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Nel aso di un'eq

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Academic year: 2021

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CM68sett.tex

ComplementidiMatemati a- a. a. 2006-2007

Ottava settimana

Inizio: marted21.11.2006

Ripresa delle equazioni di erenziali di ordine primo e se ondo e della

loro trasformata diLapla e(x 4.8.3 e 4.8.4).

Caso in ui l'equazione aratteristi a ha due radi i reali e distinte, in ui

ha due radi i omplesse oniugate e in uiha dueradi i reali e oin identi

(formule da(4.1.18) a (4.1.21)).

Riduzione,nel asoin uileradi isiano omplesse,aunsistemafondamen-

tale di integrali ostituito da duefunzioni reali: una ombinazione lineare

dellefunzioni

e

( 1+i 2)t

=e 1t

e i 2t

e

( 1 i 2)t

=e 1t

e 2t

si puo esprimere ome ombinazione lineare (ovviamente a oeÆ ienti di-

versi) di

e 1t

sin

2

t e

1t

os

2 t

equindisiritrovanolefunzioni on uisiesprimevanolesoluzionidell'equa-

zione di erenzialeinMatemati a 3.

Si noti he le soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n

ostituis ono uno spazio vettoriale di dimensione n di ui il sistema fon-

damentale di integrali ostituis e una base. Nel aso di un'eq. di . del 2 o

ordinelabaseeappunto ostituitadaduefunzionilinearmenteindipendenti.

Commentosulfatto helasoluzionediun'equazionedi erenzialetramite

laL-trasformataelasoluzionediunproblemadiCau hy,per heene essaria

la onos enza dei valori iniziali y(0); y 0

(0). Si trova infatti una soluzione

uni a,e non unintegralegenerale.

Nel aso y 00

+ay 0

+ y=f(t)siha,trasformando:

L(y)=

y(0)s+y 0

(0)+by(0)

s 2

+as+b

+

L(f)

s 2

+as+b

e antitrasformando:

y=h+f g

dove h e l'antitrasformata del primo addendo del se ondo membro, quindi

un integrale dell'eq. omogenea asso iata ( he appunto si ha perf =0): h

quindidipendesolodalsistemaedalle ondizioniiniziali. Asuavoltainve e

f g e la soluzionedell'eq. non omogenea nel aso delle ondizioni iniziali

tutte nulle.

(Quanto sopra sitrovaespostoin4.11.5 e 4.11.6 no allameta dip. 216, e

(2)

Le equazioni integrali: esempi (4.12.1-4.12.3) ed eser izi da 4.12.9 a

4.12.13.

Tragli eser izi proposti: da 55 a68.

Eser izio

(

y 0

(t)= R

t

0

y() d

y(0)=1

Trasformando:

sL(y) 1= 1

s L(y)

da uiL(y)= s

s 2

1

=L osht.

Eser izio

y(t)=t Z

t

0

y() d

):::L(y)= 1

s 2

 s

s+1

== 1

s 1

s+1

Eser izio

(

y 0

(t)=2 R

t

0

sin(t )y 0

(t)d+e t

y(0)= 1

3

Sitrova primala soluzioneiny 0

, he risultaessere

y 0

= osht+te t

Ora bisogna integrare tenendo onto della ondizione iniziale (il se ondo

terminesiintegra perparti)

Eser izio

8

>

<

>

: x

0

+y=e t

x 2y 0

=e 2t

x(0)=0; y(0)=0

*************** ** ** ** *** ** ** ** ** *** ** ** ** ** *** ** *

Nonfannopartedelprogrammad'esame: x4.9; x4.10salvo4.10.3e4.10.10;

x 4.11 salvo 4.11.5 e la prima meta di 4.11.6; la prima meta di pag. 226;

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