Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Tema d’Esame del 30 gennaio 2013 – Geometria I (Unità 1)
a. Consideriamo le matrici formate dai vettori di ℝ4 isomorfi ai vettori generatori dei sottospazi 𝐴𝑘 e 𝐵𝑘, e calcoliamone i ranghi al fine di determinarne le dimensioni al variare di 𝑘.
dim 𝐴𝑘 = rg (
𝑘 + 2 0
0 1
𝑘 𝑘 + 1
𝑘 − 1 1
) dim 𝐵𝑘 = rg (
2 𝑘
0 0
0 0
−1 𝑘 − 3 )
Calcoliamo i determinanti dei minori evidenziati e valutiamo per quali valori di 𝑘 si annullano.
det (𝑘 + 2 0
0 1) = 𝑘 + 2 det ( 2 𝑘
−1 𝑘 − 3) = 2𝑘 − 6 + 𝑘 = 3(𝑘 − 2)
Se 𝑘 ≠ −2, allora il sottospazio 𝐴𝑘 avrà dimensione 2; se 𝑘 = −2, consideriamo la matrice
(
0 0
0 1
−2 −1
1 1
)
Anch’essa avrà rango 2, quindi il sottospazio 𝐴𝑘 avrà dimensione 2 ∀𝑘 ∈ ℝ4. Se 𝑘 ≠ 2, allora la seconda matrice avrà rango 2, ossia dim 𝐵𝑘 = 2.
Consideriamo infine il caso 𝑘 = 2, nonché la matrice
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(
2 2
0 0
0 0
−1 −1 )
In questo caso, la matrice avrà rango 1, ossia dim 𝐵2 = 1.
In definitiva si ha che ∀𝑘 ∈ ℝ ∶ dim 𝐴𝑘 = 2, mentre ∀𝑘 ≠ −2 si ha dim 𝐵𝑘 = 2 e se 𝑘 = −2, allora dim 𝐵−2 = 1.
b. Due sottospazi sono in somma diretta se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto, ossia se la dimensione della loro intersezione è nulla.
Consideriamo la matrice 𝑀 = (
𝑘 + 2 0 2 𝑘
0 1 0 0
𝑘 𝑘 + 1 0 0
𝑘 − 1 1 −1 𝑘 − 3
)
e calcoliamone il rango al variare di 𝑘. Per il Teorema di Laplace si ha
det 𝑀 = 2 det ( 0 1 0
𝑘 𝑘 + 1 0
𝑘 − 1 1 𝑘 − 3
) + det (𝑘 + 2 0 𝑘
0 1 0
𝑘 𝑘 + 1 0
)
= −2𝑘(𝑘 − 3) − 𝑘2 = −2𝑘2+ 6𝑘 − 𝑘2 = −3𝑘(𝑘 − 2) Abbiamo dunque che ∀𝑘 ≠ {0; 2} il rango di 𝑀 è pari a 4, ossia dim(𝐴𝑘 + 𝐵𝑘) = 4.
Se 𝑘 = 0 abbiamo che la matrice 𝑀 ha due righe uguali, quindi non può avere rango massimo.
𝑀 = (
2 0 2 0
0 1 0 0
0 1 0 0
−1 1 −1 −3 )
Siccome il minore evidenziato non è singolare e det ( 2 0 0
0 1 0
−1 1 −3) = −6 ≠ 0
Allora dim(𝐴0 + 𝐵0) = 3. Infine qualora 𝑘 = 2, avremo nuovamente due colonne uguali nella matrice 𝑀.
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
𝑀 = (
4 0 2 2
0 1 0 0
2 3 0 0
1 1 −1 −1 )
Considerando il minore evidenziato, si nota subito che dim(𝐴2+ 𝐵2) = 3, in quanto
det (4 0 2 0 1 0
2 3 0) = −4 ≠ 0 Per il Teorema di Grassmann si ha che
dim(𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘) = dim 𝐴𝑘 + dim 𝐵𝑘 − dim(𝐴𝑘 + 𝐵𝑘) Ora,
∀𝑘 ≠ {0; 2} ∶ dim(𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘) = 2 + 2 − 4 = 0 𝑘 = 2 ⟹ dim(𝐴2∩ 𝐵2) = 2 + 1 − 3 = 0 𝑘 = 0 ⟹ dim(𝐴0∩ 𝐵0) = 2 + 2 − 3 = 1
In conclusione avremo che i sottospazi 𝐴𝑘 e 𝐵𝑘 sono in somma diretta ∀𝑘 ≠ 0.
c. Consideriamo il sottospazio 𝐴2 = 〈(4 0
2 1) ; (0 1
3 1)〉. Determiniamone un complemento diretto 𝐶, ossia una coppia di vettori per la quale l’intero spazio vettoriale Mat2(ℝ) sia somma diretta tra 𝐴2 e 𝐶. Siccome la matrice
𝑆 = (
4 0 0 0 0 1 0 0 2 3 1 0 1 1 0 1
)
è diagonale, il suo determinante sarà il prodotto degli elementi sulla diagonale stessa e sarà pari a 4. Per questo motivo la matrice avrà rango massimo, ossia dim(𝐴2+ 𝐶) = 4, dove 𝐶 = 〈(0 0
1 0) ; (0 0
0 1)〉. Inoltre dim(𝐴2∩ 𝐶) = 4 − 2 − 2 = 0, quindi 𝐶 è uno dei possibili complementi diretti per 𝐴2.
Una base per il complemento diretto determinato sarà 𝔅𝐶 = ((0 01 0) ; (0 00 1))
