1 Cap 4.1- Lavoro ed energia

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 3 4.4 LAVORO COMPIUTO DA FORZE VARIABILI

Parte I

1 Cap 4.1- Lavoro ed energia

Abbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in varie situazioni.

Spesso per`o l’analisi del moto spesso risulta complicata o in altri casi si verifica che la forza agente `e variabile nel tempo (e quindi anche l’accele- razione). Esiste un approccio alternivo all’analisi del moto che si realizza introducendo i concetti dilavoro ed energia.

2 4.1 - Lavoro di una forza costante

4.1 - Lavoro di una forza costante

Il lavoro svolto da una forza F `e definito dal seguente prodotto scala- re: L = (W) =F~ ·∆s = F∆scosθ = (Fcosθ)∆s = F~ <sub>s</sub>∆s ovvero il lavo- ro `e pari al prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento, moltiplicato per lo spostamento stesso.

Dalla definizione se una forza `e perpendicolare allo spostamento il lavo-

ro risulta nullo.

F

s Fs θ

Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno: se l’angolo θ tra la forza e lo spostamento `e θ ≤ 90<sup>◦</sup> il lavoro `epositivoaltrimenti sar`anegativo; in quest’ultimo caso la compo- nente della forza nella direzione dello spostamento `e di conseguenza opposto allo spostamento stesso. Unit`a di misura: per il lavoro si usa ilJoule e 1 Joule = 1 Newton · 1m ed `e la stessa unit`a di misura dell’energia.

Parte II

3 4.4 Lavoro compiuto da forze variabili

Lavoro compiuto da forze variabili

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 5 (4.3) LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

Estendiamo la definizione usando gli integrali Se lo spostamento `e diret- to lungo x si ha: L =Rx_f

x_i Fxdx `e il lavoro compiuto in uno spostamento sull’asse x.

In generale per una forza ed uno spostamento con qualunque direzione si ottiene che se la forza `e un integrale di lineaRB

A

F~ ·ds~ per cui scomponen- do si haF~ = Fxˆi+ F_yˆj+ F_zˆkper calcolare il lavoro dobbiamo prima consi- derare lo spostamento infinitesimods~ = dx ˆi+ dy ˆj + dz ˆk di conseguenza il lavoro infinitesimo `e dL = ~F ·d~s = Fxdx + Fydy + Fzdz. Possiamo ri- condurre il caso generico ad una somma di 3 integrali: L =Rr_f

r_i dL =Rx_f

x_i F_xdx +Ry_f

y_i F_ydy +Rz_f z_i F_zdz (~r_i= xiˆi+ yiˆj + zik e ~ˆ r_f = x_fˆi+ y_fˆj + z_fˆk sono i vettori posizione iniziale e

finale) Il lavoro `e additivo, ovvero il lavoro `e pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti. Vediamo alcune applicazioni:

4 (4.2) Lavoro della forza peso

Calcoliamo il lavoro per uno spostamento generico:

L = Z B

A

F~ ·ds~ = Z B

A

Z

(−mg)ˆj ·ds~ =

−mg Z yB

yA

dy = mg(yA− y^B)

Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (non dipende dal percorso)

5 (4.3) Lavoro svolto da una molla

Le molle seguono la legge di Hooke F=-kx che descrive ad esempio il caso di una molla che si pu`o muovere lungo l’asse x. Il lavoro necessario a spostare una molla dalla sua posizione di riposo (che assumiamo essere x=0) `e

L = Z B

A

(Fel)ˆuxds~ = Z x_f

xi

(−kx)dx =

−1

2kx²|^xx^f_i = −1

2k(x²_f − x²i)

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 7 POTENZA

Parte III

6 4.1 - Teorema del lavoro e dell’energia cinetica

Definiamo come Energia Cinetica la forma di energia connessa allo sta- to di moto di un corpo e si definisce come K = (E_k) = ¹₂mv² e si misura anch’essa in Joule. Il teorema stabilisce cheL= ∆E_k= E_k,f − Ek,i ovvero che il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia ci- netica. Questa espressione permette di definire anche l’energia (in generale) come la capacit`a di un corpo a compiere un lavoro. La definizione generale del lavoro (per comodit`a considero solo uno spostamento lungo x)

`e : L =R_xf

xi F_x(x)dx eFx= max⇒L =R_xf

xi ma_xdx esplicitiamo la funzione integranda:

ma_xdx = mdv_x

dt dx = mdv_x dx

dx dtdx =

= mvx

dvx

dx dx = mvxdvx

avendo usato le regole di derivazione delle funzioni composte. Quindi si ot- tiene L =Rx_f

xi Fx(x)dx =Rv_x,f

vx,i mvxdvx= [¹₂mv_x²]^vv^x,fx,i Se teniamo conto anche delle altre componenti risulter`a quindi L = <sup>1</sup><sub>2</sub>mv<sub>f</sub><sup>2</sup>− <sup>1</sup><sub>2</sub>mv<sup>2</sup><sub>i</sub> = ∆E<sub>k</sub>= ∆K Di conseguenza il teorema si pu`o applicare in qualunque situazione (ad esempio quando F ed a sono variabili). Pertanto abbiamo dimostrato il teo- rema, che stabilisce che l’energia cinetica aumenta se il lavoro `e positivo o diminuisce se il lavoro `e negativo. In altre parole possiamo anche dire che l’energia cinetica `e pari al lavoro necessario a portare alla velocit`a v un corpo inizialmente fermo o il lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa m in moto con velocit`a v.

7 Potenza

Definiamo come Potenza la rapidit`a con la quale viene sviluppato un la- voro nel tempo ovvero in termini matematici: ¯P =< P >= <sup>∆L</sup><sub>∆t</sub> (Potenza media) P = <sup>dL</sup><sub>dt</sub> (Potenza istantanea)La potenza si misura in Watt (W): 1W=1J/1s Dalla stessa definizione `e possibile dare una unit`a di mi- sura alternativa per l’energia: L =< P > ∆t ⇒ Watt x secondi = Joule

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 8 ESERCIZIO

P = ^dL_dt = _dt^d( ~F ·ds~ ) = ~F ·^d~_dt^s = ~F · ~v (per F costante) Verifiche

Quale affermazione delle seguenti `e l’unica corretta?

1. Il lavoro `e dato dal prodotto vettoriale di ~F e ~s 2. Il lavoro `e Fs, con F forza e s spostamento

3. Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica 4. Il lavoro non `e mai negativo La 3) `e quella giusta

8 Esercizio

Esercizio

Una cassa di M=15 Kg `e trascinata in salita su una piano rampa liscia a velocit`a costante, per una distanza d= 5.7 m e fino ad una altezza h=2.5 m rispetto al punto di partenza, ed infine si arresta. Calcolare:

1. il lavoro svolto dalla forza peso;

2. il lavoro della tensione T della fune usata.

Soluzione: 1) la forza peso `e costante quindi il lavoro `e dato da L = P~·d~= mgcos(90^◦+θ)d = −mgsinθd e θ `e l’inclinazione della rampa rispetto all’orizzonte data anche da sinθ = <sup>h</sup><sub>d</sub> quindi L = −mgd<sup>h</sup><sub>d</sub> = −15Kg9.8m/s<sup>2</sup>· 2.5m = −368J 2) La tensione della fune T non `e nota quindi non possiamo sapere se `e una forza costante a meno che non risolviamo la dinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.) Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell’energia nella forma generica e applicata a tutte le forze agenti: L = ∆Ek = 0 perch`e il corpo parte da fermo e si ferma alla fine. L =R ( ~P + ~T + ~N) ·ds~ = L_P + L_N+ L_T Il primo termine `e gi`a noto, N `e la reazione normale del piano che essendo normale `e perpendicolare allo spostamento che `e parallelo al piano. Quindi LN = 0 ed in definitiva L_P+ L_T = 0 ⇒ LT= −LP= +368J

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 11 ESERCIZIO

9 Problema 7.8

Problema 7.8

Un blocco di massa M=0.4 Kg scivola, con velocit`a costante v=0.5 m/s, su un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla collocata sul suo percorso. Se la costante elastica `e k=750 N/m di quanto viene compressa la molla?

Il lavoro per comprimere una molla `e L =Rxf

xi F (x)dx = Rxf

xi (−kx)dx =

−¹₂k(x²_f − x²i) e nel nostro caso xi = 0 `e la posizione a riposo della molla e xf `e la posizione finale ignota. Applichiamo il teorema L = ∆K = −¹₂kx²_f e per l’en. cinetica ∆Ek= ¹₂(M v_f²− Mvi²). La velocit`a finale `e vf = 0 quindi

−¹₂kx²_f = −¹₂M v_i² da cui x²_f = ^{M v}_k²ⁱ ⇒ xf =q

M

kv_i= 1.2cm.

10 Problema 7.17

Problema 7.17

Un elicottero recupera un uomo di massa M=72 Kg, sollevandolo di 15 m, con una accelerazione pari a 0.1g. Calcolare il lavoro fatto sull’uomo:

a) dall’elicottero;

b) dalla forza peso;

c) la velocit`a e l’energia cinetica dell’uomo un attimo prima di entrare nell’elicottero.

Durante la salita si ha T − Mg = Ma il lavoro fatto dall’elicottero `e il lavoro fatto dalla tensione della fune W = L = Rh

0 T dxricavando T dall’eq. della dinamica T = M (g + a) = 72(1 + 0.1)g = 79.2 · g N ⇒ L^el = T · h = 79.2 · 9.8 · 15 J = 1.2 · 10⁴ J L^P = −Mgh = −1.1 · 10⁴ J L^tot= Lel+ L^P = ∆E_k= ₂¹Mv²_f ⇒ L^tot = 0.1 · 10⁴ J e vf =

q2Ltot

M =

5.4 m/s

11 Esercizio

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 13 ESERCIZIO 7.31 (ED.VI)

caso del piano scabro, con µ_d= 0.15. Nel caso il piano sia liscio e senza attrito possiamo utilizzare il teor. lavoro-en.cinetica dal momento che si vuo- le sapere solo la velocit`a finale (cambiava totalmente la risoluzione se si vole- va conoscere il tempo impiegato): il lavoro complessivo `e L = ( ~F+ ~N+ ~P)·~s ma ~N e ~P sono ⊥ a ~s quindi risulter`a L = F s = ∆E<sup>k</sup> e poich`e vi = 0 al- lora si ha F s = ¹₂M v_f² da cui ricaviamo v_f² = ^{2F s}_M = ^2·12·3₆ m²/s² per cui v_f = √

12m/s = 3.5m/s Nel secondo caso agisce anche la forza di attrito che risulta essere costante e pari a Fa = µdN = µdM g ed il lavoro totale `e L = (F − F<sup>a</sup>)s = F s − µdN s = F s − µdM gs con il segno meno che nasce dal fatto che la forza di attrito ha verso opposto allo spostamento. In realt`a tut- te le forze di attrito producono lavori negativi in quanto oppongono re- sistenza al moto e tendono aridurrel’energia cinetica. Facciamo i conti:

F_a= 0.15·6·9.8N = 8.82N quindi L = (F −Fa)s = (12−8.82)·3J = ∆Ek⇒ v²_f = ^{2(F −F}_M^a)s = 3.18m²/s² ⇒ v^f = 1.8m/s

12 Esercizio 22P

Un blocco di 250 Kg `e lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2.5N/cm. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di fermarsi. Durante la compressio- ne quale lavoro viene svolto (a) dalla molla, (b) dalla forza di gravit`a (c) qual’era la velocit`a del blocco al momento dell’urto con la molla?

(d) raddoppiando la velocit`a quanto diventa la compressione della mol- la? k = 2.5 N/cm = 250 N/m a) Lavoro molla: L = −¹₂k(x²_f − x²i) =

−¹₂kx² = −125 · (0.12)² J b) Lavoro gravita’ L = mgh > 0 non sapendo h possiamo usare il teorema lav-en. cinetica: L = L^p+ Lm= 0

13 Esercizio 7.31 (ed.VI)

La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di 1200 kg e deve salire di 54 m in 3 min. Il contrappeso ha una massa di 950 kg. Supponendo il movimento a velocit`a costante trovare la potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina. Complessivamente se la cabina sale (lavoro negativo), il contrappeso scende (lavoro positivo) e si ha che LM− Mg · 54 + mg · 54 = 0 (non varia l’en. cintetica) per cui il lavoro del motore `e L^M = (1200 − 950) · 9, 8 · 54 = 132.3 kJ la potenza `e

L

∆t = ¹³²³⁰⁰₁₈₀ = 735 W Esercizio 7.46 (ed VI)

Nicola GigliettoA.A. 2017/18 13 ESERCIZIO 7.31 (ED.VI)

Una cassa di massa 230 kg `e sospesa tramite una fune lunga 12,0 m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza F variabile, la spostiamo di 4 m sul piano orizzontale.

1. a) Qual’`e l’intensit`a della forza nella posizione finale?

2. b) Qual’`e il lavoro totale fatto sulla cassa?

3. c) Qual’`e il lavoro fatto dalla sola peso e dalla fune?

Per i punti b) e c) tenere conto che all’inizio e alla fine la cassa `e ferma.

Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio il diagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x: F − T sin θ = 0 e y:

+T cos θ−Mg = 0 pertanto T = _{cos θ}^{M g} eF = T sin θ = Mg tan θe tan θ = _L^d per cui F = 230 · 9, 8₁₂⁴ = 751, 3 N b) Il teorema del lavoro-en.cinetica ci dice che L = L^F + L^P + L^T = ∆E_k = 0 pertanto il lavoro totale `e nullo inoltre L<sup>P</sup> = M~g · ~d = 0 (perch`e . . . ) e L^F = ~F · ~d = F · d =