Analisi Matematica e Geometria 1

Prove scritte di

Analisi Matematica e Geometria 1

Ingegneria Industriale a.a. 2015–2016

x y

f

g

0 1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica e Geometria 1 ” per Ingegneria Industriale, Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 18 gennaio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = sin x 2 sin x− 1. 2) Risolvere la seguente equazione:

zz− 1 + i = 0 .

3) (Analisi Matematica e Geometria I) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim

π√− arctan x x log x .

4) (Analisi Matematica e Geometria I) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: 





x + y− z = 1 , 2x + 3y + kz = 3 , x + ky + 3z = 2 .

3) (Analisi Matematica I) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ n³+ 1 n²+ n! .

4) (Analisi Matematica I) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

cos²7x sin 3x dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 18 gennaio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = cos x 2 cos x− 1 . 2) Risolvere la seguente equazione:

z²+ zz− 9 + 3i = 0 .

3) (Analisi Matematica e Geometria I) Calcolare il seguente limite

xlim→1

arccos x log x log(1− x) .

4) (Analisi Matematica e Geometria I) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: 





x + y− z = 1 , 3x + 2y + kz = 3 , kx + y + 3z = 2 .

3) (Analisi Matematica I) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ n⁴+ 2n³ nⁿ .

4) (Analisi Matematica I) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

sin³x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 19 gennaio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x| − 1

x  .

2) Risolvere la seguente equazione:

zz + z− 1 + i = 0 .

3) (Analisi Matematica e Geometria I) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^x2− 1 − x² (cos x− 1)² .

4) (Analisi Matematica e Geometria I) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: 





x + y + 2z = 4 , 2x + 2y + 4z = k , 3x + y + z = k .

3) (Analisi Matematica I) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ 2n +√ n + 3 n³+√

n .

4) (Analisi Matematica I) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

cos³x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 19 gennaio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log  x

|x| − 1  .

2) Risolvere la seguente equazione:

zz + 2z− 4i = 0 .

3) (Analisi Matematica e Geometria I) Calcolare il seguente limite

xlim→0

x²− 2x + 2 log(1 + x) e^x3 − 1 .

4) (Analisi Matematica e Geometria I) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: 





x + z = 1 ,

kx + y + z = 1− k , y + (1− k)y = 1 .

3) (Analisi Matematica I) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ eⁿ n! .

4) (Analisi Matematica I) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

sin²8x cos 3x dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 1 febbraio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =||x| − |x − 1|| .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z + z− i|z|² = 1− i . 3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

(1 + sin²x)^3/2− 1 x− log(1 + x) .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Si considerino le matrici:

A =







2 3 0 0 1 6 1 1 3 0 1 1





 , B =



−2 1 0

1 0 6

−1 5 1



 .

Si calcoli la matrice prodotto A· B e se ne determini il rango.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

sin 2x 2− cos²xdx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 1 febbraio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =||x + 2| − |x − 1|| .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z− z + 2|z|² = 1 + i . 3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

(1 + tan³x)^1/2− 1 x− tan x .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Si considerino le matrici:

A =







2 1 0 0 1 4 1 1 2 0 2 1





 , B =



−1 2 0

2 0 3

−1 2 1



 .

Si calcoli la matrice prodotto A· B e se ne determini il rango.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

sin 2x 2− sin²xdx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 2 febbraio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =x²− |x − 2| .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

2√

1 + x− 2 − x e^x2 − 1 .

3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b1, b₂, b₃, b₄} una base di V . Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori:

v₁ = b₄− b3+ b₁, v₂ = 2b₂+ b₃− b4, v₃ = 2b₁+ 2b₂+ b₄− b3. Completare poi la base trovata ad una base di V .

4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice:

A =







−2 0 0 0

0 −2 −6 −6

0 0 3 3

0 0 −2 −2





 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z· z⁴− 1 = 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ (n + 1) sin n n³+ 6 . 4) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _π/2

0

sin 2x

√sin²x + 1dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 2 febbraio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =x²+ 4− |x| .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

4√

x + 4√ − 8 − x sin(x⁴) .

3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b1, b₂, b₃, b₄} una base di V . Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori:

v1 = b4− b3+ b1, v2 = 2b2+ b3− b4, v3 = 2b1+ 2b2+ b4− b3. Completare poi la base trovata ad una base di V .

4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice:

A =







−2 0 0 0

0 −2 −6 −6

0 0 3 3

0 0 −2 −2





 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z⁴· z − 1 = 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ n²cos n n⁴+ 2 . 4) Calcolare il seguente integrale definito:

∫ _e

1

log x x√

log²x + 1dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 22 febbraio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =√

|1 − x²|³ .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente

equazione: (

z i + i

z

) (z³− i)

= 0 . 3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^xcos x− 1

√1 + x cos x− 1 .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Si considerino le matrici:

A =







3 −1 0

0 1 4

1 1 3

0 1 1





 , B =



−1 1 1

1 0 2

−1 0 1



 .

Si calcoli la matrice prodotto A· B e se ne determini il rango.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

sin 2x cos 5x dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 22 febbraio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =√

|1 − x|³ .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente

equazione: (

z i + i

z

) (z³+ i)

= 0 . 3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^x√

1 + x− 1 e^xcos x− 1 .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Si considerino le matrici:

A =







1 0 −1

1 0 2

1 1 2

0 −1 1





 , B =



−1 1 1

1 0 2

−1 0 1



 .

Si calcoli la matrice prodotto A· B e se ne determini il rango.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

sin 5x cos 2x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 23 febbraio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e^−x/(x2+1) .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^xlog(e + x)− cos x

sin x .

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:





x + y− z = 1, 2x + 3y + az = 3, x + ay + 3z = 2.

4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice:

A =



 2 −3 0

−1 0 0

−1 1 1



 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z²− 5z + 6 = 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)ⁿ log n n²+ 1 . 4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log x log³x + 1

1 xdx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 23 febbraio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e^{−x/(x2−1)} .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^xcos x− log(e + x)

tan x .

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:





x− y + z = 1, 2x + ay + 3z = 3, x + 3y + az = 2.

4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice:

A =



−1 −3 0

−1 0 0

0 1 1



 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z²− 7z + 6 = 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)ⁿ n log n n³+ 1 . 4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log²x log³x− 1

1 xdx .

Analisi Matematica I per studenti fuori corso) 12 aprile 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = |x(x − 1)|

x + 2 .

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^(x2)− cos x sin x .

3) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e^x

e^3x− e^2xdx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 7 giugno 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arcsin x x²− 2.

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z²z + 1 = 0 .

3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

x log(1 + x)− sin²x 1− cos x .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Discutere il seguente sistema lineare:









y + z = 0,

x + y + 2z = 0, 2y + 3z = 0, 3x + y + 5z = 5.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x³

(x²+ 1)xdx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 7 giugno 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arcsin x x²− 2.

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z²z + 1 = 0 .

3) Calcolare il seguente limite

xlim→0

sin x log(1 + x)− x²

tan²x .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Discutere il seguente sistema lineare:









y + z = 0,

x + y + 2z = 0, 2y + 3z = 0, 3x + y + 5z = 7.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x³

(x²− 1)xdx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 8 giugno 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =

√ x

x²− 1 .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

e^xcos x− 2^x

x .

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:









x + ky + 2z = 1 x + y + 3z = 2 2x + ky + z = 1 3x + 2ky + 3z = 2.

4) Determinare i valori di k per cui l’applicazione lineare f : R³ → R³ f (x, y, z) = (x + 2y, 2x + ky + z,−x + 2y + kz),

ammetta inversa.

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano il seguente sistema di equazioni:

{ Re (¯z(z + i))≤ 2 Im (z)≥ 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ sin 1/n n log n .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x²

(x + 1)(x²+ 1)dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 8 giugno 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =

√x²− 1

x .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

√1 + x cos x− e^x

x .

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:





kx + 2y + (k + 1)z = 0 x + (k + 3)y = 0

(k− 1)x − (k + 5)y − (k + 1)z = 0.

4) Determinare i valori di k per cui l’applicazione lineare f : R³ → R² f (x, y, z) = (k²x + y, kx + y− (k − 1)z),

non ´e suriettiva.

Analisi Matematica I

2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano il seguente sistema di equazioni:

{ Re (¯z(z + i))≤ 2 Im (z)≥ 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ n + 1 (n³+ 1) log n . 4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x² x⁴− 1dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 21 giugno 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan

√ x

x− 1 .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

Re (z²)· Im (z²) = 0 . 3) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim

√x³+ 1

2x arctan1 x .

Analisi Matematica e Geometria I

4) Discutere il seguente sistema lineare:





(k− 1)y + 3z = 1, kx− 21y − 2z = −4,

−x + 5y + z = 1.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ sin x sin 2x 1 + sin³x dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 21 giugno 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan

√x− 1 x .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

|z|²+ (Im z)² = 0 . 3) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim 2x x²+ 1 log

( 1 + 1

√x )

.

Analisi Matematica e Geometria I

4) Discutere il seguente sistema lineare:





(k− 1)y + 3z = 1, kx− 21y − 2z = −4,

−x + 5y + z = 1.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ cos x cos 2x 1 + sin³x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 22 giugno 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = logx²− 1

x .

2) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim (

arctan√ x−π

2 ) 3

√x⁴+ 1 x³+ 2 .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Determinare i valori del parametro reale k tali che il sistema







x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y− z = 1

abbia, rispettivamente, una unica soluzione, nessuna soluzione o pi´u di una soluzione.

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: A =



1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4





Analisi Matematica I

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

∑+∞

n=2

(−1)ⁿ log n log (

1 + 1 n

) .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x²

(x + 1)²(x²+ 1)dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 22 giugno 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =− log x x²− 1 .

2) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim

√x³+ 1

x + 2 arccos x x + 1 .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Discutere l’esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale k. Determinare, ove esistano, le soluzioni.







x + y + kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = 1

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B =



−3 1 −1

−7 5 −1

−6 6 −2



 .

Analisi Matematica I

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ log n log (

1 + 1 n

) .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x²

(x + 1)²(x²+ 1)dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 5 luglio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = xe^x−1x .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

z²+ Re z = 20 .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Discutere il seguente sistema lineare:





(k− 1)x + 3z = 9, 25x− ky + 2z = −9, 5x− y + z = 8.

Analisi Matematica I

3) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log²x

x(log³x + 1)dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 20 luglio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log(1 + arctan x) .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite lim

x→0⁺

2−√

1 + x²− cos x

x⁴ .

3) Sia

f :R⁴→ R³

f (x, y, z, w) = (x + ky + w, kx + 4y + 2w, x + z + w).

Si determini il sotto spazio nucleo di f , e se ne calcoli una base.

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B =



1 1 0 3 3 −1 9 9 −2



 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino le radici terze del numero complesso:

z = (i + 1)³(√ 3 + 1)⁶

i− 1 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ 1

log n arctan1 n .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log x + 1 log³x− 1

1 x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 20 luglio 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log(−1 + arctan x) .

Analisi Matematica e Geometria I

2) Calcolare il seguente limite

xlim→0

2− log(e(1 + x²))− cos(√ 2x)

x⁴ .

3) Sia

f :R⁴→ R³

f (x, y, z, w) = (x + ky + w, kx + 4y + 3w, x + z + w).

Si determini il sotto spazio nucleo di f , e se ne calcoli una base.

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B =



1 1 0

3 3 −1

9 11 −2



 .

Analisi Matematica I

2) Si determinino le radici terze del numero complesso:

z = (i + 1)³(√ 3 + 1)⁶

i− 1 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ 1

log n arctan1 n .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log x + 1 log³x− 1

1 x dx .

sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 2 settembre 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = √³

(x + 1)²(x− 1) .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguente equazione:

i(Im z)²+|z|²= 4(1 + i) .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Calcolare il rango della matrice:







1 1 1 1

1 1 −1 1

1 1 −1 −1

1 1 1 −1







Analisi Matematica I

3) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

sin³x cos⁶x dx .

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 6 settembre 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan x² x− 1 .

2) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim x² log (

1 +1 x

)

arctan1

x log x .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Si considerino i sottospazi diR³:

V1 =⟨(1, 2, −4)⟩ , V2 =⟨(−2, 0, 1)⟩ . a) Determinare i sottospazi V₁∩ V2 e V₁+ V₂.

b) Si dica se il vettore e₂ = (0, 1, 0) appartiene a V₁+ V₂. c) Si dica se il vettore −4e1− 4e2+ 9e3 appartiene a V1+ V2. 4) Si consideri la matrice reale:

A =



k k− 1 k 0 2k− 2 0 1 k− 1 2 − k



 .

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determinino i valori di k per cui A `e invertibile.

Analisi Matematica I

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ log³n n² .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos 3x sin 5x dx .

1) La funzione `e definita in R \ {1} e non presenta simmetrie n´e periodi- cit`a. Si ha

f (x)≥ 0 ⇔ (x > 1) ∨ (x = 0) , f (x)≤ 0 ⇔ (x < 1) . Vi `e una sola intersezione con gli assi nel punto (0, 0).

La funzione `e continua e inoltre lim

x→1⁻f (x) =−π

2 , lim

x→1⁺f (x) = π 2 ,

x→+∞lim f (x) = π

2 , lim

x→−∞f (x) =−π 2 .

Quindi non vi sono asintoti verticali mentre vi sono un asintoto oriz- zontale a destra di equazione y = π/2 e un asintoto orizzontale a sinistra di equazione y =−π/2.

La funzione `e derivabile infinite volte inR \ {1} e si ha f^′(x) = x(x− 2)

x⁴+ (x− 1)² , f^′′(x) =−2(x⁵− 3x⁴− x + 1) (x⁴+ (x− 1)²)² . La derivata prima `e positiva in ]− ∞, 0] ∪ [2, +∞[ ed `e negativa in [0, 1[∪]1, 2]. Quindi f `e strettamente crescente negli intervalli ] − ∞, 0]

e [2, +∞[ ed `e strettamente decrescente negli intervalli [0, 1[ e ]1, 2]. Il punto 0 `e di massimo relativo e il punto 2 `e di minimo relativo con f (2) = arctan 4.

Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto pi`u complesso.

2) Utilizzando i limiti notevoli si ha

x→+∞lim x² log (

1 + 1 x

)

arctan1 x log x

= lim

x→+∞x² log( 1 +¹_x)

1 x

arctan¹_x

1 x

1 x

1 x log x

= lim

x→+∞x² 1 x

1

x log x = lim

x→+∞log x = +∞ .

3) I vettori v1 = (1, 2,−4) e v2 = (−2, 0, 1) sono linearmente indipendenti in quanto la matrice (

1 2 −4

−2 0 1 )

-1 1 x

-

Π

2 2

Figura 1: Grafico di f (x) = arctan_x^x₋₁²

ha rango 2. Quindi V₁∩ V2 = {0}. Poich`e v1 e v₂ sono linearmente indipendenti e devono appartenere entrambi a V1+ V2 allora V1+ V2 =

⟨v1, v2⟩.

Conseguentemente un vettore v appartiene a V₁+V₂se e solo si esprime come combinazione lineare di v₁ e v₂ e quindi se e solo se la matrice



 v₁ v2

v



 ha rango minore di 3, cio`e il suo determinante `e uguale a 0.

Per quanto riguarda il vettore e₂ = (0, 1, 0), il determinante della

matrice 

 1 2 −4

−2 0 1

0 1 0





`e 7 e quindi tale vettore non appartiene a V1+ V2.

Per quanto riguarda il vettore −4e1 − 4e2 + 9e3 = (−4, −4, 9), il determinante della matrice



 1 2 −4

−2 0 1

−4 −4 9





`e 0 e quindi tale vettore appartiene a V₁+ V₂. 4) Il determinante della matrice:

A =



k k− 1 k 0 2k− 2 0 1 k− 1 2 − k



 .

che se k̸= 0 e k ̸= 1 la matrice `e invertibile e il suo rango `e 3.

Se k = 0 si ottiene la matrice

A =



0 −1 0 0 −2 0 1 −1 2



 .

che non `e invertibile ed ha rango 2.

Infine se k = 1 si ottiene la matrice

A =



1 0 1 0 0 0 1 0 1



 .

che non `e invertibile ed ha rango 1.

sede di Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica e Geometria I 6 settembre 2016, B

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctanx− 1 x² .

2) Calcolare il seguente limite

x→+∞lim x² log (

cos1 x

) log x .

Analisi Matematica e Geometria I

3) Si considerino i sottospazi diR³:

V1 =⟨(1, 2, −4)⟩ , V2 =⟨(−2, 0, 1)⟩ . a) Determinare i sottospazi V₁∩ V2 e V₁+ V₂.

b) Si dica se il vettore e2 = (0, 1, 0) appartiene a V1+ V2. c) Si dica se il vettore −4e1− 4e2+ 9e₃ appartiene a V₁+ V₂. 4) Si consideri la matrice reale:

A =



k k− 1 k 0 2k− 2 0 1 k− 1 2 − k



 .

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determinino i valori di k per cui A `e invertibile.

Analisi Matematica I

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=2

(−1)ⁿ log³n n² .

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos 3x sin 5x dx .

1) La funzione `e definita in R \ {0} e non presenta simmetrie n´e periodi- cit`a. Si ha

f (x)≥ 0 ⇔ (x ≥ 1) , f (x)≤ 0 ⇔ (x < 0) ∨ (0 < x ≤ 1) . Vi `e una sola intersezione con gli assi nel punto (1, 0).

La funzione `e continua e inoltre

xlim→0f (x) =−π

2 , lim

x→+∞f (x) = π

2 , lim

x→−∞f (x) =−π 2 . Quindi non vi sono asintoti verticali (il punto 0 `e una singolarit`a eli- minabile mentre vi `e un asintoto orizzontale a destra e sinistra di equazione y = 0.

La funzione `e derivabile infinite volte inR \ {1} e si ha f^′(x) =− x(x− 2)

x⁴+ (x− 1)² , f^′′(x) = 2(x⁵− 3x⁴− x + 1) (x⁴+ (x− 1)²)² . La derivata prima `e positiva in ]0, 2] ed `e negativa in ]−∞, 0[∪[2, +∞[.

Quindi f `e strettamente crescente nell’intervallo [0, 2] ed `e strettamente decrescente negli intervalli ]− ∞, 0[ e [2, +∞[. Il punto 2 `e di massimo relativo (e anche assoluto) con f (2) = arctan 1/4.

Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto pi`u complesso.

1 2 x

-

Π

2

arrctan 14 y

Figura 2: Grafico di f (x) = arctan^x_x⁻¹2

x→+∞lim x² log (

cos1 x

) log x

= lim

x→+∞x² log( 1 +(

cos¹_x− 1)) cos¹_x− 1

cos_x¹ − 1

1 x²

1 x² log x

=−1 2 lim

x→+∞log x =−∞ .

3) Vedasi la soluzione della traccia A.

4) Vedasi la soluzione della traccia A.