1) Mostrare che

(1)

Prova scritta di Matematica (A) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺ x

1−x²

−

_cos^sin(x)2(x)

sin(x) log( √

1 + x

²

) = 1 3 .

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

0

= 0 della funzione

f (x) =

(_sin2(2x)−sin(4x²)

x³

0 < x,

−

⁴₃

arcsin(4x) −

¹₄

< x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = 1

x − log(1 + 1 x ).

4) Determinare

Z

sin

³

(2x) dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

y

⁰

= −y + sin(1 + e

^x

),

(2)

Prova scritta di Matematica (A1) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺

2

cos(x)

− e

^x

− e

^−x

( √

1 + x

²

− 1) log((1 + x)

^1/3

) = 0.

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(_sin2(x)−sin(x²)

x³

0 < x,

−

²₃

arcsin(

^x₂

) −2 < x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = log(1 + 1

x ) − 1 x + 1 .

4) Determinare

Z

cos(2x)e

^x

dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

y

⁰

= −y + cos(1 + e

^x

),

(3)

Prova scritta di Matematica (B) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺

sin(−x)

cos²(x)

−

_x2^x−1

sin(−x) log((1 + x

²

)

^−1/2

) = 1 3 .

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

0

= 0 della funzione f (x) =

(_log2(1−x)−log(1+x²)

x²

0 < x,

− arcsin(−x) −1 < x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = 1

2x − log(1 + 1 2x ).

4) Determinare

Z

sin(2x)e

^x

dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

(

y

⁰

=

¹_x

y + x

²

,

(4)

Prova scritta di Matematica (B1) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺

e

^x

+ e

^−x

−

_cos(x)²

( √

1 + x

²

− 1) log((1 + x)

^1/6

) = 0.

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(_log2(1+x)−log(1+x²)

x²

0 < x,

− arcsin(x) −1 < x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = log(1 + 1

2x ) − 1 2x + 1 .

4) Determinare

Z

cos

³

(2x) dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

y

⁰

= y − sin(x),

(5)

Prova scritta di Matematica (C) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺

cos(x)(e

^2x

+ 1) −

_1−x²

+ x

²

((1 + x

²

)

^5/3

− 1) sin(x) = −1.

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(^√_16+x₂₋₄

x

0 < x,

1

2

sin(

¹₄

x) x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = xe

^x−1^x

.

4) Determinare

Z

1 x

²

log(1 + 1 x ) dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

(

y

⁰

= −

¹_x

y + sin(x),

y(1) = 0.

(6)

Prova scritta di Matematica (C1) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

x→0

lim

⁺

e

^x

− e

^−x

− 2 sin(x) −

^x₂³

(1 − cos(x))( √

1 + x − 1) = 2 3 .

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(^√

9+x²−3

x

0 < x,

1

2

arctan(

¹₃

x) x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = (x + 1)e

^x+1^x

.

4) Determinare

Z

1 x

²

arctan( 1 x ) dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

(

y

⁰

= −

_x¹

y + cos(1 + x

²

),

(7)

Prova scritta di Matematica (D) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

lim

x→0⁺

cos(−x)(e

^2x

+ 1) +

_x−1²

+ x

²

(1 − (1 + x

²

)

^5/3

) sin(−x) = −1.

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(^√_4+x₂₋₂

x

0 < x,

1

2

arcsin(

¹₂

x) −2 ≤ x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = (1 − x)e

^x−1^x

.

4) Determinare

Z

x arcsin( 1 x ) dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

y

⁰

= tan(x)y + sin(x),

(8)

Prova scritta di Matematica (D1) del 26/01/2009

COGNOME NOME

MATRICOLA Valutazione prova in Itinere:

ORALE: Settimana 2/7 febbraio Settimana 16/21 febbraio

1) Mostrare che

x→0

lim

⁺

2 sin(−x) − e

^−x

+ e

^x

−

^x₂³

(1 − cos(−x))(1 − √

1 − x) = 2 3 .

2) Si studi la continuit` a e la derivabilit` a nel punto x

₀

= 0 della funzione

f (x) =

(^√

1+x²−1

x

0 < x,

1

2

(e

^x

− 1) x ≤ 0.

3) Tracciare il grafico della funzione

f (x) = −xe

^x+1^x

.

4) Determinare

Z

x

²

s

1 + 1 x

²

dx

5) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

(

y

⁰

= tan(x)y + x

²

,