z

−∞

1 σ √

2π e

(

)

dx

Per il calcolo di questa probabilità è conveniente effettuare un cambio di variabile giungendo alla normale standardizzata:

Z = X − µ

σ

risulta che la variabile Z è ancora normale, ma con media 0 e con varianza 1, Z ∼ N (0, 1)

Quindi per calcolare la probabilità Pr {X ≤ a} si può operare nel seguente modo:

Pr {X ≤ a} = Pr

½ X − µ

σ ≤ a − µ σ

¾

= Pr

½

Z ≤ a − µ σ

¾

= Φ µ a − µ

σ

¶

dove Φ (.) è la funzione di ripartizione della normale standardizzata.

SIMBOLOGIA

Con z

si usa indicare il punto percentile di una normale standardizzata N (0, 1) tale che

Pr ©

Z ≥ z

ª = α/2

z

è anche indicato come il punto percentile superiore al livello α/2 ottenuto dalla distribuzione normale standardizzata. Vedi appendice A2 Montgomery (2000)

2.4 La distribuzione chi quadrato

Se X è una variabile chi quadrato con n gradi di libertà, allora la sua funzione di densità è definita come segue:

f (x) = 1 2

Γ ¡

2

¢x

e

x > 0

la media della distribuzione è

E(X) = n e la varianza è

V (X) = 2n

La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente X ∼ χ

SIMBOLOGIA

Con χ

si usa indicare il punto percentile della variabile casuale chi quadra- to con n gradi di libertà tale

Pr n

χ

≥ χ

o = α

2.5 Aspetti inferenziali

I parametri di un processo produttivo sono generalmente non noti e possono variare nel tempo (per parametri di un processo produttivo di solito si intende la media e la varianza della caratteristica di qualità, la frazione di elementi difettosi ecc.). Se si aggiunge inoltre che la maggior parte delle informazioni sono disponibili solo su base campionaria, ci si rende conto che l’inferenza sta- tistica gioca un ruolo fondamentale. La situazione più comune è dover stimare i parametri del processo produttivo oppure prendere una decisione sul processo (controllo d’ipotesi).

Se si dispone di un campione di ampiezza n alcune delle principali sintesi campionarie che si possono calcolare sono

x = 1 n

X

x

media del campione

s

= P

i=1

(x

− x)

n − 1 varianza del campione

s = sP

i=1

(x

− x)

n − 1 deviaz. std del camp.

r = x

− x

range del campione

Nell’universo dei campioni il valore di una sintesi calcolata su un campione può essere visto come una realizzazione di una variabile aleatoria campi- onaria. La variabili aleatorie campionarie relative alle sintesi sopra riportate sono:

X = 1 n

X

X

media campionaria

S

= P

i=1

¡ X

− X ¢

n − 1 varianza campionaria

S = s P

i=1

¡ X

− X ¢

n − 1 deviaz. std campionaria

R = x

− x

range campionario

f(x)

-10 0 10 20 30

f(x)

Figura 2.1: Funzione di densita di una normale con parametri µ = 10, e σ

= 9

2.5.1 Distribuzioni campionarie

Essendo funzioni delle osservazioni campionarie le variabili casuali sopra indicate sono delle statistiche.

Per esempio, supponiamo che la caratteristica di qualità sia distribuita nor- malmente

X ∼ N(µ, σ

)

(per esempio µ = 10 mm, e σ

= 9 mm vedi figura 2.1). Se x

, x

, ...., x

è un campione casuale di ampiezza n estratto dalla popolazione, allora la statistica media campionaria

X ∼ N(µ, σ

/n)

nella Figura (2.2) sono riportate le distribuzioni di X, e X per n = 5.

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000)

2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000). Qui si richamano solo alcuni punti della stima intervallare.

Una stima intervallare di un parametro è l’intervallo tra due statistiche che

include il valore vero del parametro con un’assegnata probabilità.

-10 0 10 20 30

f(x) f(xmedio)

Figura 2.2: X normale con µ = 10, e σ

= 9; X normale con µ = 10, e σ

= 1.8

Ragioniamo in questo modo. Consideriamo una variabile aleatoria X con media µ nota e varianza σ

nota.

La variabile media campionaria tende a distribuirsi (teorema del limite cen- trale) come una normale

X ∼ N(µ, σ

/n) di conseguenza la variabile standardizzata

Z = X − µ σ/ √

n

tende a distribuirsi come una normale con media 0 e varianza 1 Z ∼ N(0, 1)

Sfruttando le proprietà della normale standardizzata si può affermare che la probabilità che la variabile aleatoria Z assuma valori compresi tra −z

e z

è pari a 1 − α

Pr ©

−z

≤ Z ≤ z

ª = 1 − α

Si può allora definire un intervallo tale che la probabilità dell’avverarsi di un campione con media x contenuta nell’intervallo stesso sia pari a 1 − α

Pr

½

µ − z

√ σ

n ≤ x ≤ µ + z

√ σ n

¾

= 1 − α

Questa è la soluzione del ”problema diretto”: prevedere una proprietà statistica di un campione nota quella della popolazione.

L’induzione statistica invece riguarda il ”problema inverso”: fare inferen- za su una proprietà statistica della popolazione nota quella di un campione.

Questo è proprio della stima intervallare di un parametro: partendo dalla con- stante osservata nel campione si vuole individuare un intervallo che contenga il parametro incognito con una preassegnata probabilità.

Si supponga quindi che la media in popolazione µ sia incognita. Se si estrae un campione di ampiezza n

x

, x

, ...x

la cui media è

x = 1 n

X

x

l’intervallo di confidenza al livello 100(1 − α)% per µ è dato da x − z

√ σ

n ≤ µ ≤ x + z

√ σ n

Gli estremi dell’intervallo sono variabili aleatorie infatti dipendono dai dati cam- pionari e 1−α è detto livello di confidenza. L’intervallo h

x − z

n

, x + z

i è da intendersi come un intervallo aleatorio che ha una probabilità pari a 1 − α di contenere il parametro incognito µ.

Quello che abbiamo appena visto è un intervallo di confidenza della media con varianza nota

Intervallo di confidenza della varianza di una distribuzione normale Consideriamo la variabile casuale

X ∼ N(µ, σ

) con media µ e varianza σ

non note.

Consideriamo la varianza campionaria S

=

P

¡ X

− X ¢

n − 1

e definiamo la variabile

. Tale variabile è distribuita come un χ

con n − 1 gradi di libertà

Se si osserva un campione e si calcola la varianza del campione s

=

P

i=1

(x

− x)

n − 1

l’intervallo di confidenza al livello 100(1 − α)% per la varianza è dato da (n − 1) s

χ

−1

≤ σ

≤ (n − 1) s

χ

−α/2,n−1

2.5.3 Verifica d’ipotesi

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000).

Qui vediamo solo alcuni richiami utilizzando un esempio.

Esempio

Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare il cui diametro ottimale dovrebbe essere 10 millimetri. Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno un diametro aleatorio con distribuzione normale di media µ

= 10mm e scarto σ = 3mm.

Come si può verificare il corretto funzionamento della macchina basandosi su un campione di ampiezza finita?

Un possibile strumento è il controllo o verifica d’ipotesi.

Un’ipotesi statistica è una proposizione riguardante i valori di uno o più parametri di una distribuzione.

Nel controllo statistico di qualità le ipotesi formulate hanno un preciso significato.

Nel nostro caso:

H

: µ = 10

H

: µ 6= 10

L’ipotesi H

: µ = 10 è detta ipotesi nulla: la macchina funziona corretta- mente

L’ipotesi H

: µ 6= 10 è detta ipotesi alternativa: la macchina non funziona correttamente

Per procedere al controllo:

a) si estrae un campione casuale di ampiezza n dalla popolazione b) si rilevano le n misure della caratteristica di qualità di interesse c) si calcola un’opportuna statistica test.

Sulla base del valore che tale statistica assume si deciderà se rifiutare o non rifiutare l’ipotesi H

.

Per stabilire il criterio di decisione, ovvero la regione di rifiuto di H

, si usa ragionare sulla probabilità di commettere un errore.

Gli errori possono essere di 2 tipi:

a) ERRORE DEL PRIMO TIPO, ovvero rifiutare l’ipotesi H

, quando H

è vera

b) ERRORE DEL SECONDO TIPO, ovvero non rifiutare l’ipotesi H

, quan- do H

è falsa

Le probabilità associate ai due errori sono:

α = Pr (errore del primo tipo)

β = Pr (errore del secondo tipo)

Usualmente si usa specificare un valore della probabilità dell’errore del primo tipo α (controllo diretto). Il valore del rischio β lo si controlla indirettamente essendo funzione dell’ampiezza del campione.

Nel nostro caso siamo in una situazione di ipotesi su una media µ con varianza nota σ

H

: µ = µ

H

: µ 6= µ

(µ

= 10)

Definisco la variabile aleatoria (statistica test) Z

= X − µ

σ/ √ n dove X è la media campionaria:

X = 1 n

X

X

Si rifiuta l’ipotesi H

se |z

=

n

| > z

dove z

è il valore di ascissa di una N (0, 1) tale che Pr ¡

Z ≥ z

¢ = α/2.

Spiegazione (intuitiva): sotto l’ipotesi H

si ha che Z

∼ N (0, 1) (Figura 2.3)

Se per esempio si fissa un valore di α = 0.002 la regione di non rifiuto per H

è

−z

= −3.09 z

= 3.09 Quindi non rifiuto H

se:

−z

≤ z

≤ z

Torniamo all’esempio

Supponiamo di estrarre un campione di ampiezza n = 5 e che le misure dei 5 diametri siano risultate:

11, 9, 12, 11, 10 La media del campione risulta

x = 1

5 (11 + 9 + 12 + 11 + 10) = 10, 6

f(z)

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(z)

Figura 2.3: N (0, 1)

ed il valore della statistica test

z

= 10, 6 − 10 3/ √

5 = 0, 447 In questo caso non si rifiuta H

in quanto z

< z

.

Consideriamo ora la probabilità β la probabilità di non rifiutare H

quando è falsa (e’ vera H

). (significato....)

Supponiamo quindi sia vera l’ipotesi H

: µ 6= µ

. In particolare supponi- amo che la media della distribuzione (ovvero la media dei diametri delle barre prodotte) sia pari a

µ

= µ

+ δ allora si ha che

Z

∼ N µ δ √ n

σ , 1

¶

vedi Figura (2.4).

E’ possibile calcolare la probabilità β:

β = Pr ©

−z

≤ Z

≤ z

¯ ¯ H

ª

= Pr

½µ

−z

− δ √ n σ

¶

≤ Z

− δ √ n

σ ≤

µ

z

− δ √ n σ

¶¯¯ ¯ ¯ H

¾

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(xmedio) f(shift)

Figura 2.4:

ora la variabile

Z

− δ √ n σ

è una normale standardizzata (siamo sotto H

) quindi la probabilità β si può calcolare come

β = Φ µ

z

− δ √ n σ

¶

− Φ µ

−z

− δ √ n σ

¶

Nel nostro caso supponendo δ = 1

β = Φ

µ

z

− δ √ n σ

¶

− Φ µ

−z

− δ √ n σ

¶

=

= Φ

Ã

3.09 − 1 √ 5 3

!

− Φ Ã

−3.09 − 1 √ 5 3

!

=

= Φ (2.345) − Φ (−3.835) = 0.990 La probabilità β è quindi una funzione di (Figura 2.5):

n ampiezza del campione

δ ampiezza dello shift (variazione)...

α probalilità dell’errore di primo tipo

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

4,8 5,6 6,4 7,2 8

delta

BETA(5) BETA(10)

Figura 2.5: probabilità β in funzione di δ e per n = 5 e n = 10

Il Controllo Statistico di Processo

L’obiettivo è produrre beni e/o servizi che soddisfino le esigenze dei consumatori.

Un processo produttivo dovrebbe quindi essere stabile ed operare con una vari- abilità ridotta intorno al valore obiettivo (target) specificato per la caratteristica di qualità di interesse.

Il controllo statistico di processo, SPC (Statistical Process Control), è costituito da un insieme di strumenti utili per garantire la stabilità e ridurre la variabilità del processo.

Tra gli strumenti del SPC la carta di controllo è lo strumento tecnicamente più importante. Le carte di controllo sono state sviluppate da W. A. Shewart (Bell Telephone Laboratories) nel 1920 ed in letteratura sono spesso indicate con il nome di carte Shewart.

3.1 Variabilità nel processo produttivo

Ogni processo produttivo è caratterizzato da una certa variabilità naturale, ques- ta variabilità è presente anche se il processo è ben progettato e controllato ed è dovuta all’azione congiunta di molte piccole cause e generalmente non è ad- debitabile a singoli fattori controllabili: usualmente in queste condizioni tale variabilità è piccola.

Quando un processo produttivo è caratterizzato solo da una variabilità nat- urale, si può affermare che il processo opera soggetto ad un sistema di cause ac- cidentali o comuni. Nella terminologia del SPC, un processo che opera soggetto solo ad un sistema di cause accidentali è in uno STATO DI CONTROLLO STATISTICO.

Altre fonti di variabilità, dovute a fattori ben individuabili e controllabili, possono intervenire nel processo produttivo alterando ed aumentando la vari- abilità “naturale” fino a valori non accettabili per gli standard di qualità. In questo caso si può affermare che il processo opera soggetto ad un insieme di cause

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valore nominale

USL LSL

B A

Figura 3.1: shift nella media (A); aumento della variabilità (B)

sistematiche o speciali. Un processo che opera in presenza di cause sistematiche è in uno STATO DI FUORI CONTROLLO STATISTICO.

Quando un processo produttivo è ben progettato e tarato opera in uno sta- to di controllo statistico. Cause sistematiche possono intervenire nel processo provocando: A) un allontanamento del valore medio della caratteristica di qual- ità dal valore target; B) un aumento della variabilità della caratteristica di qualità; C) sia variazioni nella media sia un aumento della variabilità (Figura 3.1). Il risultato è che aumenta la produzione di elementi che non soddisfano le specifiche richieste, con un conseguente peggioramento della qualità risul- tante del prodotto ed un danno economico per l’azienda. Questo provoca uno spostamento (SHIFT) del processo verso uno stato di fuori controllo statistico.

L’obiettivo principale del controllo statistico di processo è individuare, nel minor tempo possibile, lo shift del processo in modo che possano essere prese azioni correttive. Le carte di controllo consentono di sorvegliare il processo in corso di produzione (on-line) segnalando eventuali problemi e consentendo interventi correttivi.

3.2 Aspetti generali delle carte di controllo

Una carta di controllo è una visualizzazione grafica di una sequenza di test statistici per verificare lo stato di controllo del processo.

Indicando con X la caratteristica di qualità da controllare, dal processo pro-

duttivo si estraggono, ad intervalli regolari di tempo, dei campioni di numerosità

n, (x

x

...., x

) = X

, si forma la statistica campionaria g(X

) (media cam-

pionaria, mediana campionaria, range, deviazione standard ecc.) e la si utilizza per verificare il sistema d’ipotesi:

H

: Il processo ` e in controllo H

: Il processo ` e f uori controllo

la carta di controllo è la visualizzazione grafica dei risultati campionari rispetto al tempo.

Nella carta è presente una linea centrale, CL (central line), che rappresenta il valore medio caratteristica di qualità in genere corrispondente al valore desider- ato nell’ipotesi di controllo del processo. Altre due linee orizzontali identificano i limiti di controllo: UCL (Upper Control Limit) il limite di controllo superiore e LCL (Lower control limit) il limite di controllo inferiore. UCL e LCL vengono determinati prima di iniziare l’ispezione campionaria, in modo tale che quando il processo è in controllo la probabilità che i valori della statistica test cadano all’interno di tali limiti sia elevata. Quando un valore della statistica test cade al di fuori dei limiti di controllo si ha un segnale di allarme o segnale di fuori controllo: l’evidenza empirica porta ad accettare H

. In questi casi è necessario fare ulteriori controlli sul processo per verificare se sono intervenute cause spe- ciali e se necessario intraprendere azioni correttive. In realtà, come si vedrà in seguito, le regole di decisione sono più complesse. Infatti non si esamina solo la posizione del singolo punto campionario rispetto ai limiti di controllo, ma si fa anche un esame della sequenza di punti per verificare l’eventuale presenza di andamenti sistematici che possono essere dovuti a situazioni di fuori controllo.

In alcune situazioni possono essere presenti anche i limiti di guardia: UWL (Upper Warning Limit) il limite di guardia superiore; LWL (Lower Warning Limit) il limite di guardia inferiore. Sul loro significato ed utilizzo si rimanda ai paragrafi seguenti.

3.3 Costruzione di una carta di controllo

Il modello generale per una carta di controllo è il seguente. Sia Y = g(X

) la statistica campionaria relativa ad una caratteristica di qualità che si desidera controllare con E(Y ) = µ

e V (Y ) = σ

.

Si supponga di voler controllare il seguente sistema d’ ipotesi:

H

: µ = µ

il processo è in controllo H

: µ 6= µ

il processo è fuori controllo Allora

U CL = µ

+ k

σ

Esempio di carta di controllo

istanti campionari CL

statistica test UCL

LCL UWL

LWL

Figura 3.2: Esempio di carta di controllo

CL = µ

LCL = µ

− k

σ

I fattori k

e k

sono fissati in modo che sotto H

Pr {Y / ∈ (LCL, UCL)} = α

Si noti che se la distribuzione di Y è simmetrica e Pr {Y ≥ UCL} = Pr {Y ≤ LCL} =

α

2

allora k

= k

= k

.

La funzione test è basata sulla statistica Y = g(X

) si accetta H

se

LCL = µ

− k

σ

< Y < µ

+ k

σ

= U CL si accetta H

quando

Y ≥ UCL oppure

Y ≤ LCL

La probabilità α corrisponde alla probabilità dell’errore di primo tipo nella

teoria di verifica delle ipotesi. Nel controllo statistico di processo α corrisponde

alla probabilità di segnalare un fuori controllo quando il processo è in controllo (quando H

è vera). Comunemente α viene indicata con il termine probabilità di un falso allarme. Un falso allarme porta ad una interruzione del processo, o comunque ad un insieme di controlli inutili ed il risultato può essere un danno economico per l’azienda.

La probabilità di un mancato allarme è invece data da:

Pr {Y ∈ (LCL, UCL|H

} = β

La probabilità β corrisponde alla probabilità di commettere l’errore di secondo tipo nella verifica d’ipotesi. Un mancato allarme porta ad un aumento della

”difettosità” nella produzione in quanto non si rileva che il processo ha subito uno shift: anche in questo caso si ha un danno economico per l’azienda in quanto si ha un aumento della produzione non conforme. Un piccolo esempio può aiutare a chiarire alcuni dei concetti espressi sopra.

ESEMPIO 3.1

Consideriamo un processo produttivo che produce barre di acciaio a sezione circolare. Una caratteristica di qualità critica per questo tipo di processo pro- duttivo è il diametro, X, delle barre che assumiamo distribuito normalmente:

X ∼ N ¡ µ, σ

¢

. Si supponga che il processo sia sotto controllo se il diametro delle barre prodotte è pari a 10 millimetri e che la deviazione standard del di- ametro sia pari a σ = σ

= 0.07 mm. Sostanzialmente si vuole controllare il livello medio della caratteristica di qualità ovvero

H

: µ = µ

il processo è sotto controllo

H

: µ 6= µ

il processo è fuori controllo

Per controllare il processo ogni ora un campione casuale di n = 5 unità viene analizzato. Ogni ora quindi si estraggono in modo casuale dal processo produttivo 5 barre, si rilevano i 5 diametri e si calcola la media del campione

x = 1 n

X

x

La statistica media campionaria X = 1

n X

X

sotto l’ipotesi H

si distribuisce normalmente X ∼ N

µ µ

, σ

n

¶

quindi fissata una probabilità α si può scrivere P r

½

µ

− z

σ

√ n < X < µ

+ z

σ

√ n |µ

= µ

¾

= 1 − α Segue che i limiti di controllo risultano

U CL = µ

+ z

σ

√ n

LCL = µ

− z

σ

√ n La linea centrale risulta ovviamente pari a

CL = µ

= 10

e se è fissata una probabilità di un falso allarme pari a α = 0.002 si ha k

= z

= 3.09, quindi i limiti risultano

U CL = µ

+ z

σ

√ n = 10.097

LCL = µ

− z

σ

√ n = 9.903

Supponiamo ora che sia vera l’ipotesi H

: µ 6= µ

, in particolare µ = 9.915.

Questo significa che sul parametro media del processo produttivo è avvenuto uno shift. Definendo con

δ = µ − µ

σ

lo shift standardizzato, quindi nel caso in esame si ha δ = 9.915 − 10

0.07 = −1.214

Ora è interessante calcolare la probabilità di un mancato allarme ovvero β. Tale probabilità, come visto prima è data da

β = Pr {Y ∈ (LCL, UCL|H

} =

= Pr

½

X ≤ µ

+ z

σ

√ n |µ

= µ

¾

− Pr

½

X ≤ µ

− z

σ

√ n |µ

= µ

¾

Sotto l’ipotesi H

si ha che

X ∼ N µ

µ, σ

n

¶

dove µ = µ

+ δσ

. Standardizzando la variabile possiamo scrivere che β = Φ ¡

z

2

− δ √ n ¢

− Φ ¡

−z

− δ √ n ¢ Nel nostro caso essendo δ = −1.214

β = Φ ³

3.09 − −1.214 √ 5 ´

− Φ ³

−3.09 − −1.214 √ 5 ´

=

= Φ (5.805) − Φ (−0.375) ' 1 − 0.354 = 0.646

La probabilità β è una funzione di n ampiezza del campione, di δ ampiezza dello shift (variazione del parametro) e di α probalilità dell’errore di primo tipo.

3.3.1 Limiti di controllo

Come posizionare i limiti di controllo? Occorre ragionare sulle probabilità di commettere degli errori: α probabilità di un falso allarme; β probabilità di un mancato allarme.

I limiti di controllo, fissata un’ampiezza campionaria n, dipendono da α: se α diminuisce i limiti di controllo diventano più ampi, conseguentemente però β aumenta; se si aumenta α i limiti di controllo diventano più stretti e con- seguentemente β diminuisce. Si comprende quindi che non si riescono a rendere minimi contemporaneamente sia α che β. Nella prassi si possono seguire due strade:

1. se n è fisso, si fissa α e si determina β conseguentemente

2. se n può variare, si fissano α e β e si determina conseguentemente n.

Per determinare i limiti di controllo nelle carte di tipo Shewart esistono delle

”convenzioni” o linee guida. In Europa, per i limiti di controllo si usa fissare un valore per α (probabilità di un falso allarme) oppure ragionare su alcune funzioni legate ad α come la funzione ARL di cui parleremo in seguito. Per esempio, stabilire che la probabilità di un falso allarme è pari α = 0.002 nel caso di popolazione normale corrisponde ad un k

= 3.09.

Negli USA, indipendentemente dalla distribuzione della caratteristica ogget- to di controllo, si è soliti individuare i limiti di controllo come multiplo della deviazione standard della statistica test. Il multiplo solitamente scelto è

k = 3

(regola del 3-sigma). In questo modo nel caso di popolazione normale equivale a fissare α = 0.0027. La scelta dei limiti 3-sigma dà in genere buoni risultati nelle applicazioni e nei casi in cui la vera distribuzione della caratteristica di qualità non è nota.

LIMITI DI GUARDIA O DI SORVEGLIANZA

Oltre ai limiti di controllo possono essere presenti dei limiti più interni chia-

mati limiti di guardia o sorveglianza. Tali limiti chiamati UWL e LWL (Upper

Warning Limit e Lower Warning Limit). Vengono determinati specificando un valore di probabilità α

> α ad esempio α

= 0.05 che corrisponde ad un valore k

= 1.96. Negli USA si usa per i limiti di guardia la regola 2 sigma: k = 2

Un valore della statistica campionaria interno ai limiti di controllo, ma es- terno ai limiti di guardia è un evento che pur non essendo un segnale di fuori controllo ha una probabilità non elevata di verificarsi, quindi sono opportuni ulteriori accertamenti sul processo produttivo.

3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campiona- mento

NUMEROSITA’ CAMPIONARIA

In generale tanto più è grande il campione tanto più è facile individuare piccoli spostamenti del processo. Questo lo si può verificare se si calcolano le misure delle prestazioni di una carta di controllo: la funzione di potenza o, il suo complemento a uno, la curva operativa caratteristica. La probabilità di rilevare uno shift, vista come funzione di n e dello shift, è data dalla Funzione di potenza (G)

G = Pr {Y / ∈ (UCL, LCL)|H

}

La funzione Curva Operativa caratteristica(CO) di una carta di controllo esprime invece la probabilità di non rilevare uno shift

CO = Pr {Y ∈ (UCL, LCL)|H

}

sempre come funzione dell’ampiezza del campione n e dello shift. Come si può notare dalle Figure (3.3) e (3.4) la funzione di potenza è una funzione crescente sia di n sia dell’ampiezza in valore assoluto dello shift. La curva operativa caratteristica ha ovviamente un comportamento complementare. Si può quindi determinare n in funzione dello shift del processo che si vuole individuare con una certa probabilità. Nella pratica n, anche per ragioni di costo, è contenuto (n ≤ 15).

FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

Un’elevata frequenza di campionamento comporta un minor tempo per in- dividuare eventuali anomalie nel processo. Anche in questo caso è importante ricordare che un’elevata frequenza di campionamento comporta un aumento nei costi d’ispezione. Nella pratica si tendono a privilegiare, salvo indicazioni contrarie, piccoli campioni con una frequenza di campionamento elevata.

La funzione ARL

Un’importante misura sulla quale basarsi per prendere decisioni sull’ampiez-

za campionaria e frequenza di campionamento è costituita dalla funzione ARL

(Average Run Lenght-lunghezza media delle sequenze).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

9.8509.8759.9009.925 9.9509.975 10.000

10.025 10.050

10.075 10.100

10.125 10.150 Media del processo

Funzione di potenza

n=5 n=10 n=15

Figura 3.3: Funzione di potenza per la carta x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Media del processo

Curva operativa

n=5 n=10 n=15

Figura 3.4: Curva operativa caratteristica per la carta x

Si definisca con RL la variabile casuale discreta che descrive il numero di campioni che è necessario osservare per rilevare un segnale di fuori controllo:

RL = numero di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo

La funzione ARL è il valore atteso della variabile RL:

ARL = E(RL)

ovvero il numero medio di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo. Per campioni rilevati ad intervalli di tempo regolari ARL è una misura del tempo medio di attesa per un segnale di fuori controllo.

L’ARL è una funzione dello stato del processo: se il processo è in controllo l’ARL dovrebbe essere alto; se il processo è fuori controllo l’ARL dovrebbe essere piccolo.

Si supponga di essere in regime di H

. La probabilità di un fuori controllo è α, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p = α:

Pr {RL = m} = p(1 − p)

e la funzione ARL(H

) è

ARL(H

) = E(RL) = X

k(1 − p)

p = 1 p = 1

α

Per esempio con α = 0.002 si ha ARL(H

) = 500. Questo vuole dire che se il campionamento avviene ogni ora ci si attende in media un falso allarme ogni 500 ore.

Si supponga di essere in regime di H

. La probabilità di avere un segnale di fuori controllo è 1 − β, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p = 1 − β:

Pr {RL = m} = p(1 − p)

e la funzione ARL(H

) è

ARL(H

) = E(RL) = X

k(1 − p)

p = 1 p = 1

1 − β

3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici

Una carta di controllo indica una situazione di fuori controllo quando: a) uno o

più punti superano i limiti di controllo; b) si è in presenza di un comportamento

non casuale della sequenza dei valori della satistica test.

E’ importante non osservare solamente il singolo istante campionario. Con- sideriamo m campioni (prove) indipendenti in cui α è la probabilità di un falso allarme. Sia Z la variabile aleatoria che enumera i punti fuori controllo (sotto H

) su m campioni. La probabilità di avere esattamente Z = r è data da

Pr (Z = r) = µ m

r

¶

α

(1 − α)

= Bin(m, α)

Il valore atteso della variabile Z è dato da E(Z) = mα

che rappresenta il numero di punti fuori controllo su m campioni quando il processo è sotto l’ipotesi H

. Consideriamo ora la probabilità di avere almeno un falso allarme su m campioni

Pr (Z ≥ 1) = 1 − Pr (Z = 0) = 1 − (1 − α)

questa probabilità è una funzione crescente di m.

per n −→ ∞ si ha Pr (Z ≥ 1) −→ 1 non è trascurabile per m > 20

Ad esempio α = 0.0027 (regola del 3-sigma) e m = 20, si ha Pr (Z ≥ 1) = 0.053 con Pr (Z = 1) = 0.051 e Pr (Z = 2) = 0.001. Quindi: con un un punto fuori controllo è ancora elevata la probabilità di giungere a conclusione errate (accettare H

quando è vera H

); con due o più punti fuori controllo invece quasi certamente il processo è effettivamente fuori controllo.

Un Run è una sequenza di osservazioni dello stesso tipo: Run up sequen- za crescente; Run down sequenza decrescente. Si possono inoltre osservare sequenze di punti tutti sopra CL o tutti sotto CL. Ogni sequenza può es- sere probabilizzata e una sequenza o Run di lunghezza 8 ha una probabilità molto bassa di verificarsi. Pertanto la presenza di tale Run è indicativo di una situazione di fuori controllo, anche se tutti i punti cadono entro i limiti di controllo.

Per individuare comportamenti non casuali nella carte Shewart esistono delle regole di decisione (Run rules) suggerite nel 1956 dalla Western Electric. Al- cune diqueste regole sono riportate di seguito, mentre per una trattazione più articolata si rimanda a Montgomery (2000).

Il processo è fuori controllo se:

1. uno o più punti sono fuori dai limiti di controllo

2. 2 punti su 3 consecutivi sono fuori dai limiti di guardia

3. 8 punti consecutivi tutti al di sopra o sotto CL

4. ...

5. ...VEDI MONTGOMERY (2009) p.131

In generale un comportamento visivamente non casuale dei punti Commento sulle regole di decisione

Bisogna fare attenzione ad esercitare più di un criterio di decisione perchè aumenta la probabilità di falsi allarmi. Consideriamo k criteri di decisione e sia α

la probabilità di commettere l’errore di primo tipo del criteri i − esimo (i = 1, 2, ...k). Segue che la probablità di un falso allarme basata su k test indipendenti

α = 1 − Y

(1 − α

)

Quindi α > α

con α che cresce al crescere di k. In conclusione se le Run Rules aumentano la sensibilità della carta di controllo a rilevare lo stato di fuori controllo, aumentano anche la probabilità di falsi allarmi.

3.4 Stima dei parametri del processo da un ”pre- run”

Nella pratica, l’ipotesi di ritenere noti i parametri del processo produttivo, che qui indichiamo in modo generico con µ e σ, non è quasi mai soddisfatta. Segue che è necessario stimarli sulla base di un certo numero m (m = 20 ÷ 25) di campioni preliminari opportunamente estratti in un periodo in cui il processo viene ritenuto sotto controllo. Tale insieme di campioni viene indicato con il termine prerun.

Indicando con

x

, x

, ..., x

le medie di ciascun campione uno stimatore della media incognita del processo µ è la media degli m campioni:

bµ = x = x

+ x

+ ... + x

m

Se anche la variabilità del processo σ non è nota, allora è necessaria stimarla.

I due stimatori più comuni di σ utilizzano i range o le deviazioni standard degli m campioni.

Metodo basato sui range

In ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare il range del campione, così

R

, R

, ..., R

sono i range degli m campioni che costituiscono il prerun. Il range medio R = R

+ R

+ ... + R

m

è uno stimatore del range del processo (non è uno stimatore di σ).

Lo stimatore per σ

si ottiene considerando la variabile W = R/σ detta range relativo. La variabile W ha una distribuzione nota che dipende dall’ampiezza del campione n, ed il suo valore atteso è

E(W ) = d

dove d

è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery (2000)).

Segue che se R è il range medio degli m campioni preliminari uno stimatore corretto di σ è dato da

bσ = R d

Inoltre se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente X ∼ N(µ, σ

), allora la deviazione standard di W è pari a

σ

= d

dove d

è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery (2000)). Segue che essendo

R = W σ lo scarto quadratico medio di R risulta quindi

σ

= d

σ ed essendo σ non nota si può stimare σ

con

bσ

= d

R d

Metodo basato sulle deviazioni standard

In ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare la deviazione standard del campione, così

s

, s

, ..., s

sono le deviazioni standard dei m campioni che costituiscono il prerun. Si può quindi calcolare la deviazione standard media

S = s

+ s

+ ... + s

m

La statistica S ha un valore atteso pari a E(S) = c

σ e una deviazione standard pari a

σ

= σ q

1 − c

Dove il termine c

è tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery, (2000)).

Segue che uno stimatore di σ è dato da bσ = S

c

SCHEMA DELLE CARTE DI CONTROLLO CHE VEDREMO CARTE DI CONTROLLO (Shewart)

VARIABILI ATTRIBUTI

controllo X media np numero elementi non conformi locazione X mediana e p frazione elementi non conformi

c numero di difetti

controllo R range u numero di difetti per unità fisica

variabilità S deviaz.stand.

Carte di controllo per variabili

La caratteristica di qualità di interesse è descritta da una variabile aleatoria continua X e si assume che sia distribuita normalmente (test di normalità)

X ∼ N(µ

, σ

)

Se il processo è in stato di controllo allora µ

= µ

e σ

= σ

. Il controllo del processo produttivo serve per controllare che nel tempo µ

e σ

si mantengano in accordo con i valori target o nominali µ

e σ

.

Il valori target possono essere

• valori nominali µ

e σ

specificati da una legge, uno standard o dal progetto del prodotto

• valori empirici µ

e σ

ticavati dall’esperienza passata del processo

• stime b µ

e b σ

ricavate da un apposito insieme di dati preliminari (prerun) relativi al processo non disturbato

4.1 Carte di controllo per il livello del processo

Quando interessa rilevare shift nella media µ

del processo in entrambe le di- rezioni si costruisce una carta di controllo bidirezionale. Il sistema d’ipotesi che si vuole controllare è il seguente

H

: µ

= µ

H

: µ

6= µ

La posizione di CL (la linea centrale) dipende dall’informazione disponibile su µ

, ovvero:

CL = µ

31

se µ

è un valore nominale noto.

I limiti di controllo UCL e LCL sono determinati in modo che nell’ipotesi H

la probabilità di un falso allarme sia α:

P r {Y / ∈ (LCL, UCL) |H

} = α

Se presenti, per i limiti di guardia UWL e LWL si segue lo stesso ragiona- mento con riferimento ad un α

specificato (α < α

)

P r {Y / ∈ (LW L, UW L) |H

} = α

4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti)

Questa carta di controllo utilizza come statistica test la media campionaria X = 1

n X

X

Per controllare il processo un campione di ampiezza n > 1 elementi viene es- tratto casualmente dal processo produttivo ad intervalli di tempo regolari si osservano gli n valori della caratteristica di qualità di interesse e si calcola la media del campione

x = 1 n

X

x

Si supponga che la caratteristica di qualità X si distribuisca normalmente, X ∼ (µ

, σ

), quindi segue che

X ∼ N(µ

, σ

n )

Si può quindi ricavare la probabilità che la statistica test assuma valori in un intorno di µ

quando è vera l’ipotesi H

:

P r

½

µ

− z

σ

√ n ≤ X ≤ µ

+ z

σ

√ n |µ

= µ

¾

= 1 − α

dove z

è il punto percentile di una normale standardizzata Z ∼ N(0, 1) tale che Pr ¡

Z ≥ z

¢ = α/2.

Pertanto se µ

e σ

sono noti, si ha CL = µ

e i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano:

U CL = CL + z

√ n σ

= µ

+ z

√ n σ

LCL = CL − z

√ n σ

= µ

− z

√ n σ

U W L = CL + z

√ n σ

= µ

+ z

√ n σ

LW L = CL − z

√ n σ

= µ

− z

√ n σ

Se invece se µ

e σ

non sono noti , allora vengono sostituiti da loro stime corrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate.

Funzione di potenza e curva operativa della carta x

La capacità di una carta Shewart nell’individuare uno shift nel livello del processo è fornita dalla funzione di potenza o dal suo complemento a 1, la curva operativa caratteristica (OC).

La funzione di potenza rappresenta la probabilità di avere un segnale di fuori controllo, dato il livello del processo al tempo t. Nel nostro caso:

G(µ

) = Pr ©

X ≥ UCL|µ

ª + Pr ©

X ≤ LCL|µ

ª con CL = µ

e σ

noti e fissi.

Sviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µ

,

)

G(µ

) = Pr

½

X ≥ µ

+ z

√ n σ

|µ

¾ + Pr

½

X ≤ µ

− z

√ n σ

|µ

¾

=

= 1 − Φ

à µ

+

σ

− µ

σ

√ n

! + Φ

à µ

−

σ

− µ

σ

√ n

!

=

= Φ

Ã

− µ

+

σ

− µ

σ

√ n

! + Φ

à µ

−

σ

− µ

σ

√ n

!

dove Φ (.) indica la funzione di ripartizione della N (0, 1). Indicando lo shift standardizzato con

δ

= µ

− µ

σ

si ottiene

G(δ

) = Φ ¡

−z

+ δ

√ n ¢

+ Φ ¡

−z

− δ

√ n ¢

La funzione di potenza è una funzione crescente del valore assoluto dello shift standardizzato:

G(δ

= 0) = α

e per |δ

| −→ ∞, si ha che G(δ

) −→ 1.

Example 1 Un processo produttivo produce pistoni per motori, il diametro ot- timale dei pistoni dovrebbe essere 74 millimetri. Supponendo nota la variabilità del processo produttivo, σ

= 0.01, costruire una carta di controllo per il livello medio del processo basandosi su campioni di ampiezza n = 5. a) Calcolare i lim- iti di controllo in modo tale che la probabilità di un falso allarme sia α = 0.002.

Risposta a)

CL = µ

= 74

U CL = CL + C

σ

= µ

+ z

√ n σ

= 74 + 3.09

√ 5 0.01 = 74.01382

LCL = CL − C

σ

= µ

− z

√ n σ

= 74 − 3.09

√ 5 0.01 = 73.98618 b) Calcolare i limiti di guardia con α

= 0.05. Risposta b)

U W L = CL + C

σ

= µ

+ z

√ n σ

= 74 + 1.96

√ 5 0.01 = 74.00877

LW L = CL − C

σ

= µ

− z

√ n σ

= 74 − 1.96

√ 5 0.01 = 73.99123

c) Calcolare la probabilità di rilevare che è avvenuto uno shift nella media del processo, più precisamente µ

= 73.98. Risposta c) Si tratta di calcolare il valore della funzione di potenza quando µ

= 73.98. Calcolo il valore dello shift standardizzato

δ

= µ

− µ

σ = 73.98 − 74 0.01 = −2 quindi

G(δ

= −2) = Φ ³

−3.09 − 2 √ 5 ´

+ Φ ³

−3.09 + 2 √ 5 ´

=

= Φ (−7.562) + Φ (1.382) ' 0.916

Nella figura (4.1) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta di controllo.d) Calcolare il valore dell’ARL quando µ

= 73.98. Risposta d) Il valore dell’ARL si ricava da

ARL(δ

) = 1

G(δ

) = 1

0.916 = 1.092

Nella figura (4.2) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta di

controllo.e) Si supponga che i valori della statistica test siano quelli riportati in

Figura (4.3). Cosa si può affermare sullo stato del processo produttivo?