Astronomia
Lezione 07/11/2014
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides delle lezioni:
oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014
Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm) incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’
Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.
Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione delle stelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramente
In prima approssimazione).
Le righe dipendono dalla temperatura della stella.
Ad esempio, per vedere la serie di Balmer (transizioni dal livello eccitato n=2) la temperatura superficiale della stella deve essere abbastanza alta da eccitare gli atomi di idrogeno e
popolare il livello n=2, ma non troppo alta per ionizzare l’idrogeno!
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio
Temperatura e pressione elettronica nel Sole:
Con questi parametri si ha:
Vale a dire che tutto l’idrogeno e’ NEUTRO e che pochissimo idrogeno e’ eccitato a n=2.
5
2. 1
5777 m P N
K T
e e
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio
Il Calcio ha una energia di ionizzazione di 6.11 eV. Questo cambia moltissimo le cose Perche’ a T=5777 K si ha (le funzioni di partizione sono tabulate):
Quindi tutto il Calcio e’ ionizzato. Consideriamo quanti sono al livello fondamentale, Che appunto produce le righe di assorbimento K e H del Ca II.
Considerando solo la riga K a 393.3 nm (la trattazione per H a 396.8 nm e’ molto simile), si ha che il primo stato eccitato necessita di 3.12 eV.
Si ha quindi:
Vale a dire buona parte del Ca II e’ allo stato fondamentale.
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio
In pratica nella atmosfera del Sole tutto il calcio e’ ionizzato e si trova al livello Fondamentale. Quindi e’ tutto disponibile per assorbire le righe H e K.
Nell’atmosfera del Sole abbiamo 500.000 atomi di Idrogeno ogni singolo atomo di Calcio. Tuttavia le righe H e K del Calcio sono molto piu’ evidenti perche tutto l’Idrogeno e’ neutro nello stato fondamentale e quindi non assorbe come Balmer.
In pratica le righe dei vari elementi appaiono più o meno marcate a seconda che siano più o meno popolati i livelli energetici legati alla riga. E questo dipende dalla temperatura superficiale della stella.
In pratica le righe dei vari elementi appaiono più o meno marcate a seconda che siano più o meno popolati i livelli energetici legati alla riga. E questo dipende dalla temperatura superficiale della stella.
Atmosfere stellari
Consideriamo un raggio di luce che si propaga lungo una direzione data dagli angoli
q e f, con una lunghezza d’onda l e attraverso una superficie infinitesimale dA tangente alla superficie della stella. La superficie ortogonale alla direzione di propagazione e’ dA cosq.
Si definisce come intensita’ specifica l’energia per lunghezza d’onda, per superficie, per unita’ di tempo e unita’ di angolo solido del raggio (unita’ in ):
Si ha pertanto che la quantità:
Rappresenta l’energia trasportata dal raggio luminoso tra lunghezza d’onda l e l+dl che passa nell’istante di tempo dt attraverso la superficie dA.
L’intensita’ specifica o, piu’ semplicemente, l’intensita’ e’ in generale una funzione della direzione e quindi degli angoli q e f. Si introduce una intensita’ media, facendo la media su tutte le direzioni e dividendo per l’angolo solido 4p:
Nel caso di intensita’ isotropa, intensita’ specifica ed intensita’ media sono la stessa cosa:
Essendo la radiazione di corpo nero isotropa, si ha:
Atmosfere stellari
Atmosfere stellari
Consideriamo adesso un cilindro infinitesimale di lunghezza dL e base dA e supponiamo che abbia la superficie interna perfettamente riflettente (una trappola insomma per la luce).
La radiazione entrante con un angolo q ci mette un tempo:
ad attraversare la trappola.
L’energia si puo’ quindi scrivere come:
Atmosfere stellari
Il termine dAdL e’ il volume del cilindretto. Dividendo per questa quantita’ ed integrando sull’angolo solido troviamo la densita’ di energia per unita’ di lunghezza d’onda ul
(densita’ di energia specifica):
Che e’ quindi pari all’intensita’ media diviso la velocita’ della luce per 4p.
Per un corpo nero si ha:
o, definendo in frequenza invece che lunghezza d’onda:
Atmosfere stellari
La densita’ di energia totale si trova integrando sulle frequenze (o lunghezze d’onda):
Nel caso di un corpo nero si ha:
con
detta costante radiativa.
Atmosfere stellari
Un’altra quantita’ utile e’ il flusso specifico radiativo definito come la quantita’
di energia per unita’ di tempo e lunghezza d’onda che passa attraverso una superficie ortogonale all’asse z:
Quando la sorgente e’ risolta allora cio’
che misuro e’ l’intensita’ specifica.
L’angolo minimo d’ l’angolo di Airy.
Quando la sorgente non e’ risolta allora cio’
che misuro e’ il flusso specifico.
In pratica vedo tutta la radiazione Proiettata lungo
la linea di vista o asse z.
Atmosfere stellari
Dato che un fotone ha un momento p=E/c, questo esercitera’ un momento lungo z data da:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione si trova dividendo per dA l’espressione precedente ed Integrando su meta’ angolo solido (emisfero superiore):
nel caso di radiazione isotropa l’integrale e’ equivalente ad un integrale su tutto l’angolo solido ma diviso per 2. In questo caso si ha quindi che:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione totale e’ quindi data integrando su tutte le lunghezze d’onda:
per un corpo nero (che ricordiamo essere isotropo) si trova:
la pressione di radiazione di un corpo nero e’ 1/3 della sua densita’ di energia.
Le atmosfere stellari cambiano in modo sostanziale lo spettro di corpo nero di una stella.
Questa ha come prima implicazione che vi siano diverse definizioni di temperature superficiali.
Atmosfere stellari
Come abbiamo gia’ detto le stelle sono solo approssimativamente dei corpi neri.
Questo porta a diverse possibili definizioni della temperatura di una stella:
Temperatura Effettiva:
Ottenuta tramite la relazione di Stefan-Boltzmann.
Temperatura di Eccitazione:
Ottenuta a partire
dall’equazione di Boltzmann.
Temperatura di Ionizzazione:
Ottenuta a partire dall’equazione di Saha.
Temperatura Cinetica:
Ottenuta a partire dalla distribuzione Di Maxwell-Boltzmann.
Temperatura di Colore:
Ottenuta «fittando» lo spettro di Una stella con uno di corpo nero.
Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrisponde ad un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nero sono le stesse.
Tuttavia questo non e’ vero per una stella: vi sono zone piu’ o meno calde, la temperatura puo’ variare da punto a punto e trasporto di energia.
In prima approssimazione pero’ si puo’ assumere la condizione di equilibrio termodinamico locale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che trasportano energia e’ molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia
significativamente.
Ad esempio la fotosfera e’ la zona dell’atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni del Sole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a 5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l’altezza di scala della Temperatura come:
Questa quantita’ va confrontata con il libero cammino medio delle particelle.
Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. Due
Atomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore di Due raggi si Bohr a0. Il problema e’ equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 che Incontra i centri di vari atomi.
La densita’ alla fotosfera e’ e dunque si ha una densita’
di atomi di idrogeno.
Se un atomo ha velocita’ v in un tempo t avra’ coperto un volume pari a:
Dove s e’ la sezione d’urto collisionale. In questo volume ci sono
atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt.
Il cammino medio tra un urto e l’altro sara’ il cammino totale diviso il numero di urti, vale a dire il libero cammino medio:
Per un atomo di idrogeno:
ETL OK per Idrogeno !
Opacita’
Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.
L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:
vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente di
assorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.
Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm):
E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza:
Che e’ minore della altezza di scala di temperatura ma confrontabile.
La condzione ETL vale quindi per gli atomi di idrogeno ma non propriamente per i fotoni.
La distanza sopra definita’ e’ il cammino libero medio del fotone, da cui si puo’
ottenere la sezione d’urto usando la definizione precedente:
Consideriamo adesso la profondita’ ottica
t
l definita a partire dalla quantita’differenziale:
Il segno meno sta ad indicare che il moto del fotone e’ verso di noi mentre noi guardiamo le distanze a partire dalla Terra.
Per un raggio di luce che percorre una distanza s si ha una variazione nella profondita’ ottica:
Dato che e’ una quantita’ negativa, vale a dire che la Profondita’ ottica diminuisce, possiamo porre
la profondita’ ottica a zero sulla superficie della stella e considerarla Crescente mano a mano che andiamo all’interno dell’atmosfera stellare:
Nel caso di puro assorbimento abbiamo quindi:
Se il raggio parte da un punto dove la profodita’ ottica e’ pari a 1, l’intensita’ specifica sara’ diminuita di un fattore 1/e quando lascia la stella.
La profondita’ ottica puo’ quindi essere pensata come collegata al numero di cammini liberi medi percorsi dal fotone nell’atmosfera stellare.
Un gas puo’ essere otticamente spesso se tl>>1 o otticamente sottile se tl <<1
Sorgenti Generali di Opacita’
I processi che danno luogo all’opacita’ di un raggio di luce ed ad un diminuire della sua
Intensita’ possono provenire da un assorbimento dei fotoni che lo costituiscono (i fotoni in questo caso scompaiono e la loro energia si trasforma in energia termica del gas) o in uno scattering del fotone in un’altra direzione (quindi ne vediamo meno). Se questi processi variano lentamente con la lunghezza d’onda, allora il coefficiente di assorbimento kl dipende lentamente dalla lunghezza d’onda e l’assorbimento e’ continuo nello spettro.
Altrimenti se varia rapidamente abbiamo la formazione di righe. Essenzialmente si hanno Quattro meccanismi fisici che portano ad assorbimento o scattering di fotoni:
1- Transizioni legato-legato (bound-bound): In questo caso il fotone viene assorbito da un atomo e un elettrone si sposta a livello energetico piu’ alto. L’elettrone puo’ quindi tornare al livello di partenza e riemettere lo stesso fotone. In questo caso e’ un processo di scattering.
Oppure puo’ tornare ad un livello diverso, quindi il fotone originario e’ perso come in un
processo di assorbimento. Un importante sotto-prodotto di questo processo di assorbimento e’
la degradazione dell’energia media dei fotoni del campo di radiazione.
Se infatti l’elettrone si diseccita passando per due stati, emettera’ due fotoni di energia inferiore di quello iniziale.
Per questo processo l’opacita’ klBB e’ piccola per il continuo ed e’ rilevante solo per alcune frequenze (righe)
2- Assorbimento legato-libero (bound-free): in questo caso il fotone ha abbastanza energia per Ionizzare l’atomo. Chiaramente tutti i fotoni con lunghezza d’onda minore di:
(dove cn e’ l’energia di ionizzazione si un atomo al livello di eccitazione n) saranno assorbiti. Quindi questo processo con opacita’ klBF contibuisce al continuo.
Il processo inverso (un elettrone viene catturato da un atomo emettendo un fotone) puo’
anch’esso ridurre l’energia media Dei fotoni perche’ l’elettrone puo’ essere catturato in un’
orbita piu’ esterna.
3- Assorbimento libero-libero (free-free). Se un elettrone passa accanto ad uno ione,
questo puo’ frenare emettendo un fotone (radiazione di bremsstrahlung o di frenamento). Il Processo che ci interessa e’ quello inverso, un elettrone passa accanto ad uno ione ed
accelera assorbendo un fotone. L’opacita di questo processo klFF contribuisce quindi al continuo.
4- Thomson Scattering (electron-scattering): quando un elettrone libero si scontra con un fotone si ha lo scattering Thomson. Questo puo’ avvenire a qualunque frequenza e quindi il coefficiente di opacita’ dello scattering Thomson klES non dipende dalla frequenza
e quindi ha un effetto sul continuo dello spettro.
Il valore della sezione d’urto dello scattering Thomson e’:
che e’ molto minore della sezione d’urto per ionizzazione dell’atomo di Idrogeno:
Quindi lo scattering Thomson ha effetto considerevole solo a grandi temperature, quando vi sono molti elettroni liberi nell’atmosfera stellare.
L’energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno eccitato con l’elettrone nello stato n=2 e’ pari a:
si ha quindi che se n=2 e’ popolato l’intensita’ della luce a lunghezze d’onda inferiori a
subira’ un assorbimento continuo dovuto all’assorbimento legato-libero.
Questo Salto di Balmer e’ chiaramente visibile, ad esempio nel Sole (figura sopra).
Il massimo numero di atomi di idrogeno Eccitati con n=2 si ha per temperature di Circa T=9900K. Queste sono le stelle di classe spettrale A0.
Il valore di 364.7nm al di sotto del
Quale si ha il salto di Balmer e’ al centro della banda U (365 nm).
Ci possiamo quindi aspettare che stelle di tipo A0 siano meno luminose in questa banda e quindi abbiano indice di colore U-B piu’ grande (U e’ magnitudine).
Le stelle di tipo A0 sono infatti quelle che si discostano di piu’ da un corpo nero In un diagramma colore-colore.
(Vedi sopra).
Il Salto di Balmer puo’ essere usato per determinare la temperatura dell’atmosfera stellare.
Assorbimento da parte di ione negativo H- e altri
Per stelle a temperature sufficientemente basse (sotto F0) il contributo maggiore alla opacita’ viene dallo ione negativo di idrogeno H-.
Questo ione consiste in un atomo di idrogeno con 2 elettroni. La cosa e’ possibile se
uno dei due elettroni e’ piu’ vicino al nucleo dell’altro. A causa della schermatura parziale Da parte del nucleo e’ possibile avere un tale tipo di configurazione stabile.
L’energia di ionizzazione e’ molto bassa 0.754 eV corrispondente a 1640 nm.
Per tutte le lunghezze d’onda inferiori a 1640 nm si avra’ assorbimento continuo, In stelle a bassa temperatura da classe F0 in giu’.
Per stelle di tipo A e B all’opacita’ contribuiscono maggiormente la fotoionizzazione dell’idrogeno e l’assorbimento free-free.
Per stelle di tipo O invece e’ piu’ importante l’assorbimento dovuto allo scattering Thomson.
per stelle molto fredde abbiamo assorbimento da parte di molecole per processi Legato-legato o legato-libero.
In generale quindi l’opacita’ totale in una stella sara’ la somma di diversi termini piu’ o meno importanti:
l’opacita’ totale non dipende solo dalla lunghezza d’onda ma dalla temperatura, composizione e densita’ dell’atmosfera stellare.
E’ utile considerare una opacita’ che non dipende dalla lunghezza d’onda e considerarne una media pesata. La media maggiormente utilizzata e’ la media di Rosseland che ha
Il maggior contributo dai valori di opacita’ k minori, pesata per le variazioni del corpo nero a quelle frequenze:
questo valore medio non dipende piu’ dalla frequenza ma dalla temperatura, densita’ e composizione della stella.
Opacita’ totale e media di Rosseland
Media di Rosseland
Sfortunatamente non si hanno delle espressioni analitiche per le opacita’ medie nel caso di sistemi legato-legato perche’ le transizioni sono troppo complesse.
Si hanno pero’ le seguenti utili espressioni per i meccanismi legato-libero (bound-free) e libero-libero (free-free):
Dove r e’ la densita’ in kg/m^3, T e’ la temperatura in K, mentre X, Y e Z sono le Abbondanze in idrogeno, elio e metalli definite cosi’:
con, chiaramente, X+Y+Z=1. I termini gff e gbf sono chiamati fattori di Gaunt, hanno origine quanto-meccanica e sono dell’ordine di 1. t invece e’ detto fattore di ghigliottina e vale da 1 a 100 e determina il cut-off dell’atomo ionizzato.
Media di Rosseland
Queste opacita’ hanno un andamento funzionale del tipo:
Dove il coefficiente k0 e’ praticamente costante una volta fissata la composizione della stella. Questo andamento prende il nome di legge di opacita’ di Kramers.
Per quanto riguarda lo scattering Thomson elettrone-fotone, questo non dipende dalla frequenza. Il valore medio di Rosseland e’ data da:
Per il termine di ionizzazione dello ione H- invece si ha la seguente formula approssimata:
nel caso in cui:
(i valori di X e Z sono tipici per stelle in sequenza principale).
Media di Rosseland
Si puo’ quindi considerare una opacita’ media totale:
Un calcolo teorico per valori di opacita’ totale in funzione della temperatura e densita’
e’ riportato in figura. Si ha che a) Aumentando la densita’ aumenta k a parita’ di Temperatura. Guardando a densita’ costante, il primo picco e’ dovuto alle transizioni legato-legato dell’idrogeno, la discesa seguente e’ invece dovuta a meccanismi
Libero-legato e libero-libero (va come T^-3.5). I due picchi seguenti sono dovuti
all’Elio He II ionizzato (T=40000K) e a metalli come il Ferro. Tutte le curve poi convergono Ad un solo valore dato da processi di scattering Thomson (che non dipende ne’ da densita’
ne’ da temperatura).
Processi di emissione
Tutti i processi di assorbimento descritti precedentemente hanno dei processi di emissione.
Un fotone di puo’ quindi aggiungere al raggio di luce sia perche’ prodotto da un
processo di assorbimento inverso sia perche’ un processo di scattering fa deviare un fotone lungo la nostra linea di vista. La maggior differenza rispetto all’assorbimento e’ che i
processi di emissione non avvengono tutti lungo la linea di vista ma in maniera random nell’atmosfera stellare.
Random Walk
Per capire meglio i processi di emissione, ricordiamo il problema del random walk.
Consideriamo un moto di N passi ciascuno di distanza L con la direzione di ogni passo presa ogni volta a caso (random walk):
Si ha:
E se prendo il prodotto Scalare:
Random Walk
Per capire meglio i processi di emissione, ricordiamo il problema del random walk.
Consideriamo un moto di N passi ciascuno di distanza L con la direzione di ogni passo presa ogni volta a caso (random walk):
Si ha:
E se prendo il prodotto Scalare:
Profondita’ ottica
Chiaramente potremo osservare solo luce proveniente da regioni con profondita’ ottica piccola (pochi urti) con t=1 . Vedremo in realta’ che e’ possibile osservare luce
Proveniente al massimo da regioni con t=2/3.
Questo porta a due conseguenze:
1- Ricordando che:
La temperatura della stella deve diminuire andando verso l’esterno (e cosi’ l’assorbimento) altrimenti non potremmo vedere le righe di assorbimento.
2- Oscuramento al bordo. Guardando una stella possiamo vedere piu’ in profondita’
andando verso il centro rispetto all’esterno che ci apparira’ piu’ oscuro.
