Spazi vettoriali

(1)

Spazi vettoriali

In maniera naturale, una coppia di numeri reali (x, y) può rappresentare un punto di un piano, mentre una terna di numeri reali (x, y, z) può rappresentare un punto di uno spazio tridimensionale. Più in generale possiamo pensare ad una n–upla (x₁, . . . , x_n) come ad un punto dell’n–spazio Rⁿ. Inoltre, se A = (a₁, . . . , a_n), B = (b₁, . . . , b_n) sono punti di un n–spazio, possiamo definire A + B come il punto (a₁+ b₁, . . . , a_n+ b_n). Mentre, se c ∈ R, possiamo definire cA come il punto (ca₁, . . . , ca_n). Pertanto l’origine è O = (0, . . . , 0). Se A e B sono punti di un piano o di un 3–spazio, la rappresentazione geometrica dell’addizione A+B è il quarto vertice del parallelogramma che ha come lati OA e OB. Mentre, se c ∈ R, la rappresentazione geometrica di cA è il punto sulla retta OA che è c volte distante da O.

Si definisce segmento orientato una coppia ordinata di punti (A, B) di un n–spazio.

Un segmento orientato (A, B) è quindi individuato da un punto iniziale A ed un punto finale B. Il segmento orientato (A, B) può essere rappresentato mediante una freccia che congiunge i punti A e B. Intuitivamente, un segmento orientato (A, B) è determinato da lunghezza, direzione e verso. La lunghezza è la distanza tra i punti A e B. Se A 6= B, la direzione di (A, B) è rappresentata dalla retta passante per i punti A e B e da tutte le rette parallele ad essa. Il verso di (A, B) è descritto dal senso della freccia, diretta dal punto iniziale A verso il punto finale B.

A −→ B

Due segmenti orientati (A, B), (C, D) si dicono equivalenti se B − A = D − C.

L’equivalenza di due segmenti orientati pu`o essere interpretata geometricamente dicendo che essi hanno la stessa direzione, lunghezza e verso. Quindi due segmenti orientati sono equivalenti se giacciono su rette parallele e se, muovendo una delle due rette parallela- mente a se stessa, `e possibile portare i due segmenti orientati a sovrapporsi in modo tale che i loro punti iniziali e finali coincidano. Si definisce vettore geometrico o libero e si denota con −→

AB l’insieme di tutti i segmenti orientati equivalenti ad (A, B).

Mediante la regola del parallelogramma si pu`o definire la somma di due vettori geometrici.

Mentre il prodotto k−→

AB del vettore geometrico −→

AB per lo scalare k ∈ R `e il vettore geometrico −−→

CD tale che (C, D) ha la stessa direzione, di (A, B), lunghezza pari a |k| volte qualle di (A, B) e verso concorde o discorde con (A, B), a seconda che k > 0 oppure k < 0.

Il vettore geometrico −→

AA si chiama vettore geometrico nullo e si denota con 0.

L’insieme dei vettori geometrici gode delle seguenti propriet`a:

1) −→

AB +−−→

CD =−−→

CD +−→

AB 2) (−→

AB +−−→

CD) +−→

EF = −→

AB + (−−→

CD +−→

EF ) 3) −→

AB + 0 = 0 +−→

AB =−→

AB 4) −→

AB +−→

BA = 0

(2)

5) ∀λ, µ ∈ R, (λ + µ)−→

AB = λ−→

AB + µ−→

AB 6) λ(−→

AB +−−→

CD) = λ−→

AB + λ−−→

CD 7) λ(µ−→

AB) = (λµ)−→

AB 8) 1−→

AB =−→

AB.

Sia K un insieme non vuoto dotato di due operazioni interne (applicazioni) + : K × K −→ K, · : K × K −→ K

dette somma e prodotto, rispettivamente, che associano ad ogni coppia (a, b) ∈ K × K un elemento a + b ∈ K, detto somma di a pi`u b ed un elemento a · b ∈ K, detto prodotto di a per b, rispettivamente. La terna (K, +, ·) si dice campo se valgono le seguenti propriet`a:

1) ∀a, b ∈ K, a + b = b + a (commutativit`a della somma)

2) ∀a, b, c ∈ K, a + (b + c) = (a + b) + c (associativit`a della somma)

3) ∃ un elemento 0 ∈ K tale che ∀a ∈ K, a + 0 = 0 + a = a (esistenza dello zero) 4) ∀a ∈ K ∃ a⁰ ∈ K tale che a + a⁰ = 0 (esistenza dell’opposto)

5) ∀a, b ∈ K, a · b = b · a (commutativit`a del prodotto)

6) ∀a, b, c ∈ K, a · (b · c) = (a · b) · c (associativit`a del prodotto)

7) ∃ un elemento 1 ∈ K tale che ∀a ∈ K \ {0}, a · 1 = 1 · a = a (esistenza dell’unit`a) 8) ∀a ∈ K, a 6= 0, ∃ ¯a ∈ K tale che a · ¯a = 1 (esistenza dell’inverso)

9) ∀a, b, c ∈ K, a · (b + c) = a · b + a · c (distributivit`a della somma rispetto al prodotto) 10) Se a · b = 0 e b 6= 0, allora a = 0 (non esistenza di divisori dello zero).

Quando non vi sia possibilit`a di equivoco sulle operazioni che vi sono definite, il campo (K, +, ·) si denoter`a semplicemente con la lettera K. Con le usuali operazioni l’insieme dei numeri razionali Q, dei numeri reali R e dei numeri complessi C forniscono esempi di campi. D’altro canto l’insieme dei numeri naturali N e l’insieme dei numeri interi Z non sono campi.

Sia K un campo. Uno spazio vettoriale su K (o K–spazio vettoriale) `e un insieme non vuoto V dotato di due operazioni interne

(v, w) ∈ V × V 7−→ v + w ∈ V, (λ, v) ∈ K × V 7−→ λv ∈ V

dette somma e prodotto per uno scalare, rispettivamente, in modo che le seguenti propriet`a siano soddisfatte:

(3)

1) ∀v, w ∈ V , v + w = w + v (commutativit`a della somma)

2) ∀u, v, w ∈ V , u + (v + w) = (u + v) + w (associativit`a della somma)

3) ∃ 0 ∈ V , detto vettore nullo, tale che ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v (esistenza del vettore nullo)

4) ∀v ∈ V , l’elemento −v := (−1)v ∈ V , detto opposto di v, soddisfa v + (−v) = 0 (esistenza dell’opposto)

5) ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ)v = λv + µv (distributivit`a rispetto alla somma di scalari)

6) ∀v, w ∈ V , ∀λ ∈ K, λ(v + w) = λv + λw (distributivit`a rispetto alla somma di vettori)

7) ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, λ(µv) = (λµ)v 8) ∀v ∈ V , 1v = v.

Gli elementi di V si dicono vettori, mentre gli elementi di K si dicono scalari.

Se k ∈ K, i vettori v e kv si dicono proporzionali o multipli.

Esempi 0.1. 1. Sia K un campo e sia n ≥ 1 un intero. Sia V = Kⁿ = K × . . . × K = {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Kⁿ | x_i ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}. Se definiamo la somma di due elementi (x₁, x₂, . . . , x_n), (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ Kⁿ come

(x₁, x₂, . . . , x_n) + (y₁, y₂, . . . , y_n) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, . . . , x_n+ y_n) e il prodotto per uno scalare k ∈ K come

k(x₁, x₂, . . . , x_n) = (kx₁, kx₂, . . . , kx_n),

allora `e immediato verificare che, con queste operazioni, Kⁿ `e un K–spazio vettoriale (detto anche n–spazio numerico su K).

2. Sia K un campo e sia D un insieme non vuoto. Sia V = {f : D −→ K | f applicazione}.

Se definiamo la somma di due funzioni f, g ∈ V e il prodotto per uno scalare λ ∈ K come segue:

f + g : x ∈ D 7−→ f (x) + g(x) ∈ K, λf : x ∈ D 7−→ kf (x) ∈ K,

allora `e immediato verificare che, con queste operazioni, V `e un K–spazio vettoriale.

3. L’insieme R[X] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata X `e un R–spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare.

4. Sia n ≥ 1 un intero. L’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n a coefficienti in K:

Kⁿ[X] = {a0 + a1X + a2X² + . . . + anXⁿ| a0, a1, . . . , an ∈ K}

(4)

`e un K–spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare.

5. L’insieme dei vettori geometrici di un n–spazio `e un R–spazio vettoriale.

Esercizi 0.2. 1. Siano a, b ∈ R due numeri fissati e poniamo S = {(x, y) ∈ R² | ax + by = 0} l’insieme delle soluzioni (x, y) ∈ R² dell’equazione lineare omogenea ax + by = 0.

Dimostrare che S `e un R–spazio vettoriale.

2. Siano a, b, c ∈ R numeri fissati, dove c 6= 0. Dimostrare che S = {(x, y) ∈ R² | ax + by + c = 0} non `e uno spazio vettoriale.

Proposizione 0.3. Sia V un K–spazio vettoriale.

a) In V esiste un unico vettore nullo.

b) ∀v ∈ V , esiste un unico opposto.

c) ∀v ∈ V , ∀k ∈ K, 0v = 0 e k0 = 0.

d) ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V , v 6= 0, se λv = 0, allora λ = 0.

Proof. a) Siano 0₁, 0₂ ∈ V due vettori nulli. Allora ∀v ∈ V , 0₁+ v = 0₂+ v = v. Pertanto 0₁+ 0₂ = 0₁ e 0₂+ 0₁ = 0₂. Quindi 0₁ = 0₁+ 0₂ = 0₂+ 0₁ = 0₂.

b) Siano v₁, v₂ ∈ V tali che v + v₁ = v + v₂ = 0. Allora v₁ = 0 + v₁ = (v + v₂) + v₁ = v + (v₂+ v₁) = v + (v₁+ v₂) = (v + v₁) + v₂ = 0 + v₂ = v₂.

c) Poich`e 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, si ha 0v = 0v − 0v = 0. Analogamente, poich`e k0 = k(0 + 0) = k0 + k0, si ha k0 = k0 − k0 = 0.

d) Sia λv = 0, con v 6= 0. Se λ 6= 0, allora v = 0/λ = 0, contraddizione. Allora λ = 0.

Sia V un K–spazio vettoriale. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale di V se

1) ∀w₁, w₂ ∈ W , w₁+ w₂ ∈ W , 2) ∀w ∈ W , ∀k ∈ K, kw ∈ W .

Le due condizioni precedenti sono equivalenti alla seguente:

3) ∀w, w⁰ ∈ W , ∀k, k⁰ ∈ K, kw + k⁰w⁰ ∈ W .

Infatti se vale la 3) allora, posto k = k⁰ = 1 vale la 1), mentre per k⁰ = 0 vale la 2).

Viceversa se valgono 1) e 2), allora kw, k⁰w⁰ ∈ W e kw + k⁰w⁰ ∈ W e quindi vale la 3).

Dalla proprietà 2), considerati gli scalari 0 e −1, rispettivamente, si ha che ∀w ∈ W , 0 = 0w ∈ W e −w ∈ W . In particolare è possibile verificare che W soddisfa tutti gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale e che quindi W è esso stesso uno spazio vettoriale.

(5)

Osservazione 0.4. Si noti che se W è un sottospazio vettoriale di V e U è un sottospazio vettoriale di W , allora U è sottospazio vettoriale di V , mentre se U e W sono sottospazi vettoriali di V e U ⊂ W , allora U è sottospazio vettoriale di W .

Esempi 0.5. 1. V e {0} sono sottospazi vettoriali, detti banali.

2. Sia v ∈ V , l’insieme hvi = {kv | k ∈ K} costituito dai multipli di v `e un sottospazio vettoriale di V , detto sottospazio generato da v.

3. Siano a₁, . . . , a_n∈ K. L’insieme H = {(x1, . . . , x_n) ∈ Kⁿ | a₁x₁+ . . . a_nx_n= 0} `e un sottospazio vettoriale di Kⁿ. Infatti, ∀(x₁, . . . , x_n), (y₁, . . . , y_n) ∈ H, ∀k ∈ K, si ha

a1(x1+ y1) + . . . + an(xn+ yn) = (a1x1+ . . . + anxn) + (a1y1+ . . . + anyn) = 0 + 0 = 0, a₁(kx₁) + . . . + a_n(kx_n) = k(a₁x₁+ . . . + a_nx_n) = k0 = 0.

Pertanto (x₁, . . . , x_n) + (y₁, . . . , y_n) ∈ H e k(x₁, . . . , x_n) ∈ H, come volevasi.

Esercizi 0.6. 1. Stabilire se l’insieme S = {(x, y, z) ∈ R³ | x + z ≥ 0} `e un sottospazio di R³.

2. Dimostrare che i sottospazi non banali di R² sono le rette passanti per l’origine.

3. Dimostrare che i sottospazi non banali di R³ sono le rette per l’origine ed i piani per l’origine.

Siano U e W sottospazi dello spazio vettoriale V . Si consideri l’intersezione U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U e v ∈ W }.

Si verifica facilmente che U ∩ W `e ancora un sottospazio di V .

Esercizi 0.7. 1. Dimostrare che ciascuno dei seguenti insiemi `e un sottospazio di R³: U = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(x, 0, z) | x, z ∈ R}, W⁰ = {(x, x, x) | x ∈ R}.

2. Determinare U ∩ W e U ∩ W⁰.

D’altro canto l’unione di due sottospazi U e W

U ∪ W = {v ∈ V | v ∈ U oppure v ∈ W }

non definisce un sottospazio di V . Infatti se V = R², U = {(x, 0) ∈ V | x ∈ R} e W = {(0, y) ∈ V | y ∈ R}, allora il vettore (1, 0) ∈ U e il vettore (0, 1) ∈ W . Quindi (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ W , ma (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ U ∪ W . Consideriamo il seguente sottoinsieme di V :

U + W = {u + w ∈ V | u ∈ U, w ∈ W }.

U + W è un sottospazio vettoriale di V . Infatti ∀u₁, u₂ ∈ U , ∀w₁, w₂ ∈ W , ∀k ∈ K, se (u₁+w₁), (u₂+w₂) ∈ U +W , allora (u₁+w₁)+(u₂+w₂) = (u₁+u₂)+(w₁+w₂) ∈ U +W e k(u1 + w1) = ku1 + kw1 ∈ U + W . U + W è detto sottospazio somma di U e W . Se U ∩ W = {0}, allora U + W è detto somma diretta e si denota con U ⊕ W .

(6)

Osservazione 0.8. Si noti che U ∩ W ⊂ U ∪ W ⊂ U + W . Infatti ∀u ∈ U , ∀w ∈ W , u = u + 0 ∈ U + W e w = 0 + w ∈ U + W , pertanto U ⊂ U + W e W ⊂ U + W . Proposizione 0.9. Ogni vettore di U ⊕ W si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e di un vettore di W .

Proof. Siano u, u⁰ ∈ U , w, w⁰ ∈ W tali che u + w = u⁰+ w⁰. Allora u − u⁰ = w⁰ − w ∈ U ∩ W = {0}, pertanto u − u⁰ = w⁰− w = 0 e u = u⁰, w = w⁰.

Siano v₁, . . . , v_n∈ V , a₁, . . . , a_n∈ K. Il vettore a1v₁+ . . . + a_nv_n si dice combinazione lineare dei vettori v₁, . . . , v_n. Gli scalari a₁, . . . , a_nsi dicono coefficienti della combinazione lineare.

Se a_i = 0, per ogni 1 ≤ i ≤ n, allora la combinazione lineare a₁v₁+ . . . + a_nv_n = 0 si dice combinazione lineare banale di v₁, . . . , v_n. Altrimenti si dice non banale.

Osservazione 0.10. Se a ∈ K, a 6= 0, la combinazione lineare 0v + a0 = 0 `e non banale.

Le combinazioni lineari di un vettore v ∈ V sono i suoi multipli. Inoltre, dalla definizione di sottospazio, se W `e sottospazio vettoriale di V e v1, . . . , vn ∈ W , allora ogni combinazione lineare di v₁, . . . , v_n `e un vettore appartenente a W .

Siano v₁, . . . , v_n ∈ V . Consideriamo il sottoinsieme di V costituito dalle combinazioni lineari di v₁, . . . , v_n:

hv₁, . . . , v_ni = {a₁v₁+ . . . + a_nv_n ∈ V | a_i ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}.

hv₁, . . . , v_ni `e un sottospazio vettoriale di V . Infatti ∀a₁v₁+ . . . + a_nv_n, b₁v₁+ . . . + b_nv_n∈ hv₁, . . . , v_ni, ∀k ∈ K, allora

(a₁v₁+ . . . + a_nv_n) + (b₁v₁+ . . . + b_nv_n) = (a₁+ b₁)v₁+ . . . + (a_n+ b_n)v_n∈ hv₁, . . . , v_ni e

k(a1v1+ . . . + anvn) = ka1v1+ . . . + kanvn ∈ hv₁, . . . , vni.

hv₁, . . . , v_ni è detto sottospazio generato da v₁, . . . , v_n. Il prossimo risultato mostra che hv₁, . . . , v_ni è il più piccolo sottospazio di V contenente i vettori v₁, . . . , v_n.

Proposizione 0.11. hv₁, . . . , v_ni `e uguale all’intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono v₁, . . . , v_n.

Proof. Denotiamo con W l’intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono {v1, . . . , vn}.

Poich`e hv1, . . . , vni `e un sottospazio di V contenente {v1, . . . , vn}, si ha W ⊆ hv1, . . . , vni.

D’altro canto W , essendo un sottospazio, contiene tutte le combinazioni lineari dei suoi vettori. In particolare, poich`e v₁, . . . , v_n ∈ W , W contiene tutte le combinazioni lineari di v₁, . . . , v_n. Pertanto hv₁, . . . , v_ni ⊆ W . Quindi hv₁, . . . , v_ni = W .

(7)

Se 1 ≤ m ≤ n, allora hv1, . . . , vmi `e sottospazio di hv1, . . . , vni.

Se V = hv₁, . . . , v_ni, allora si dir`a che i vettori v₁, . . . , v_n generano V oppure che l’insieme {v₁, . . . , v_n} `e un sistema di generatori di V .

Osservazione 0.12. I vettori v₁, . . . , v_ngenerano V se e solo se ∀v ∈ V , ∃ a₁, . . . , a_n∈ K tale che v = a₁v₁+ . . . + a_nv_n.

Esercizi 0.13. 1. Stabilire se il vettore v = (2, 3, 1) di R³ appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori w₁ = (1, 1, 2) e w₂ = (5, 7, 4).

2. Siano U, W sottospazi di R³. Stabilire se la somma di U e W `e diretta e determinare un sistema di generatori per il sottospazio somma U + W .

i) U = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(z, z, z) | z ∈ R},

ii) U = {(x + y, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(x + y, 0, y) | x, y ∈ R}.

I vettori v₁, . . . , v_n∈ V si dicono linearmente dipendenti se ∃ a₁, . . . , a_n∈ K non tutti nulli tali che a₁v₁+ . . . + a_nv_n= 0. Altrimenti, i vettori v₁, . . . , v_n si dicono linearmente indipendenti. Equivalentemente i vettori v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti se vale la seguente proprietà: ∀a₁, . . . , a_n ∈ K, se a1v₁ + . . . + a_nv_n = 0, allora a₁ = . . . = a_n = 0. In altri termini, i vettori v₁, . . . v_n sono linearmente indipendenti se la loro unica combinazione lineare che è uguale al vettore nullo è la combinazione lineare banale.

Esempi 0.14. 1. I vettori di R³: v = (1, 2, 1), w = (2, 0, 1) e u = (3, 2, 0) sono linearmente dipendenti, infatti si ha v + w − u = 0.

2. I vettori di R³: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) e e₃ = (0, 0, 1) sono linearmente indipendenti.

Esercizi 0.15. 1. Determinare se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti.

i) v₁ = (1, 1, 1), v₂ = (1, −1, 1), v₃ = (2, 0, 2), ii) v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (1, 0, 1),

iii) v1 = (1, 2, 1, 0), v2 = (1, −1, 0, 1), v3 = (−1, 2, −1, 0), v4 = (−1, 1, 0, −1), v5 = (1, 1, 0, 1).

2. Determinare per quali valori di a ∈ R i vettori v1 = (1, 2, 0), v₂ = (0, 1, a), v₃ = (1, a, −1) di R³ sono linearmente indipendenti.

Osservazione 0.16. Sia V un K–spazio vettoriale e sia 0 6= v ∈ V . Allora v `e linearmente indipendente. Infatti, se αv = 0, per qualche α ∈ K, allora necessariamente α = 0.

Proposizione 0.17. I vettori v₁, . . . , v_n ∈ V , n ≥ 2, sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si pu`o esprimere come combinazione lineare dei rimanenti.

(8)

Proof. Se v1, . . . , vnsono linearmente dipendenti, allora ∃ a1, . . . , an ∈ K, non tutti nulli, tali che a₁v₁ + . . . + a_nv_n = 0. Sia j, con 1 ≤ j ≤ n tale che a_j 6= 0, allora a_jv_j =

−(a₁v₁+ . . . + a_j−1v_j−1+ a_j+1v_j+1+ . . . + a_nv_n). Pertanto v_j `e combinazione lineare dei rimanenti:

v_j = −a⁻¹_j (a₁v₁+ . . . + a_j−1v_j−1+ a_j+1v_j+1+ . . . + a_nv_n) =

= −a⁻¹_j a₁v₁ − . . . − a⁻¹_j a_j−1v_j−1− a⁻¹_j a_j+1v_j+1− . . . − a⁻¹_j a_nv_n.

Viceversa, se per qualche i, 1 ≤ i ≤ n, vi `e combinazione lineare dei rimanenti, allora v_i = b₁v₁+ . . . + b_i−1v_i−1+ b_i+1v_i+1+ . . . + b_nv_n. Pertanto

0 = b₁v₁+ . . . + b_i−1v_i−1− v_i+ b_i+1v_i+1+ . . . + b_nv_n

`

e una combinazione lineare non banale di v₁, . . . , v_n. Ne segue che v₁, . . . , v_n sono linearmente dipendenti.

Osservazione 0.18. i) Se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora esso `e un insieme di vettori linearmente dipendenti.

ii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un insieme di vettori linearmente dipendenti, si ottiene ancora un insieme di vettori linearmente dipendenti.

iii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un sistema di generatori, si ottiene ancora un sistema di generatori.

Un insieme di vettori {v₁, . . . , v_n} di V si dice base di V se v₁, . . . , v_n generano V e sono linearmente indipendenti.

Proposizione 0.19. Se {v₁, . . . , v_n} `e una base di V , allora ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n.

Proof. Sia v ∈ V . Poiche v₁, . . . , v_n generano V , allora v `e combinazione lineare di v1, . . . , vn. Siano a1, . . . , an, b1, . . . , bn∈ K tali che v = a¹v1+. . .+anvn= b1v1+. . .+bnvn. Poich`e 0 = a1v1 + . . . + anvn− b1v1 − . . . − bnvn = (a1 − b1)v1 + . . . + (an − bn)vn e v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti, si ha a_i− b_i = 0, i = 1, . . . , n.

Sia B = {v₁, . . . , v_n} una base del K–spazio vettoriale V , sia v un vettore di V e sia v = a₁v₁+ . . . + a_nv_n l’unica espressione di v come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n. Allora gli scalari a1, . . . , an si dicono coordinate o componenti di v rispetto alla base B.

Il prossimo risultato mostra che in uno spazio vettoriale V , il massimo numero di vettori linearmente indipendenti `e minore o uguale al minimo numero di vettori che generano V . Lemma 0.20. Siano {v₁, . . . , v_n} un sistema di generatori di V e siano w₁, . . . , w_m ∈ V . Se w₁, . . . , w_m sono linearmente indipendenti, allora m ≤ n.

(9)

Proof. Poichè v1, . . . , vn generano V , ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n. In particolare w₁ = k₁v₁ + . . . + k_nv_n. Inoltre almeno uno dei coefficienti k₁, . . . , k_n deve essere diverso da zero, altrimenti si avrebbe w₁ = 0 (e di conseguenza w₁, . . . , w_m sarebbero dipendenti). Non è restrittivo supporre che sia k₁ 6= 0.

Allora v₁ è combinazione lineare di w₁, v₂, . . . , v_n. In questo modo abbiamo costruito un nuovo sistema di n generatori per V = hw₁, v₂, . . . , v_ni. Ripetiamo il procedimento per w₂. Poichè w₁, v₂, . . . , v_n generano V , si potrà scrivere w₂ = h₁w₁+ k₂v₂+ k₃v₃+ . . . + k_nv_n. Almeno uno dei coefficienti k₂, . . . , k_nè diverso da zero (altrimenti si avrebbe w₂ = h₁w₁, contro l’ipotesi di indipendenza lineare di w₁, . . . , w_m). Al solito, non è restrittivo supporre k₂ 6= 0. Ne segue che v₂ è combinazione lineare di w₁, w₂, v₃, . . . , v_n e quindi abbiamo costruito un nuovo sistema di generatori per V = hw1, w2, v3, . . . , vni. Supponiamo ora, per assurdo, che sia m > n. Se iteriamo il procedimento descritto precedentemente n volte, otteniamo un sistema di generatori di V costituito da w₁, . . . , w_n. Ma allora il vettore w_n+1

`

e combinazione lineare di w₁, . . . , w_n, contro l’ipotesi di indipendenza lineare dei vettori w₁, . . . , w_m.

Corollario 0.21. Siano {v₁, . . . , v_n} e {w₁, . . . , w_m} due basi dello spazio vettoriale V . Allora m = n.

Proof. Poich`e v₁, . . . , v_n generano V e w₁, . . . , w_m sono linearmente indipendenti, per il Lemma precedente, si ha m ≤ n. Analogamente, poich`e w₁, . . . , w_n generano V e v₁, . . . , v_m sono linearmente indipendenti, si ha n ≤ m.

Un K–spazio vettoriale V ha dimensione finita se esiste una base di V costituita da un insieme finito di vettori di V . Si noti che due basi di V hanno lo stesso numero di elementi.

La dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita `e il numero di elementi di una sua qualsiasi base. La dimensione di V si denota con dim V .

Una base per lo spazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo V = {0} `e l’insieme vuoto {∅} e la sua dimensione `e zero (dim{0} = 0).

Osservazione 0.22. Pu`o accadere che uno spazio vettoriale non abbia dimensione finita, in quanto non esista un insieme finito di vettori che lo generi. Ad esempio lo spazio vettoriale R[X] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata X non ha dimensione finita. Infatti, sia S = {p₁, . . . , p_n} un qualunque insieme finito di polinomi di R[X]. Sia h il massimo dei loro gradi. Allora ogni combinazione lineare di p₁, . . . , p_n e quindi ogni elemento del sottospazio vettoriale generato da S ha grado minore o uguale ad h. Pertanto il sottospazio vettoriale generato da S non pu`o coincidere R[X].

D’ora in avanti considereremo soltanto spazi vettoriali di dimensione finita.

Esempi 0.23. 1. I vettori e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) di R³ formano una base di R³, detta base canonica di R³.

(10)

2. In generale, l’insieme di vettori {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)} `e una base di Kⁿ. Infatti ∀(x₁, . . . , x_n) ∈ Kⁿ, (x₁, . . . , x_n) = x₁e₁+. . .+x_ne_ne quindi e₁, . . . , e_ngenerano Kⁿ. Inoltre, se a₁, . . . , a_n∈ K sono tali che a1e₁+. . .+a_ne_n = 0, allora (a₁, . . . , a_n) = 0, quindi a₁ = a₂ = . . . = a_n = 0 e e₁, . . . , e_n sono linearmente indipendenti. Ne segue che {e₁, . . . , e_n} `e una base di Kⁿ (detta base canonica di Kⁿ) e dim Kⁿ = n.

3. Una base di Rn[X] = {a₀+ a₁X + a₂X²+ a₃X³+ . . . + a_nXⁿ | a₀, . . . , a_n ∈ R} `e costituita da B = {1, X, X², X³, . . . , Xⁿ}.

Esercizi 0.24. 1. Determinare la dimensione ed una base del sottospazio W = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x₁− x₄ = 0, x₂+ x₃ = 0} di R⁴.

2. Determinare la dimensione ed una base del sottospazio W = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x₄− x₂+ x₃ = 0} di R⁴.

Teorema 0.25. (Teorema del completamento ad una base) Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n.

1) Se v₁, . . . , v_n∈ V sono linearmente indipendenti, allora {v₁, . . . , v_n} `e una base di V .

2) Se v₁, . . . , v_k ∈ V , k < n, sono lineamente indipendenti, allora esistono v_k+1, . . . , v_n ∈ V tali che {v₁, . . . , v_n} `e una base di V .

Proof. 1) E’ sufficiente mostrare che hv₁, . . . , v_ni = V . Poichè dim(V ) = n esiste una base {w₁, . . . , w_n} di V , in particolare {w₁, . . . , w_n} è un sistema di generatori di V . Sia v ∈ V , con v 6= v_i, i = 1, . . . , n. Se {v₁, . . . , v_n, v} fossero linearmente indipendenti, allora, dal Lemma 0.20, otterremmo che n + 1 ≤ n, contraddizione. Pertanto v₁, . . . , v_n, v sono linearmente dipendenti ed esistono a₁, . . . , a_n, a ∈ K non tutti nulli, tali che a1v₁ + . . . + a_nv_n + av = 0. Se a = 0, allora v₁, . . . , v_n sarebbero linearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi che v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti. Pertanto a 6= 0 e v = −a⁻¹a₁v₁ − . . . − a⁻¹a_nv_n. Dunque v ∈ hv₁, . . . , v_ni. Poichè v_i ∈ hv₁, . . . , v_ni, si ha che V = hv1, . . . , vni, come volevasi.

2) Poichè k < n, i vettori v1, . . . , vk non generano V , altrimenti {v1, . . . , vk} sarebbe una base costituita da k 6= n vettori. Pertanto esiste v_k+1 ∈ V con v_k+1 ∈ hv/ ₁, . . . , v_ki. Di- mostriamo che v₁, . . . , v_k, v_k+1 sono linearmente indipendenti. Siano a₁, . . . , a_k, a_k+1 ∈ K tali che a₁v₁+ . . . + a_nv_k+ a_k+1v_k+1 = 0, allora a_k+1 = 0, altrimenti v_k+1 = −a⁻¹_k+1a₁v₁− . . . − a⁻¹_k+1a_kv_k. Ma allora v_k+1 ∈ hv₁, . . . , v_ki, che è una contraddizione. Ne segue che a₁v₁ + . . . + a_nv_k = 0 e a₁ = a₂ = . . . = a_k = 0 in quanto v₁, . . . , v_k sono linearmente indipendenti per ipotesi. Allora a₁ = . . . = a_k = a_k+1 = 0 e v₁, . . . , v_k, v_k+1 sono linearmente indipendenti. Se k + 1 = n, il risultato segue da 1). Se k + 1 < n, allora possiamo ripetere il ragionamento precedente e trovare v_k+2 ∈ V \ hv₁, . . . , v_k, v_k+1i tale che v₁, . . . , v_k, v_k+1, v_k+2 siano linearmente indipendenti. Iterando questo procedimento n − k volte è possibile trovare vk+1, vk+2, . . . , vn ∈ V tali che v1, . . . , vn siano linearmente indipendenti. Allora da 1) {v1, . . . , vn} è una base di V .

(11)

Corollario 0.26. Il numero di elementi di una base di V coincide con il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V .

Proof. Sia B = {v₁, . . . , v_n} una base di V e sia r il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V . Poich`e i vettori v₁, . . . , v_n sono generatori di V , dal Lemma 0.20 si ha che r ≤ n. D’altro canto v₁, . . . , v_n sono n vettori linermente indipendenti, quindi r = n.

Teorema 0.27. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia W un sottospazio di V , allora

i) dim(W ) ≤ dim(V ),

ii) se dim(W ) = dim(V ) allora W = V .

Proof. i) Poich`e dim(V ) = n esiste una base {v₁, . . . , v_n} di V , in particolare {v₁, . . . , v_n}

`

e un sistema di generatori di V . Sia B = {w₁, . . . , w_m} una base di W . Allora w₁, . . . , w_m sono vettori di W linearmente indipendenti. Poich`e W ⊆ V , w1, . . . , wm sono vettori di V linearmente indipendenti. Dal Lemma 0.20 si ha m ≤ n. Quindi dim(W ) ≤ dim(V ).

ii) Se dim(W ) = dim(V ) = n, sia B = {w₁, . . . , w_n} una base di W . Poich`e W ⊆ V , w₁, . . . , w_n sono vettori di V linearmente indipendenti. Dal Teorema 0.25, 1), B `e una base di V . Allora W = hw₁, . . . , w_ni = V , come volevasi.

Teorema 0.28. (Formula dimensionale di Grassmann) Siano U e W sottospazi dello spazio vettoriale V . Allora

dim(U ) + dim(W ) = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ).

In particolare, U + W `e somma diretta di U e W se e solo se dim(U ) + dim(W ) = dim(U + W ).

Proof. Sia {z₁, . . . , z_q} una base di U ∩ W . Dal teorema del completamento ad una base esistono u₁, . . . , u_t∈ U e w₁, . . . , w_s ∈ W tali che {z₁, . . . , z_q, u₁, . . . , u_t} è una base di U e {z₁, . . . , z_q, w₁, . . . , w_s} è una base di W . Poichè dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) = q + t + q + s − q = q + t + s, per dimostrare la prima parte del teorema è sufficiente mostrare che {z1, . . . , zq, u1, . . . , ut, w1, . . . , ws} è una base di U + W .

Dimostriamo che sono generatori di U + W . Sia u + w ∈ U + W , dove u ∈ U e w ∈ W . Esistono allora a₁, . . . , a_q, b₁, . . . , b_t, a⁰₁, . . . , a⁰_q, c₁, . . . , c_s ∈ K tali che u = a1z₁ + . . . + a_qz_q+ b₁u₁+ . . . + b_tu_t e w = a⁰₁z₁+ . . . + a⁰_qz_q+ c₁w₁+ . . . + c_sw_s. Dunque

u + w = (a₁+ a⁰₁)z₁+ . . . + (a_q+ a⁰_q)z_q+ b₁u₁+ . . . + b_tu_t+ c₁w₁. . . + c_sw_s, come volevasi.

Dimostriamo che sono linearmente indipendenti. Siano a₁, . . . , a_q, b₁, . . . , b_t, c₁, . . . , c_s∈ K tali che a1z₁+ . . . + a_qz_q+ b₁u₁+ . . . + b_tu_t+ c₁w₁. . . + c_sw_s = 0. Allora

c1w1. . . + csws = −(a1z1+ . . . + aqzq+ b1u1+ . . . + btut), (0.1)

(12)

dove c1w1. . . + csws ∈ W , mentre a1z1 + . . . + aqzq + b1u1 + . . . + btut ∈ U . Pertanto a₁z₁+. . .+a_qz_q+b₁u₁+. . .+b_tu_t∈ U ∩W . Poich`e {z₁, . . . , z_q} `e una base di U ∩W , esistono d₁, . . . , d_q ∈ K tali che a1z₁+. . .+a_qz_q+b₁u₁+. . .+b_tu_t = d₁z₁+. . .+d_qz_q. Si ha pertanto (a₁−d₁)z₁+. . .+(a_q−d_q)z_q+b₁u₁+. . .+b_tu_t = 0, ma z₁, . . . , z_q, u₁, . . . , u_tsono linearmente indipendenti e quindi tutti i coefficienti sono nulli, in particolare b₁ = b₂ = . . . = b_t = 0.

Da (0.1), si ha a₁z₁+ . . . + a_qz_q+ c₁w₁ + . . . + c_sw_s= 0, ma z₁, . . . , z_q, w₁, . . . , w_s sono linearmente indipendenti e quindi tutti i coefficienti a₁, . . . , a_q, c₁, . . . , c_s sono nulli, come volevasi.

L’ultima parte del teorema segue dal fatto che la somma `e diretta.

Esercizi 0.29. 1. Si consideri l’insieme S = {(x, y, z, t) ∈ R⁴ | (1 − k)x²+ y + 2z − 3t = k²− 1}, dove k ∈ R.

i) Stabilire per quali valori del parametro reale k l’insieme S `e un sottospazio vettoriale di R⁴.

ii) Nel caso in cui S `e un sottospazio vettoriale, determinare una base B e la dimensione di S ed estendere la base B di S ad una base di R⁴.

2. Si considerino i seguenti vettori di R⁴:

u = (1, 3, 0, 3), v = (−1, −2, 1, −1), w = (0, k − 1, k²− 1, 3k − 2), dove k ∈ R.

i) Determinare il valore di k ∈ R tale che dim(hu, v, wi) = 2.

ii) Per il valore di k trovato in precedenza, esprimere uno dei tre vettori come combinazione lineare dei rimanenti.

3. Sia V un K–spazio vettoriale. Dimostrare che se i vettori u, v, w ∈ V sono linearmente indipendenti, allora anche u + v + w, v + w, w sono linearmente indipendenti.

4. Si considerino, al variare di k ∈ R, i seguenti sottospazi vettoriali di R³: S_k = h(k, 0, k), (1, k, 1), (1, 1, k)i.

Determinare la loro intersezione

\

k∈R

S_k.

5. Siano f₁, f₂, f₃, f₄ ∈ R3[X], dove f₁(X) = 2X, f₂(X) = X²+X+1, f₃(X) = −3X+2, f₄(X) = 1. Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale W = hf₁, f₂, f₃, f₄i.

6. Considerati i vettori v₁ = (1, −1, 0, 0, 0), v₂ = (0, 2, 0, −1, 1), v₃ = (0, 0, 0, 0, 2i) ∈ C⁵, costruire una base di C⁵ contenente i vettori v₁, v₂, v₃.

7. Siano v1 = (a, b), v2 = (c, d) ∈ R². Dimostrare v1, v2 sono linearmente dipendenti se e solo se ad − bc = 0.

8. Sia V un R–spazio vettoriale tale che dim V = 3 e sia B = {v1, v₂, v₃} una base di V . Siano U = hv₁+ v₂, v₁− v₂i, W = hv₁+ v₃, v₁− v₃i. Mostrare che V = U + W e che la somma U + W non `e diretta.