Teorema di di Cramer. Sia A ∈ M

(1)

Teorema di di Cramer. Sia A ∈ M

_n×n

(K) con rk(A) = n e sia b ∈ K

ⁿ

un vettore colonna. Allora l’unica soluzione di Ax = b e’ il vettore α =

^t

(α

₁

, . . . , α

_n

) ∈ K

ⁿ

le cui componenti sono:

α

j

= det(A

₁

, . . . , A

_j−1

, b, A

_j+1

, . . . , A

_n

)

det(A) .

Dimostrazione. Osserviamo prima di tutto che l’esistenza e l’unicita’ della soluzione α e’ assicurata dal Teorema di Rouche’ Capelli . Quindi b = P

n

i=1

α

_i

A

_i

. Allora, per le proprieta’ del determinante abbiamo che

det(A

1

, . . . , A

j−1

, b, A

j+1

, . . . , A

n

) = det(A

1

, . . . , A

j−1

,

n

X

i=1

α

i

A

i

, A

j+1

, . . . , A

n

) =

n

X

i=1

α

1

det(B(i))

dove B(i) e’ definita come B(i) := (A

₁

, . . . , A

_j−1

, A

_i

, A

_j+1

, . . . , A

_n

). Distinguiamo due casi:

• i 6= j: in questo caso B(i) ha due colonne uguali (non necessariamente contigue) e dunque det(B(i)) = 0;

• i = j: in questo caso B(i) = A.

Concludendo, abbiamo che det(A

₁

, . . . , A

_j−1

, b, A

_j+1

, . . . , A

_n

) = α

_j

det(A) . Poiche’ rk(A) = n, risulta det(A) 6= 0. Ricavando α

j

, otteniamo la tesi.

Teorema [Calcolo dell’inversa di una matrice]. Sia A ∈ M

_n×n

(K) con det(A) 6= 0. Allora l’elemento ij della matrice A

⁻¹

e’

1 det(A)

(−1)

^i+j

det(A

_ji

) .

Dimostrazione. Chiamiamo m

ij

l’elemento ij della matrice A

⁻¹

. Notiamo che AA

⁻¹

= I

n

se e solo se

A





 m

1j

.. . m

nj





 = e

_j

.

Trovare la matrice inversa consiste quindi nel risolvere n sistemi lineari defniti dalla relazione qui sopra (oppure dalla condizione AA

⁻¹

= I

_n

). Dal teorema di Cramer otteniamo che

m

_ij

= det(A

₁

, . . . , A

_i−1

, e

_j

, A

_i+1

, . . . , A

_n

)

det(A) .

Sviluppando il determinante rispetto alla i-esima colonna otteniamo la tesi.

Definizione. Sia A ∈ M

_n×m

(K) e sia 1 ≤ r ≤ min(n, m). Un minore di ordine r di A e’ il determinante di una matrice in M

_r×r

(K) ottenuta da A considerando r righe e r colonne e cancellando le altre n − r righe e le altre m − r colonne.

Lemma Sia B una sottomatrice di A, allora rk(B) ≤ rk(A).

Dimostrazione. La matrice B e’ ottenuta da A cancellando j righe e h colonne. Sia B

⁰

la matrice ottenuta cancellando da A le j righe e B la matrice ottenuta cancellando h colonne di B

⁰

. Quindi:

rk(B

⁰

) ≤ rk(A) perche’ il rango e’ il numero di righe linearmente indipendenti;

rk(B) ≤ rk(B

⁰

) perche’ il rango e’ il numero di colonne linearmente indipendenti.

1

(2)

Proposizione. Sia A ∈ M

n×m

(K). A ha rango r se e solo se ogni minore di ordine maggiore di r ´e nullo ed esiste almeno un minore di ordine r non nullo.

Dimostrazione Mostro che se rk(A) = r, esiste un minore di ordine r non nullo. Infatti ci sono r righe di A linearmente indipendenti, diciamo le righe i

1

, . . . , i

r

. Sia B

⁰

la sottomatrice di A ottenuta considerando le r righe indipendenti di A. Poiche’ le r righe di B

⁰

sono indipendenti, rk(B

⁰

) = r. Di conseguenza esistono r colonne di B

⁰

indipendenti. Cancellando le restanti colonne trovo una matrice B, sottomatrice di B

⁰

, quadrata di dimensione r. Si ha r(B) ≤ r(B

⁰

) (perche’ B e’ sottomatrice di B

⁰

), ma B contiene r colonne indipendenti, quindi r(B) = r. Quindi B e’ una matrice quadrata r × r di rango r (massimo), da cui det(B) 6= 0.

Mostro che se rk(A) = r, ogni minore di ordine maggiore di r e’ nullo. Infatti sia B una sottomatrice quadrata b × b. B e’ sottomatrice, quindi r(B) ≤ r. In particolare se b > r, B non ha rango massimo, quindi det(B) = 0.

Mostro che se ogni minore di ordine maggiore di r e’ nullo ed esiste un minore di ordine r non nullo, allora rk(A) = r. Considero il minore di rango r non nullo. E’ il determinante di una matrice B r × r ottenuta considerando le righe i

1

, . . . , i

r

e le colonne j

1

, . . . , j

r

di A. Le r righe di B sono linearmente indipendenti, quindi anche le r righe i

1

, . . . , i

r

di A sono indipendenti (se esistesse una combinazione lineare delle righe di A che vale zero ma non e’ nulla, la stessa combinazione lineare varrebbe per le righe di B, che sarebbero quindi dipendenti). Quindi rk(A) ≥ r. Ma se rk(A) > r, allora esisterebbe un minore non nullo di ordine rk(A) > r (per quanto dimostrato prima). Questo sarebbe contrario all’ipotesi.

Teorema di Kronecker. Sia A ∈ M

_n×h

(K). Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(1) rk(A) = r,

(2) esiste un minore non nullo di ordine r e ogni minore di ordine r + 1 e’ nullo,

(3) esiste un minore non nullo di ordine r definito dalla righe j

₁

, . . . , j

_r

e dalle colonne t

₁

, . . . , t

_r

di A e ogni minore di ordine r + 1 ottenuto considerando le righe j

1

, . . . , j

r

, j e le colonne t

1

, . . . , t

r

, t e’ nullo.

Dimostrazione. L’implicazione fra (1) =⇒ (2) e’ stata dimostrata nella Proposizione precedente.

L’implicazione (2) =⇒ (1) si mostra come nella Proposizione precedente (sostituendo ”minore di ordine maggiore di r” con ”minore di ordine r + 1”).

L’implicazione (2) =⇒ (3) e’ ovvia.

Tralasciamo la dimostrazione di (3) =⇒ (2).

Osservazione. La terza affermazione equivalente garantisce che, per mostrare che il rango di una matrice e’ r, non serve provare che tutti i minori di ordine r + 1 sono nulli. Trovato un minore di ordine r non nullo e’ sufficiente verificare che sono nulli solo i minori ottenuti orlando la sottomatrice quadrata di cui esso e’ il determinante, aggiungendo cioe’ un’altra riga e un’altra colonna.

2

Teorema di di Cramer. Sia A ∈ M