1. Mostrare che l’equazione

24 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Funzioni implicite

1. Mostrare che l’equazione

x ² + 4 y ² − 52 = 0 (1)

definisce, in un intorno I del punto x = 4 dell’asse x, una sola funzione implicita y = y(x), derivabile in I, che soddisfa la (1) e che assume il valore 3 per x = 4. Calcolare inoltre la derivata y
( x) nel punto x = 4.

[[ _y

_{(4) = −1/3} ] 2. Mostrare che l’equazione

1 + xy − log(e ^xy + e ^−xy ) = 0 (2)

definisce, in un intorno I del punto x = 1 dell’asse x, una sola funzione implicita y = y(x), derivabile in I, che soddisfa la (2) e che assume il valore − log √

e − 1 per x = 1. Calcolare inoltre la derivata y
( x) nel punto x = 1.

[[ y

(1) = log √ e − 1 ] 3. Mostrare che l’equazione

2 xe ^y + y + 1 = 0 (3)

definisce, in un intorno I del punto x = 0 dell’asse x, una sola funzione implicita y = y(x), derivabile in I, che soddisfa la (3) e che assume il valore −1 per x = 0. Calcolare inoltre le derivate y
( x), y

( x) nel punto x = 0.

[[ y

(0) = −2/e, y

(0) = 8/e

] 4. Mostrare che l’equazione

z ³ − (x + y)z − 8 = 0 (4)

definisce, in un intorno I del punto (0, 0) del piano xy, una sola funzione implicita z = z(x, y), continua e derivabile in I, che soddisfa la (4) e che assume il valore 2 per x = 0, y = 0. Calcolare inoltre le derivate parziali prime e seconde della z(x, y) nel punto (0, 0).

[[ z

(0, 0) = 1/6, z

(0, 0) = 1/6; z

(0, 0) = z

(0, 0) = z

(0, 0) = z

(0, 0) = 0 ] 5. Mostrare che il sistema

x ² + y ² + z ² − 20 = 0

x + y + z − 6 = 0 (5)

definisce, in un intorno I del punto x = 0 dell’asse x, due sole funzioni implicite y(x), z(x), derivabili in I, che soddisfano il sistema (5) e che assumono per x = 0 rispettivamente i valori 4 e 2 . Calcolare inoltre le derivate y
( x), z
( x), y

( x), z

( x) nel punto x = 0.

[[ _y

_{(0) = 1, z}

(0) = −2, y

(0) = −3, z

(0) = 3 ] 6. Mostrare che il sistema ⎧

⎨

⎩

x + y + z + u − 6 = 0 x ² + y ² + z ² + u ² − 14 = 0 x ³ + y ³ + z ³ + u ³ − 36 = 0

(6)

definisce, in un intorno I del punto x = 3 dell’asse x, tre sole funzioni implicite y(x), z(x), u(x) derivabili in I, che soddisfano il sistema (6) e che assumono per x = 3 rispettivamente i valori 2 , 1, 0. Calcolare inoltre le derivate y
( x), z
( x), u
( x) in x = 3.

[[ _y

(3) = −3, z

(3) = 3, u

(3) = −1 ] 7. Scrivere il polinomio di Mac-Laurin al primo ordine della funzione y = y(x) dell’esercizio 3 definita implicitamente dall’equazione 2 xe ^y + y + 1 = 0.

[[ y(x) = −1 − 2 e x ] 8. Scrivere il polinomio di Mac-Laurin al primo ordine della funzione z = z(x, y) dell’esercizio 4 definita implicitamente dall’equazione z ³ − (x + y)z − 8 = 0.

[[ z(x, y) = 2 + 1

6 (x + y) ]