E.Fabri aprile 2020
Induzione e.m. in generale
S opo
Mi propongo di esporre una trattazioneabbastanza generale dell'induzione
e.m., on lo s opo di mostrare he non i sono due fenomeni, ome sostiene
Feynman [1℄.
Consideroper io due ir uiti:
{ Un primario he puo essere di formaqualsiasied essere mosso e deformato
in modo qualsiasi nel tempo. Il primario e per orso da una orrente I
1 (t)
an he variabile nel tempo, ma ssata nel senso he non e modi ata da
un'eventuale orrente nel se ondario.
{ Un se ondario, he inrealta none dapensare ome un onduttore, masolo
ome una urva hiusa; an h'esso mobile e deformabile a pia ere. M'inte-
ressa solo al olarela forza elettromotri e F(t)indotta nel se ondario.
Nota1: Consideraresolo l'induzionedovuta a un ir uito primario enon quella
dovuta aunmagnete,noneunarestrizione,visto heunmagnete|perquanto
riguarda il ampo esterno |puo sempre essere rappresentato da un ir uito
equivalente. Perdipiuilmagnetediregolaerigido,elosaraan heilsuo ir uito
equivalente. Qui onsidero an he il aso piu generaledi ir uito deformabile.
Nota2: In vari punti deiragionamenti heseguono, assumeroun punto di vista
non relativisti o, he equivale a supporre he le velo ita in gio o siano pi ole
rispetto a e he le variazioni delle orrenti nel tempo siano lente, s da poter
tras urare i ritardi. Caso per aso mar hero questo fatto on l'in iso \(n.r.)."
Notazioni e s hematizzazioni
Ilprimarioeuna urva hiusa
1
(t),an he variabilenel tempo,parametriz-
zata a ogni istante dalla variabile s
1
, on s
1
2 [0;1℄). Indi hero on r
1
(s;t) il
vettore posizione del generi o punto di
1 .
Il se ondario, analogamente, e la urva
2
(t), parametrizzata dalla varia-
bile s
2 (s
2
2 [0;1℄). Con r
2
(s;t) indi o il vettore posizione di punti di
2 .
Inoltre r
12
e un'abbreviazione per r
2 r
1 .
Versione originaria: di embre 2015. Nel febbraio 2019 ho inserito al une
pre isazioni(n.r.) ehoaggiuntol'ultimasezione. Nellapresenteversione isono
solo modi hese ondarie e un riferimento bibliogra o.
Il ampo magneti o prodottodal primario in un generi o punto r e (n.r.)
B(r;t)=
0
4
I
1 I
1 (t)
dr
1
(r r
1 )
jr r
1 j
3
: (1)
Nella (1) va hiarito il sigi ato di dr
1
. La urva
1
a un dato istante t puo
essere des ritta dall'equazione parametri a r
1
= r
1
(s;t). Piu esattamente al
posto di dr
1
avrei dovuto s rivere
s r
1
(s;t)ds
on l'integrale fatto su s, da0 a 1.
Il ampo elettri o indotto si ri ava dalle eq. di Maxwell; in parti olare da
rotE(r;t)=
t
B(r;t): (2)
Nota3: La validita della(1) impli a he sistia lavorando on ampi lentamente
variabili (n.r.) in modo he si possa tras urare la reazione di E su B ( orrente
di spostamento).
La f.e.m.
Prendo ome de nizione di f.e.m. la ir uitazionelungo il se ondario, fatta
a t assegnato, della forza di Lorentz per unita di ari a E+vB, dove v e la
velo ita del generi o punto del se ondario:
F(t)= I
2 (t)
E(r
2
;t)+v(s;t)B(r
2
;t)
dr
2
: (3)
Vale an he per dr
2
quanto detto in pre edenza per dr
1 .
O orre osservare he se si pensa alla forza di Lorentz su una ari a he
si muove nel se ondario, la sua velo ita non sara v, per he ad essa si aggiun-
gera (n.r.) la velo ita relativa u della ari a rispetto al ir uito. Pero questo
termineaggiuntivo non ontribuis e allaf.e.m.,per heue tangentea
2
e quin-
di il prodotto uBdr
2
si annulla.
Sinotian he heho s rittonella(3)v(s;t): questo per he lavelo itapotra
dipendere dal tempo, e inoltre essere diversa da punto a punto del se ondario,
se il motonon e puramente traslatorio.
Separiamonella (3) il termine in E da quello in B:
F =F
E +F
B
F
E
= I
2 (t)
E(r
2
;t)dr
2
(4)
F
B
= I
2 (t)
v(s;t)B(r
2
;t)dr
2
: (5)
La (4) si trasformain
F
E (t)=
Z
2 (t)
rotE(r
2
;t)nd=
Z
2 (t)
t B(r
2
;
t)
t=t
nd=
t
2 (t)
(B(
t))
t=t
: (6)
Edanotarenella(6) heladerivatarispettoaltempovafattaa se ondario
sso, omesivede dall'usodiduevariabili distinte: te
t. Intermini si i: onta
solo la variazione di B,non il moto del ir uito.
Quanto a F
B
, al oliamoF
B dt:
F
B dt=
I
2 (t)
dr (m)
2
B(r
2
;t)dr (l)
2
= I
2 (t)
dr (l)
2
dr (m)
2
B(r
2
;t) (7)
dove dr (l)
2 , dr
(m)
2
hanno iseguenti signi ati
{ dr (l)
2
e lo spostamento lungo il ir uito a t ostante, ossia quello he si usa
per al olare la ir uitazione
{ dr (m)
2
e lo spostamento di ias un punto del ir uito, quindi a s ostante,
dovuto al moto del ir uito stesso nel tempo dt.
Osserviamo he dr (l)
2
dr (m)
2
el'elemento di areadella stris ia ompresa fra
le posizioni del ir uito ai tempi t e t +dt; quindi l'integrale e il usso di B
sulla stris ia, orientata verso l'esterno. Dato he divB = 0, questo e an he la
di erenza tra il usso attraverso
2
al tempot e quello al tempot+dt:
F
B
dt=
2 (t)
(B(t))
2 (t+dt)
(B(t))
F
B (t)=
t
2 (
t) (B(t))
t=t
: (8)
Mettendo insieme (6) e(8) si ha
F =F
E +F
B
= d
dt
2 (t)
(B(t))
(9)
he e il risultato nale:
Qualunquesiailmotodeidue ir uitielavariazionedella orrentenelprimario,
la f.e.m. indotta nel se ondarioe sempre pari alla derivata rispetto al tempo del
usso on atenato, ambiata di segno.
Il moto rigido
Un aso di parti olare interesse e quello in ui I
1
e ostante e il moto delle
duespireeglobalmenterigido. Con\globalmente"intendo henonsonosoltanto
rigidi i moti di
1 e
2
, ma lo e il moto del sistema omplessivo formato dalle
duespire. In tal asoe ovvio he
2 (t)
(B(t)) nondipendeda t equindi F =0:
Se il moto del sistema e globalmente rigido e la orrente primaria e ostante,
non 'e f.e.m. indotta. In altre parole l'induzionedipendedal motorelativodelle
due spire o da una variazione della orrente.
Bibliogra a
[1℄ The Feynman's Le tures on Physi s (Addison{Wesley 1965), vol. II,
pag.17{2.
