Sistemi di riferimento non inerziale

(1)

Sistemi di riferimento non inerziale

Marco Incagli - INFN Pisa November 27, 2016

Abstract

Appunti scritti per il corso di Fisica 1 presso la facolt`a di Fisica a Pisa nell’anno accademico 2016/2017. Ringrazio tutti gli studenti che, con i loro commenti e la loro attenzione ai dettagli, hanno migliorato (e continueranno a migliorare) la qualit`a di questi appunti.

1 Sistemi inerziali e non inerziali

Supponiamo di voler determinare la forza orizzontale ~F necessaria a spostare un corpo di massa m poggiato sopra il piano di un tavolo, la cui superficie di contatto

`

e caratterizzata da un coefficiente di attrito statico µ_S ed uno dinamico µ_D. La seconda legge di Newton `e:

F + ~~ FA+ ~N + m~g = m~a (1)

dove le forze introdotte sono, rispettivamente, la forza esterna, la forza di attrito (statico o dinamico a seconda che sia ~a = 0 oppure no) e la reazione normale del piano rigido. L’accelerazione `e quella misurata nel sistema di riferimento solidale con il tavolo.

Per “vincere” la forza di attrito statico, la forza ~F deve avere intensit`a F ≥ µ_Smg. Se F > µ_Smg il corpo si mette in moto con una accelerazione di modulo a = µDg.

Supponiamo, adesso, di mettere il tavolo all’interno di un ascensore che sale con una accelerazione a_tr. Nel sistema di riferimento esterno all’ascensore il corpo m si muove con una accelerazione ~atr, per cui quando non striscia sul tavolo possiamo scrivere:

F + ~~ F_A+ ~N + m~g = m~a_tr (2) Si conclude facilmente cche per far muovere il corpo lungo il tavolo è necessaria una forza esterna F ≥ µS(g + atr). Tuttavia all’interno, cioè nel sistema di riferimento solidale al tavolo, il corpo è fermo:

F + ~~ F_A+ ~N + m~g = m~a_R= 0 (3) dove ~a_R= 0 `e l’accelerazione misurata nel sistema di riferimento solidale al tavolo all’interno dell’ascensore.

La soluzione di questa equazione porta a concludere che la forza limite sia F = µ_Smg, come nel primo caso. Sperimentalmente, per`o, non risulta cos`ı.

Questo semplice esempio fornisce una definizione operativa per “sistema inerziale” e “sistema non inerziale”. Un sistema `e inerziale se la seconda legge di

(2)

Newton – ~F = m~a – `e verificata, utilizzando per ~F la definizione standard di forze reali. Le forze reali (per il corso di Fisica 1) sono: le forze di contatto (contatto fra corpi, piano di contatto, fili, molle, ecc.) e la forza gravitazionale, sia essa nella formulazione semplificata m~g o in quella pi`u generale proporzionale a m1m2/r².

Per contro, in un sistema non inerziale non `e valida la legge di Newton se in ~F si includono solamente le forze reali. Tuttavia `e possibile estendere anche ai sistemi non inerziali la seconda legge di Newton a patto di allargare la definizione di “forza”.

Questo sar`a discusso nei prossimi paragrafi.

2 Moto rigido di un corpo

Figure 1:

Consideriamo, per semplicit`a, un moto piano, e siano dati due sistemi di riferimento che, ad un certo istante, si trovano nella situazione indicata in figura 1. Sia dato un punto P individuato dal raggio vettore ~r nel sistema S e dal raggio vettore

~

r⁰ nel sistema S⁰. Una relazione che sembra ovvia da scrivere ´e:

~r = ~OQ + ~r⁰ (4)

Questa relazione, però, non è formalmente corretta. Infatti, cosa è ~r⁰? Posso scriverlo come:

~

r⁰ = x⁰eˆ_x⁰ + y⁰ê_y⁰ (5) Tuttavia il versore êx⁰ è, per definizione, il versore di coordinate (1, 0). In questo esempio, invece, il versore ha coordinate (cos α, − sin α), come si verifica facilmente.

Cioè non si tratta, in realtà, del versore ê_x⁰, ma piuttosto del trasformato del versore êx⁰ nel sistema di riferimento S. Quindi un modo più corretto per scrivere l’equazione 4 è:

~

r = ~OQ + T r(~r⁰) (6)

intendendo con T r la funzione che trasforma il vettore ~r⁰ nel sistema di riferimento S.

Come pu`o essere definita questa trasformazione? Il punto P individuato dal

(3)

sistema S⁰ sono due punti diversi in quanto appartengono a spazi diversi. Infatti i due spazi S e S’ sono diversi, anche se identici ed indistinguibili, cio`e, tecnicamente, isomorfi. Per definire un punto in uno spazio abbiamo concordato, nella nostra modellizzazione, di utilizzare un sistema di riferimento definito da (o associato a) un corpo rigido. Fissare il sistema di riferimento spaziale significa fissare la corrispondenza biunivoca, mediante il processo di misura delle distanze, tra i punti P di uno spazio euclideo astratto E³ e i punti materiali Pm del mio corpo rigido.

Attenzione: qui si annida una delle differenze tra fisica e matematica: questa corrispondenza - o funzione - NON e‘ una corrispondenza nel senso matematico del termine perche‘ uno dei due insiemi, quello dei punti materiali, NON e‘ un ente matematico!

Breve digressione: i due spazi euclidei E³, rispettivamente di S e di S⁰, come abbiamo gia’ detto isomorfi, possono essere messi in corrispondenza biunivoca CONSERVANDO la struttura euclidea (p.e. le distanze tra coppie di punti corrispondenti sono uguali, gli angoli di rette corrispondenti sono uguali, ecc.). Si noti che esistono molti diversi isomorfismi, cioè modi diversi di realizzare la suddetta corrispondenza biunivoca. Più precisamente, anche se qui non interessa immediatamente, infinito⁷ isomorfismi, corrispondenti a infinito³ traslazioni, infinito³ rotazioni e infinito¹ dilatazioni isotrope. Inoltre, poiché stiamo real- izzando un modello in cui lo spazio assoluto non esiste, (cioe‘, detto alla ”buona”, a ogni istante possiamo scegliere un nuovo e diverso spazio E³), l’isomorfismo (la corrispondenza biunivoca) tra i due spazi euclidei di S e S⁰ potrebbe essere variato a piacimento in ogni istante di tempo. Insomma, con terminologia non tecnica, A PRIORI non c’è un modo univoco di confrontare due punti P e P⁰ appartenenti ai due spazi, pur isomorfi, per dire se S e S⁰stiano identificando ”lo stesso punto” nei loro rispettivi spazi euclidei E³, perché, a priori, tutti gli isomorfismi sono equivalenti. Tuttavia, grazie alla corrispondenza con i rispettivi CORPI FISICI rigidi e SOLO grazie a questa, possiamo identificare, per ogni istante di tempo, un’unica e ben definita corrispondenza biunivoca tra i due spazi euclidei.

Una volta dati i due punti materiali P_m e P_m⁰ , `e possibile definire una corrispondenza fra di essi (se coincidono sono lo stesso punto!) e quindi fra i due punti matematici P e P⁰:

P → P_m→ P_m⁰ → P⁰ (7)

Quindi in seguito quando scriver`o la relazione 4 si intender`a riferirci al trasformato del vettore ~r⁰ secondo quanto appena descritto.

3 Traslazioni

Come vedremo trattando il moto dei corpi rigidi, l’atto di moto pu`o sempre essere scomposto in un movimento traslatorio ed uno rotatorio. Per questo tratteremo prima i sistemi non inerziali che traslano e poi quelli che ruotano rispetto ad un riferimento inerziale. Il moto generale sar`a la somma dei due.

Siano dati due sistemi di riferimento, uno inerziale S, detto anche Sistema Asso- luto, ed uno non inerziale S⁰, detto anche Sistema Relativo. Con tutte le precisazioni fatte al paragrafo precedente, scriviamo la posizione di un punto P come:

~rA= ~OQ + ~rR (8)

(4)

Questa relazione si scrive in coordinate cartesiane:







xA= x_Q/O+ xR

y_A= y_Q/O+ y_R zA= z_Q/O+ zR

(9)

Insisto nuovamente sul significato da dare ad xR (e a tutte le altre componenti):

x_R= ~r_R· ê_x = (x⁰ê_x⁰ + y⁰eˆ_y⁰ + z⁰ê_z⁰) · ê_x = ... (10) Notare la differenza fra x_Re x⁰: la prima rappresenta la coordinata x del vettore

~

r⁰ nel sistema di riferimento assoluto S, mentre la seconda `e la coordinata di ~r⁰ in S⁰. In questo senso:

~r_R= Tr(~r⁰)

Tuttavia nel seguito questa differenza sar`a normalmente sottintesa e utilizzeremo xRo x⁰ in maniera interscambiabile.

Derivando l’eq.(8) si ottiene la legge delle composizioni delle velocit`a:

~v_A= ~v_tr+ ~v_R (11)

La velocità del sistema non inerziale rispetto a quello assoluto (velocità di Q rispetto ad O) si chiama anche velocità di trascinamento.

Una seconda derivata fornisce la relazione fra le accelerazioni:

~aA= ~atr+ ~aR (12)

Vediamo, adesso, di utilizzare questi risultati per reinterpretare la legge di New- ton.

Come già scritto in precedenza, un sistema è definito inerziale quando è soddis- fatta la relazione:

m~a_A= ~F (13)

Se alla accelerazione a_A sostituiamo l’eq.(12) e riordiniamo i termini, risulta:

m~aR= ~F − m~atr (14)

L’ultimo termine viene definito forza apparente:

F~_app= −m~a_tr (15)

Con questa definizione risulta:

m~aR= ~F − m~atr = ~F + ~Fapp (16) Quindi includendo nel sistema non inerziale anche le forze non reali, dovute al fatto che il sistema non `e inerziale (potremmo dire, con una certa approssimazione,

“non `e fermo”), si pu`o di nuovo utilizzare la legge di Newton.

Rivediamo, adesso, l’equazione (3) includendo la forza apparente:

0 = ~F + ~F_A+ ~N + m~g + ~F_app= ~F + ~F_A+ ~N + m~g − m~a_tr (17) essendo ~a_tr l’accelerazione di trascinamento (in questo caso specifico: accelerazione dell’ascensore). Come si vede, questa equazione fornisce la stessa risposta che si ricava dalla eq.(2), scritta nel sistema di riferimento assoluto.

Esempi:

• aumento (diminuzione) di peso in ascensore che sale (scende);

• direzione del filo a piombo in un treno che frena;

• angolo formato da un pendolo su carrello lungo un piano inclinato;

(5)

4 Moto rotatorio

Figure 2:

Si supponga, adesso, che l’origine dei due sistemi di riferimento coincida e che il sistema non inerziale ruoti con una velocit a angolare ~ω(t) rispetto a quello fisso, come in fig.2.

Per procedere `e necessario il teorema di Poisson secondo il quale per ogni atto di moto istantaneo esiste uno ed un solo vettore ~ω tale che per ogni versore ˆei del sistema in moto si abbia:

d

dteˆ_i = ~ω × ˆe_i (18)

Il vettore ~ω `e nullo se e solo se il moto `e puramente traslatorio. Questo teorema

`

e dimostrato in appendice.

Per un moto puramente rotatorio, se l’origine dei due sistemi coincide, risulta:

~rA= ~rR= x⁰eˆ_x⁰ + y⁰ˆe_y⁰+ z⁰eˆ_z⁰ (19) Ricordo ancora una volta che i vettori ed i versori espressi nel sistema S⁰ si intendono, in realt`a, come vettori trasformati.

Per semplificare la notazione uso: x₁ = x, x₂ = y, x₃ = z, ˆe_x⁰ = ˆe⁰₁ e cos`ı via.

Quindi l’equazione precedente si riscrive in maniera compatta come:

~

r = x⁰_ieˆ⁰_i (20)

Ho usato anche la convenzione che indici ripetuti vengono sommati. Cio`e:

x⁰_iˆe⁰_i =

3

X

i=1

x⁰_ieˆ⁰_i (21)

Derivando:

~vA= dx⁰_i

dt eˆ⁰_i+ x⁰_idˆe⁰_i

dt = ~vR+ ~ω × ~rR (22)

(6)

Per ottenere l’accelerazione deriviamo di nuovo:

~aA = d dt

dx⁰_i

dt ˆe⁰_i+ ω × ~rR

= d²x⁰_i

dt² eˆ⁰_i+dx⁰_i dt

ˆ e⁰_i dt +dω

dt × ~r_R+ ~ω × (~vR+ ~ω × ~rR)

= ~aR+ 2~ω × ~vR+ ˙ω × ~~ rR+ ~ω × (~ω × ~rR)

(23)

Gli ultimi addendi al secondo membro vengono chiamati, rispettivamente, accelerazione di Coriolis, accelerazione tangenziale e accelerazione centrigfuga.

~a_A= ~a_R+ ~a_co+ ~a_tan+ ~a_cf (24) Procedendo come nel paragrafo precedente, la legge di Newton pu`o essere scritta nel sistema non inerziale includendo delle forze fittizie, chiamate, appunto, forze apparenti:

m~aR= ~F − m~aco− m~a_tan− m~a_cf = ~F + ~Fapp (25)

5 Moto roto-traslatorio

Possiamo adesso scrivere in maniera generale la legge di Newton in un dato sistema di riferimento combinando le equazioni (16) e (25):

m~a = ~F_reali+ ~Fapp≡ ~F (26) con:

F~_app= −m~a_tr − m~a_co− m~a_tan− m~a_cf (27) e:

~atr = ¨~r_Q/O

~a_co= 2~ω × ~v

~atan= ˙~ω × ~r

~a_cf = ~ω × (~ω × ~r)

(28)

Si noti che è stato omesso l’indice R (sistema relativo). L’equazione (26) indica che la legge di Newton è valida in qualunque sistema di riferimento, purché oltre alle forze reali (forze di contatto + forza gravitazionale) si includano nella definizione di F anche le eventuali forze apparenti legate al moto non inerziale del sistema stesso.~ Ad esempio, nella descrizione di in un esperimento sulla caduta dei gravi fatto in laboratorio si può includere o meno il fatto che ci troviamo in un sistema non inerziale (la terra ruota!) a seconda della precisione richiesta.

Vediamo meglio i singoli termini:

• ¨~r_Q/O: questo termina rappresenta la accelerazione (o decelerazione) del sistema di riferimento. L’effetto si percepisce chiaramente durante la partenza di un’auto, la frenata di un treno, la salita di un ascensore, ecc.. La forza per- cepita `e opposta alla accelerazione del sistema: se l’ascensore accelera verso l’alto, percepisco una forza apparente che preme verso il basso.

• 2~ω × ~v: diversamente dalle altre, la forza di Coriolis si manifesta solamente se il corpo si muove (e quindi v 6= 0) nel sistema non inerziale. Ad esempio le correnti d’aria in quota, che si muovono da sud verso nord nel nostro emisfero, tendono ad essere deviate verso destra, e quindi verso est, da questa forza

(7)

• ˙~ω × ~r: la forza associata a questa accelerazione `e normalmente tangenziale, almeno per asse di rotazione fisso, ed `e dovuta alla accelerazione angolare.

Esempio: giostra che rallenta. Possono esistere situazioni pi`u complicate come nel caso di una trottola inclinata che precede intorno all’asse verticale; in questo caso il vettore ~ω cambia di direzione e ˙~ω 6= 0 anche se la velocit`a di rotazione rimane costante (trascurando effetti di attrito).

• ~ω × (~ω × ~r): questa è la accelerazione centripeta. Ad esempio su una giostra che ruota con velocità angolare ω risulta ~ω × (~ω × ~r) = −ω²rê_r. La forza associata è la ben nota forza centrifuga, una forza apparente legata al moto non inerziale del sistema di riferimento.

Esempi:

• una capsula spaziale `e in orbita attorno alla Terra su una circonferenza di raggio doppio rispetto al raggio terrestre. Cosa legge un astronauta sulla bilancia, se decide di controllare il suo peso?

• Un treno percorre una curva di raggio R=1000m alla velocit`a vT = 60km/h. A che velocit`a, ed in che direzione, deve correre lungo il corridoio un viaggiatore per non risentire di nessuna forza apparente?

• Uno studente di fisica si trova su una giostra di raggio R che ruota a velocit`a angolare costante ω. Come descrive il moto dell’amico che si trova a terra, subito fuori dalla giostra?

A Teorema di Poisson

Per ogni atto di moto istantaneo esiste uno ed un solo vettore ~ω tale che per ogni versore ˆe_i del sistema in moto si abbia:

d

dteˆ_i = ~ω × ˆe_i (29)

Il vettore ~ω `e nullo se e solo se il moto `e puramente traslatorio.

DIMOSTRAZIONE.

Poich´e la derivata di un vettore `e perpendicolare al vettore stesso, esistono sempre tre vettori per i quali vale:

d

dteˆi= ~ωi× ˆei i = (1, .., 3) (30) Considerando una base ortonormale (il teorema si estende facilmente anche a basi non ortonormali), si ha

ˆ

e1· ˆe2 = 0 da cui, derivando:

dˆe₁

dt · ˆe₂+dˆe₂

dt · ˆe₁= 0 da cui segue:

(~ω1× ê1) · ê2+ (~ω2× ê2) · ê1= 0

Sfruttando le propriet`a cicliche del prodotto misto, l’equazione pu`o essere riscritta come:

(ê1× ê2) · ~ω1+ (ê2× ê1) · ~ω2= 0 ˆ

e₃· ~ω₁− ˆe₃· ~ω₂= 0 (31)

(8)

Scrivendo le componenti dei tre vettori come ~ω1 ≡ (ω₁₁, ω12, ω13), e analogo- mante per ~ω₂ e ~ω₃, l’equazione (31) fornisce la relazione:

ω13= ω23≡ r (32)

dove `e stato introdotto il parametro r.

Procedendo in maniera analoga per il prodotto scalare dei versori 1, 3 e dei versori 2, 3 si ricavano le altre relazioni:

ω12= ω32≡ q

ω₂₁= ω₃₁≡ p (33)

In definitiva i tre vettoriomega~ _i hanno la seguente struttura:

~

ω1≡ (ω₁₁, q, r)

~

ω₂≡ (p, ω₂₂, r)

~

ω₃≡ (p, q, ω₃₃)

(34)

Rimangono indefinite le componenti diagonali. Tuttavia queste componenti possono essere definite in maniera arbitraria, cio`e il prodotto vettoriale

~ ω1× ˆe1

non dipende dalla componente ω11 del vettore ~ω1. Per cui posso arbitrariamente scegliere ω₁₁ = p, ω₂₂ = q, ω₃₃ = r e le relazioni (30) sono sempre valide. Di conseguenza:

~

ω1≡ (p, q, r)

~

ω₂≡ (p, q, r)

~

ω₃≡ (p, q, r)

(35)

con il risultato che i tre vettori sono identici:

~

ω1= ~ω2= ~ω3≡ ~ω (36)

Abbiamo quindi dimostrato l’esistenza del vettore ~ω; si dimostra facilmente che tale vettore `e unico.