DINAMICA DEI SISTEMI
1. Dimostrare che il centro di massa di una sbarra di massa M e lunghezza L coincide con il punto medio della sbarra se essa possiede una densità lineare λ uniforme. Nel caso in cui λ non sia uniforme ma valga λ =50 g m +20 g mx 2 ( x distanza da un estremo della sbarra) e la sbarra sia lunga L=30 cmcalcolare:
a. La massa totale M della sbarra;
b. La distanza del centro di massa da uno degli estremi.
2. Un oggetto di massa M ha la forma di un triangolo rettangolo. L’ipotenusa è lunga c , il cateto maggiore a mentre quello minore b . Sapendo che la densità superficiale di massa è uniforme calcolare il centro di massa.
3. Una molecola di acqua è formata da un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno come in figura. L’angolo formato dalle direzioni dei legami covalenti dei due atomi di idrogeno con quello di ossigeno è 106°. Se la lunghezza dei due legami è 0.1 nm dove si trova il centro di massa della molecola?
4. Una ragazza di massa m=50 kg è in piedi su una zattera di massa M =100 kg e lunghezza L=3 m posta in prossimità di una boa fissa, e si trova all’estremità della zattera più vicina alla boa, a distanza d =2 m. La ragazza si sposta sull’altra estremità della zattera. Trascurando l’attrito tra la zattera e l’acqua, si determini la nuova distanza della zattera rispetto alla boa.
5. Due corpi di massa m1 ed m2 =2m1 sono agganciati ai capi di una molla di massa trascurabile e posti su di un piano liscio orizzontale. La molla ha lunghezza di riposo L e costante elastica k . Inizialmente le due masse sono collegate da un filo e la molla è compressa di un tratto l0. In un dato istante il filo viene tagliato ed il sistema e lasciato libero di muoversi. Si determini la velocità massima raggiunta dai due corpi nel loro moto.
6. Un proiettile di massa m viene lanciato da terra all’istante t =0 con velocità iniziale v0 =10 m s in una direzione che forma un angolo θ = °60 con l’orizzontale. Durante il volo il proiettile esplode in due frammenti di massa pari a
2
3m ed 3
m rispettivamente. I due frammenti atterrano simultaneamente e la
distanza del frammento più leggero dal punto di lancio è x2 =11 m. Trascurando la resistenza dell’aria si calcoli a quale distanza dal punto di lancio atterra il frammento di proiettile più pesante.
7. Una biglia di massa m si muove con velocità 1 v su un piano orizzontale liscio e 0 subisce un urto elastico centrale con una seconda biglia, di massa m2 =3m1, inizialmente ferma. Successivamente la seconda biglia cade da un gradino di altezza h=0.5 m. Si trovi il valore di v per cui la biglia tocca terra a distanza 0
5
d = m dal bordo del gradino.
8. Un cannone di massa M inizialmente fermo su un piano orizzontale scabro spara, con un'inclinazione α rispetto all'orizzontale, un proiettile di massa m . Sapendo che il proiettile viene espulso con una velocità v e che la superficie su cui poggia p il cannone presenta un coefficiente di attrito dinamico µD, si calcolino il rinculo del cannone e l’impulso della reazione vincolare d’appoggio. Si trascuri l'attrito tra cannone e suolo durante lo sparo.
9. Un blocco di legno di massa M è appeso ad un piolo mediante una fune inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile. Una pallottola di massa m si conficca nel blocco con velocità v : 0
a. Si calcoli il minimo valore di v per cui il blocco compie un giro attorno al 0 piolo.
b. Per tale valore di v , si calcoli l’energia dissipata nel blocco durante l’urto. 0 c. Come cambierebbe la risposta a se al posto della fune vi fosse un’asta rigida
sempre di massa trascurabile?
10. Un cuneo di massa M =2 kg, la cui sezione è delimitata da un quarto di cerchio di raggio R=50 cm, libero di muoversi su di un piano orizzontale, è inizialmente in quiete. Un corpo di massa m=0.5 kg viene lanciato lungo il piano orizzontale in direzione del cuneo. Si determini il minimo valore che deve avere la velocità iniziale del corpo affinché possa percorrere la superficie curva del cuneo giungendo fino alla quota
R2
h= . Si supponga trascurabile ogni forma di attrito.
11.La guida ABC in figura giace in un piano orizzontale.
All’estremo A è attaccata una molla
di massa trascurabile e costante elastica k=400 N m alla quale è appoggiata una massa m1=200 g; in queste condizioni la molla risulta compressa di x0 cm. Rilasciando la molla, la massa m urta elasticamente una massa 1 m2 =2m1 ferma sul tratto AB .
a. Determinare x , sapendo che dopo l’urto 0 m , ribattendo sulla molla, la 1 comprime di x1 =3.5 cm.
b. La massa m , per effetto dell’urto, sale lungo il profilo liscio BC e prosegue 2 per un tratto scabro CD
(
µD =0.5)
. Sapendo che CD=CO=h, determinare per quale valore di h la massa m si arresta in D . 212.Tre barche uguali A B e C , di massa M =100 kg, si muovono affiancate sull’acqua con la stessa velocità V V
(
=6 m s)
. Dalla barca B, che si trova in posizione centrale, vengono lanciati nello stesso istante di tempo due corpi diR
m v
M
B O h
m1 m2 A
C D
h
massa m=10 kg che ricadono sulle due barche laterali. Le velocità
(
10 m s)
′ ′ = v v
dei due corpi al momento del lancio sono orizzontali rispetto alla barca B, normali rispetto a V
ed uguali in modulo. Supponendo di trascurare l’attrito dell’acqua, si determinino:
a. la velocità della barca B dopo il lancio dei due corpi;
b. la direzione secondo cui si muovono le barche A e C dopo che le due masse sono ricadute in esse
13. Due sfere identiche si muovono su un piano privo di attrito lungo due direzioni che formano rispettivamente un angolo α = °45 e β = °30 rispetto all’orizzontale.
La prima sfera ha una velocità v1=3 m s, la seconda v2 =4.24 m s. Ad un dato istante esse si urtano in maniera totalmente anelastico. Stabilire in quale direzione si muoveranno le sfere dopo l’urto determinare
a. la velocità delle due sfere dopo l’urto;
b. la perdita percentuale di energia durante l’urto.
