Geometria I Gianluca Ferrari Spazi Vettoriali Metrici
Tema d’Esame del 30 gennaio 2013 – Geometria I (Unità 2)
Consideriamo in primo luogo il sottospazio 𝐴𝑘 e valutiamone la dimensione al variare di 𝑘, calcolando il rango della matrice
𝑀𝑘 = (
𝑘 + 2 0
0 1
𝑘 𝑘 + 1
𝑘 − 1 1
)
Consideriamo il minore di ordine due in alto e calcoliamone il determinante det (𝑘 + 2 00 1) = 𝑘 + 2
Esso è diverso da zero quando 𝑘 ≠ −2; quindi, per 𝑘 ≠ −2 abbiamo che la matrice 𝑀𝑘 ha rango 2, ossia il sottospazio 𝐴𝑘 ha dimensione 2.
Se 𝑘 = −2 avremo che
𝑀−2 = (
0 0
0 1
−2 −1
−3 1
)
avrà ancora rango 2; infatti basta considerare il minore evidenziato in rosso, che ha determinante diverso da 0. Segue che anche il sottospazio 𝐴−2 avrà dimensione 2.
Utilizzando il prodotto scalare euclideo standard, determiniamo il complemento ortogonale di ciascun vettore di 𝐴𝑘 nel caso 𝑘 ≠ −2.
Geometria I Gianluca Ferrari Spazi Vettoriali Metrici
𝐴𝑘⊥ ∶
{
(𝑘 + 2 0 𝑘 𝑘 − 1) ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑡
) = 0
(0 1 𝑘 + 1 1) ( 𝑥𝑦 𝑧 𝑡
) = 0
{(𝑘 + 2)𝑥 + 𝑘𝑧 + (𝑘 − 1)𝑡 = 0
𝑦 + (𝑘 + 1)𝑧 + 𝑡 = 0 ⟹ {𝑥 = − 𝑘
𝑘 + 2𝑧 −𝑘 − 1 𝑘 + 2𝑡 𝑦 = −(𝑘 + 1)𝑧 − 𝑡 Il sottospazio determinato per il complemento ortogonale di 𝐴𝑘 sarà
𝐴𝑘⊥ = 〈(− 𝑘
𝑘 + 2 −𝑘 − 1
1 0
) ; (1 − 𝑘 𝑘 + 2 −1
0 1
)〉 ∀𝑘 ∈ ℝ ∖ {−2}
Consideriamo ora il caso 𝑘 = −2 e determiniamo il complemento ortogonale di 𝐴−2.
𝐴−2⊥ ∶
{
(0 0 −2 −3) ( 𝑥𝑦 𝑧 𝑡
) = 0
(0 1 −1 1) ( 𝑥𝑦 𝑧𝑡
) = 0
{−2𝑧 − 3𝑡 = 0
𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0 ⟹ {
𝑧 = −3
2𝑡 𝑦 +5
2𝑡 = 0 → 𝑦 = −5 2𝑡
Sia da notare che la variabile 𝑥 può assumere qualunque valore; dunque avremo 𝐴−2⊥ = 〈(1 00 0) ; ( 0 −5
−3 2 )〉
Consideriamo ora il sottospazio 𝐵𝑘 e facciamo un ragionamento del tutto analogo.
Scriviamo la matrice
𝑁𝑘 = (
2 𝑘
0 0
0 0
−1 𝑘 − 3 )
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e studiamone il rango, nonché la dimensione del sottospazio 𝐵𝑘 al variare del parametro 𝑘.
det ( 2 𝑘
−1 𝑘 − 3) = 2𝑘 − 6 + 𝑘 = 3(𝑘 − 2)
Il rango della matrice sarà 2 se 𝑘 ≠ 2, mentre se 𝑘 = 2 la matrice 𝑁2 avrà rango 1.
Nel caso 𝑘 ≠ 2, calcoliamo il complemento ortogonale del sottospazio 𝐵𝑘, procedendo nuovamente nel seguente modo:
𝐵𝑘⊥ ∶
{
(2 0 0 −1) ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑡
) = 0
(𝑘 0 0 𝑘 − 3) ( 𝑥𝑦 𝑧 𝑡
) = 0
{2𝑥 − 𝑡 = 0
𝑘𝑥 + (𝑘 − 3)𝑡 = 0 ⟹ {𝑡 = 2𝑥 𝑘𝑥 + (𝑘 − 3)(2𝑥) = 0 → 𝑘𝑥 + 2𝑘𝑥 − 3𝑘𝑥 = 0 → 0 = 0 Anche in questo caso le variabili 𝑦 e 𝑧 non compaiono nelle equazioni del sistema, quindi sono libere di variare in ℝ.
𝐵𝑘⊥ = 〈(1 0
0 2) ; (0 1
0 0) ; (0 0
1 0)〉 ∀𝑘 ∈ ℝ ∖ {2}
Analizziamo infine il caso 𝑘 = 2 e calcoliamo 𝐵2⊥.
𝐵2⊥ ∶
{
(2 0 0 −1) ( 𝑥𝑦 𝑧 𝑡
) = 0
(−2 0 0 −5) ( 𝑥𝑦 𝑧𝑡
) = 0
{2𝑥 − 𝑡 = 0 −2𝑥 − 5𝑡 = 0 ⟹ {𝑡 = 2𝑥 2𝑥 = 10𝑥 → 𝑥 = 0 ⟹ {𝑥 = 0𝑡 = 0 Segue che
𝐵2⊥ = 〈(0 10 0) ; (0 01 0)〉
