Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2 (a.a. 2019/20) SETTIMANA 1:
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano. Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Orientamento di una curva. Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, elica cilindrica.
SETTIMANA 2:
Curve semplici e chiuse. Curve di classe C1 e C1 a tratti. Punto regolare di una curva.
Curve regolari e regolari a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana. Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, strofoide, rodonea, elica cilindrica, cardioide, spirale
archimedea e logaritmica. Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva.
SETTIMANA 3:
Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea. Versore normale, binormale, piano osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per curve biregolari in R3.
Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale delle curve in R^3.Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2. Teorema fondamentale delle curve in R^2 SETTIMANA 4:
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato e compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprietà. Funzioni di due variabili reali:
dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno e del confronto tra limiti, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
Funzioni continue, continuità parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi, convessi e stellati.
SETTIMANA 5:
Teorema dei valori intermedi (dim).
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale: rette tangenti. Regole di derivazione. Primo teorema di derivazione delle
funzioni composte. Derivata direzionale e significato geometrico.
Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni
differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim).
Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente (dim). Teorema del differenziale (dim). Secondo teorema di derivazione delle funzioni composte (dim).
Vettore gradiente e curve di livello. Teorema di Lagrange per funzioni di due variabili (dim). Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim).
SETTIMANA 6:
Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di
caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi.
