Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni di Serre e positivit` a dell’ h-vettore

Matteo Varbaro (Universit` a di Genova)

24/9/2015 Genova

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

K un campo, R una K -algebra graduata standard,

cio` e:

R = M

i ∈N

R

, R

= K , dim

R

< ∞, R = K [R

].

Serie di Hilbert di R: HS

(t) = P

i ∈N

dim

R

· t

∈ Z[[t]]. Teorema (Hilbert)

Esiste un polinomio h

(t) = h

+ h

t + . . . h

t

∈ Z[t] tale che HS

(t) = h

(t)

(1 − t)

, d = dim R.

Il vettore (h

, h

, . . . , h

) ∈ Z

si chiama l’ h-vettore di R.

L’ h-vettore

K un campo, R una K -algebra graduata standard, cio` e:

R = M

i ∈N

R

, R

= K , dim

R

< ∞, R = K [R

].

Serie di Hilbert di R: HS

(t) = P

i ∈N

dim

R

· t

∈ Z[[t]]. Teorema (Hilbert)

Esiste un polinomio h

(t) = h

+ h

t + . . . h

t

∈ Z[t] tale che HS

(t) = h

(t)

(1 − t)

, d = dim R.

Il vettore (h

, h

, . . . , h

) ∈ Z

si chiama l’ h-vettore di R.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

K un campo, R una K -algebra graduata standard, cio` e:

R = M

i ∈N

R

, R

= K , dim

R

< ∞, R = K [R

].

Serie di Hilbert di R: HS

(t) = P

i ∈N

dim

R

· t

∈ Z[[t]].

Teorema (Hilbert)

Esiste un polinomio h

(t) = h

+ h

t + . . . h

t

∈ Z[t] tale che HS

(t) = h

(t)

(1 − t)

, d = dim R.

Il vettore (h

, h

, . . . , h

) ∈ Z

si chiama l’ h-vettore di R.

L’ h-vettore

K un campo, R una K -algebra graduata standard, cio` e:

R = M

i ∈N

R

, R

= K , dim

R

< ∞, R = K [R

].

Serie di Hilbert di R: HS

(t) = P

i ∈N

dim

R

· t

∈ Z[[t]].

Teorema (Hilbert)

Esiste un polinomio h

(t) = h

+ h

t + . . . h

t

∈ Z[t] tale che HS

(t) = h

(t)

(1 − t)

, d = dim R.

Il vettore (h

, h

, . . . , h

) ∈ Z

si chiama l’ h-vettore di R.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

K un campo, R una K -algebra graduata standard, cio` e:

R = M

i ∈N

R

, R

= K , dim

R

< ∞, R = K [R

].

Serie di Hilbert di R: HS

(t) = P

i ∈N

dim

R

· t

∈ Z[[t]].

Teorema (Hilbert)

Esiste un polinomio h

(t) = h

+ h

t + . . . h

t

∈ Z[t] tale che HS

(t) = h

(t)

(1 − t)

, d = dim R.

Il vettore (h , h , . . . , h ) ∈ Z

si chiama l’ h-vettore di R.

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare. h

(t) = h

(t). Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ... Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0? Basta che R abbia profondit` a elevata?

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare. h

(t) = h

(t). Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ... Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0?

Basta che R abbia profondit` a elevata?

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t). Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ... Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0? Basta che R abbia profondit` a elevata?

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t).

Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ... Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0?

Basta che R abbia profondit` a elevata?

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t).

Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i .

D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ... Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0? Basta che R abbia profondit` a elevata?

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L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t).

Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ...

Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0?

Basta che R abbia profondit` a elevata?

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t).

Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ...

Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0?

Basta che R abbia profondit` a elevata?

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

L’ h-vettore

Data 0 6= ` ∈ R

, le seguenti condizioni sono equivalenti:

` ` e R-regolare.

h

(t) = h

(t).

Corollario

Se R ` e Cohen-Macaulay, allora h

≥ 0 per ogni i . D’ altra parte, h

e h

sono positivi per ogni R ...

Domanda

Dato ` ≥ 2, per quali R si ha h

, . . . , h

≥ 0?

Basta che R abbia profondit` a elevata?

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t). In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i . Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t).

In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i . Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t).

In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i .

Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t).

In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i . Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t).

In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i . Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Attenzione: il locale ` e un altro mondo!

Se (A, m) ` e Noetheriano e locale, allora HS

(t) := HS

(t).

In questa situazione A Cohen-Macaulay NON implica h

≥ 0 ∀ i . Infatti, esistono anche domini 1-dimensionali tali che h

< 0.

Congettura (Rossi)

Se (A, m) ` e di Gorenstein e 1-dimensionale, allora h

≥ 0 ∀ i .

Per oggi, ci occuperemo solo del caso graduato (standard).

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ... Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ...

Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ... Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ... Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ... Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Profondit` a e positivit` a

Ci eravamo domandati se avere profondit` a alta implica la positivit` a di qualche coefficiente dell’ h-vettore ... Riflettendoci un attimo, ` e immediato vedere che la risposta ` e NO, infatti:

Fatto

Per ogni d ∈ N si pu`o costruire una K -algebra graduata standard di dimensione d e profondit` a d − 1 tale che h

< 0.

D’altra parte ...

Teorema (Dao, Han, )

depth R ≥ `, char(K ) = 0 e Proj R ` e liscio =⇒ h

, . . . , h

≥ 0.

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `. (S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R. Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi. R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay. R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

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Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `. (S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R. Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi. R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R. Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi. R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay. R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

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Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi. R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi. R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay. R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

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Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay. R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

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Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni di Serre

Per ogni ` ∈ N, le condizioni di Serre per R sono:

(R

) se R

` e regolare per ogni p ∈ Spec R di altezza ≤ `.

(S

) se depth R

≥ min{dim R

, `} per ogni p ∈ Spec R.

Osservazioni

Ogni R soddisfa (S

).

R soddisfa (S

) ⇐⇒ R non ha primi immersi.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e ridotto.

R soddisfa (R

) e (S

) ⇐⇒ R ` e normale (Serre).

R soddisfa (S

) per ogni ` ∈ N ⇐⇒ R `e Cohen-Macaulay.

R soddisfa (R

) per ogni ` < dim R ⇐⇒ Proj R ` e liscio.

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda: Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0? NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

] soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

In questo esempio, R non ` e ridotto ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda:

Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0? NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

] soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

In questo esempio, R non ` e ridotto ...

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda:

Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0?

NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

] soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

In questo esempio, R non ` e ridotto ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda:

Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0?

NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

]

soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

In questo esempio, R non ` e ridotto ...

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda:

Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0?

NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

] soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

In questo esempio, R non ` e ridotto ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni di Serre

Osserviamo che se Proj R ` e liscio, allora:

depth R ≥ ` ⇐⇒ R soddisfa (S

).

Allora ci si potrebbe fare la seguente domanda:

Domanda

Se R soddisfa (S

), abbiamo h

, . . . , h

≥ 0?

NO, ad esempio R = S /I dove

I = (x

, x

x

, x

x

, x

, x

x

, x

, x

x

+x

x

+x

x

) ⊆ S = K [x

, . . . , x

]

soddisfa (S

) ma ha serie di Hilbert

(h

< 0).

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R ` e un dominio allora h

≥ 0. In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ... Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0.

In particolare, se R ` e un dominio allora h

≥ 0. In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ... Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ... Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ...

Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ...

Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per ora sappiamo: Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0. Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ...

Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ...

Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Positivit` a di h

Teorema (Chiantini, Ciliberto; Dao, Han, )

Se R ` e ridotto e Proj R ` e connesso in codimensione 1, allora h

≥ 0. In particolare, se R `e un dominio allora h

≥ 0.

In particolare, se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

≥ 0 ...

Congettura (Dao, Han, )

Se R soddisfa (R

) e (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per ora sappiamo:

Teorema (Dao, Han, )

Sia d = dim R e char(K ) = 0. Allora:

Se R soddisfa (R ) e (S ), allora h , . . . , h ≥ 0.

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R: Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto:

sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S .

Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Condizioni globali

` E anche possibile ottere questo tipo di risultati imponendo condizioni globali su R piuttosto che sulle singolarit` a di Proj R:

Teorema (Murai, Terai)

Se R ` e un anello di Stanley-Reisner che soddisfa (S

), allora h

, . . . , h

≥ 0.

Per dimostrare questo risultato, Murai e Terai provano il seguente fatto: sia R = S /I dove S ` e un anello di polinomi in n variabili su K , d la dimensione di R, e ω

= S (−n) il modulo canonico di S . Teorema (Murai, Terai)

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

D’ altra parte, si pu` o vedere facilmente che ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni globali

Proposizione

R soddisfa (S

) se e solo se

dim

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1.

Quindi: Proposizione

Se R soddisfa (S

) e

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) per ogni i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

REGOLARIT` A ≤ DIMENSIONE significa che la coomologia locale

a supporto nel massimale irrilevante ` e 0 in gradi positivi ...

Condizioni globali

Proposizione

R soddisfa (S

) se e solo se

dim

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1.

Quindi:

Proposizione

Se R soddisfa (S

) e

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) per ogni i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

REGOLARIT` A ≤ DIMENSIONE significa che la coomologia locale a supporto nel massimale irrilevante ` e 0 in gradi positivi ...

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Condizioni globali

Proposizione

R soddisfa (S

) se e solo se

dim

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1.

Quindi:

Proposizione

Se R soddisfa (S

) e

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) per ogni i = 0, . . . , d − 1, allora h

, . . . , h

≥ 0.

REGOLARIT` A ≤ DIMENSIONE significa che la coomologia locale

a supporto nel massimale irrilevante ` e 0 in gradi positivi ...

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

. Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R. Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S .

Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

). Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I , dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

.

Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R. Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S .

Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

). Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I ,

dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

. Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R.

Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S . Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

). Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I , dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

. Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R.

Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S .

Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

). Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I ,

dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

. Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R.

Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S . Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

).

Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I , dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Anelli F -puri

Se char(K ) = p > 0, sia F : R → R la mappa di Frobenius r 7→ r

. Definizione

R ` e F -puro se F (R) ` e addendo diretto (come F (R)-modulo) di R.

Per un ideale J ⊆ S , J

= (f

: f ∈ J) ⊆ S . Teorema (Fedder)

R = S /I ` e F -puro ⇐⇒ I

: I 6⊆ m

, dove m = (x

, . . . , x

).

Esempio

Se I ` e monomiale square-free, notiamo che (x

· · · x

)

∈ I

: I ,

dunque ogni anello di Stanley-Reisner ` e F -puro.

Anelli F -puri

Teorema (Dao, Han, ) Se R ` e F -puro, allora:

reg

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) ∀ i ≥ 0. In particolare, se R ` e F -puro e soddisfa (S

):

h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

Anelli F -puri

Teorema (Dao, Han, ) Se R ` e F -puro, allora:

reg

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) ∀ i ≥ 0.

In particolare, se R ` e F -puro e soddisfa (S

):

h

, . . . , h

≥ 0.

Anelli F -puri

Teorema (Dao, Han, ) Se R ` e F -puro, allora:

reg

Ext

(R, ω

) ≤

Ext

(R, ω

) ∀ i ≥ 0.

In particolare, se R ` e F -puro e soddisfa (S

):

h

, . . . , h

≥ 0.

Matteo Varbaro (Universit`a di Genova) Condizioni di Serre e positivit`a dell’ h-vettore

GIN

In realt` a, se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1 possiamo dedurre pi` u di h

, . . . , h

≥ 0. Ad esempio, se char(K ) = 0:

Lemma

Se

Ext

(R, ω

) ≤ i − ` ∀ i = 0, . . . , d − 1, allora i generatori minimali di Gin(I ) di grado < ` sono monomi in K [x

, . . . , x

]. Corollario

Se I ` e generato in gradi ≤ δ, Proj R ` e liscio di codimensione c, allora:

depth R ≥ c(δ − 1) =⇒ R ` e Cohen-Macaulay.