CM68sett.tex
ComplementidiMatemati a- a. a. 2006-2007
Ottava settimana
Inizio: marted21.11.2006
Ripresa delle equazioni dierenziali di ordine primo e se ondo e della
loro trasformata diLapla e(x 4.8.3 e 4.8.4).
Caso in ui l'equazione aratteristi a ha due radi i reali e distinte, in ui
ha due radi i omplesse oniugate e in uiha dueradi i reali e oin identi
(formule da(4.1.18) a (4.1.21)).
Riduzione,nel asoin uileradi isiano omplesse,aunsistemafondamen-
tale di integrali ostituito da duefunzioni reali: una ombinazione lineare
dellefunzioni
e
( 1+i 2)t
=e 1t
e i 2t
e
( 1 i 2)t
=e 1t
e 2t
si puo esprimere ome ombinazione lineare (ovviamente a oeÆ ienti di-
versi) di
e 1t
sin
2
t e
1t
os
2 t
equindisiritrovanolefunzioni on uisiesprimevanolesoluzionidell'equa-
zione dierenzialeinMatemati a 3.
Si noti he le soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n
ostituis ono uno spazio vettoriale di dimensione n di ui il sistema fon-
damentale di integrali ostituis e una base. Nel aso di un'eq. di. del 2 o
ordinelabaseeappunto ostituitadaduefunzionilinearmenteindipendenti.
Commentosulfatto helasoluzionediun'equazionedierenzialetramite
laL-trasformataelasoluzionediunproblemadiCau hy,per heene essaria
la onos enza dei valori iniziali y(0); y 0
(0). Si trova infatti una soluzione
uni a,e non unintegralegenerale.
Nel aso y 00
+ay 0
+ y=f(t)siha,trasformando:
L(y)=
y(0)s+y 0
(0)+by(0)
s 2
+as+b
+
L(f)
s 2
+as+b
e antitrasformando:
y=h+f g
dove h e l'antitrasformata del primo addendo del se ondo membro, quindi
un integrale dell'eq. omogenea asso iata ( he appunto si ha perf =0): h
quindidipendesolodalsistemaedalle ondizioniiniziali. Asuavoltainve e
f g e la soluzionedell'eq. non omogenea nel aso delle ondizioni iniziali
tutte nulle.
(Quanto sopra sitrovaespostoin4.11.5 e 4.11.6 no allameta dip. 216, e
Le equazioni integrali: esempi (4.12.1-4.12.3) ed eser izi da 4.12.9 a
4.12.13.
Tragli eser izi proposti: da 55 a68.
Eser izio
(
y 0
(t)= R
t
0
y() d
y(0)=1
Trasformando:
sL(y) 1= 1
s L(y)
da uiL(y)= s
s 2
1
=L osht.
Eser izio
y(t)=t Z
t
0
y() d
):::L(y)= 1
s 2
s
s+1
== 1
s 1
s+1
Eser izio
(
y 0
(t)=2 R
t
0
sin(t )y 0
(t)d+e t
y(0)= 1
3
Sitrova primala soluzioneiny 0
, he risultaessere
y 0
= osht+te t
Ora bisogna integrare tenendo onto della ondizione iniziale (il se ondo
terminesiintegra perparti)
Eser izio
8
>
<
>
: x
0
+y=e t
x 2y 0
=e 2t
x(0)=0; y(0)=0
*************** ** ** ** *** ** ** ** ** *** ** ** ** ** *** ** *
Nonfannopartedelprogrammad'esame: x4.9; x4.10salvo4.10.3e4.10.10;
x 4.11 salvo 4.11.5 e la prima meta di 4.11.6; la prima meta di pag. 226;