Soluzione del compito di fisica 2 del 16 febbraio 2015 Elettrodinamica Un generatore di fem E è collegato ad una bobina di resistenza R e autoinduttanza L. Nel caso la fem sia continua E=E

Soluzione del compito di fisica 2 del 16 febbraio 2015

Elettrodinamica

Un generatore di fem E è collegato ad una bobina di resistenza R e autoinduttanza L.

Nel caso la fem sia continua E=E0

a) trovare la corrente circolante, ipotizzando che quando il circuito viene chiuso la corrente sia inizialmente nulla.

b) Esprimere il flusso, la fem e la corrente autoindotti come funzione del tempo.

Nel caso in cui la fem sia alternata E=E₀sint , c) trovare la corrente.

d) Esprimere il flusso, la fem e la corrente autoindotti come funzione del tempo.

Soluzione

a) scriviamo la legge di Kirchhoff per il circuito

da cui

b) Il flusso autoindotto è , la fem autoindotta

e la corrente autoindotta

c) La legge di Kirchhoff è ora

La soluzione generale è ove A si determina tramite le condizioni iniziali e i₀ e  sono dati da

e quindi

d) Il flusso è e la fem autoindotta

La corrente autoindotta è

Introducendo la corrente del generatore si verifica facilmente che , infatti

0



 _{L R}

G E V

E

0  Ri0

dt Ldi

E L

i E L R dt

di ₀





0

 _L

G E

E

L t E dt

di  ⁰ sin 0

0sin  

dt Ldi t

E 

2 2 2

0 0

0 R L

E Z

i E



 

 R

tg L



 



  

 ^ t

Z Ae E

i ^{t 0} sin

 

_







 



 







 L R

t R

t E

i ⁰ 1 exp

 

_







 



 











 L R

t R

LE t

Li ⁰ 1 exp

 

 ^ 



 





 ^ t

Z LE LAe

t

Li ^{t 0} sin

 



 







 



 















 

 













 L R

E t L R R L

t R

LE R

L t dt

d R LE dt

t Ldi

E_L ⁰ 1 exp ⁰ exp ₀exp

 

^



 



 ^  



 





 









 



  







 ^{ } t

Z LE L Ae

L R Z t

Ae E dt L d dt

t Ldi

E_L ^{t 0} sin ^{t 0} cos



 









 L R

t R

E R

i_ai E^{L 0} exp



^{ }



   



 ^ t

R L Z Ae E

R

i_ai E^{L t 0} cos



 



  

 Ae^ i t

i ^t ₀sin

R t

i_G  E⁰ sin ii_ai i_G



^t



^{Ae E L}



^t



^{E t}

Ae^t E⁰ sin   ^t  ⁰  cos   ⁰ sin

Relatività

Su un’astronave S’ in moto rispetto al sistema S con velocità v=c=0.9999c si trova una sorgente di luce a distanza d’=50 cm da uno specchio.

La sorgente emette un impulso luminoso, trovare (in S’)

a) il tempo necessario affinché la luce arrivi allo specchio e torni alla sorgente.

Nel sistema S trovare:

b) la distanza tra la sorgente e lo specchio;

c) il tempo di andata dalla sorgente allo specchio;

d) il tempo di ritorno.

Stabilire se

e) il tempo di andata-ritorno corrisponde al tempo trovato nel sistema S’.

Soluzione

a) Il tempo di andata e ritorno in S’ è

b) Determiniamo  preliminarmente: ;

la distanza in S è

c) Il tempo di andata in S è

d) Il tempo di ritorno in S è

e) Il tempo totale in S è . C’è corrispondenza in

quanto vale la relazione

Alternativamente si può usare la legge di trasformazione inversa del tempo: . Per andare dalla sorgente (1) allo specchio (2):

c ns

t_AR d 3.33

10 3

5 . 0 2 '

' 2 ₈ 



 



d m

d 7.07 10 ³

7 . 70

5 . 0

'    _

 

7 . 70 9999 . 0 1

1 1

1

2

2 

 

 

 

ns ns

ns t

t

t_AR  _A  _R 236 0.012 236

 

^ns

c d v

c

t_A d 236

0001 . 0 10 3

10 07 . 7

1 ⁸

3

 



 

 

  ^



 

^ns

c d v

c

t_R d 0.012

9999 . 1 10 3

10 07 . 7

1 ⁸

3

 



 

 

  ^



ns t

t_AR  _AR'70.73.33236

d’

S’

v



t_A t₂t₁



t₂'t₁'



^{ }_c



^x2'x₁'



^d'_c ^_c^d'd'_c



^1



Per tornare dallo specchio (2) alla sorgente (3):

Per la trasformazione inversa dello spazio

che sostituita nelle due equazioni precedenti dà



t_R t₃t₂ 



t₃'t₂'



^_c



^x3'x₂'



^d'_c ^{ }_c^d'd'_c



^1





d'd



t_A^d'

c



1



^2d

c



1



^{ d}

c 1







t_R^d'

c



1



^{2 d}

c



1



^_{c 1}



^d _



Magnetismo

Due spire circolari uguali di raggio R e autoinduttanza trascurabile, hanno asse coincidente con l’asse z, e sono percorse da correnti uguali ed equiverse .

Le spire sono disposte simmetricamente rispetto all’origine O delle coordinate, a distanza h da questa.

a) Calcolare il campo magnetico in O ed esprimerlo in funzione del tempo.

Soluzione

a) Per la regola della mano destra e la simmetria azimutale del problema, la direzione del campo è lungo z, verso positivo. Usando la prima formula di Laplace, calcoliamo il modulo del campo a distanza h dal centro di una spira

Il campo totale è la somma dei contributi delle due spire e quindi due volte tanto



ii₀sin



t

x z

O R h



dB_z dB cos ₀ 4ⁱ

dlr r³

R r  ₀

4ⁱ R R²h²

 

^{3 2dl}



B ₀

4i R

R²h²

 

^{3 2}



^dl _4^{0 i R}

R²h²

 

^{3 22R}

₀

2 i R² R²h²

 

^{3 2}



B₀i R² R²h²

 

^{3 2 0 R}

2

R²h²

 

^{3 2i0sint}

Fisica dei quanti

Un fascio di elettroni di quantità di moto p=30 keV/c incide su un cristallo. Ricordando la relazione di de Broglie e la legge di Bragg, trovare

a) gli angoli per cui i piani interatomici che distano fra loro d=140 pm danno un massimo di diffrazione

Nota: usare il valore di h espresso in termini di eV: h=4.14 x 10^-15 eVs; ricordare inoltre che 1 keV/c significa

Soluzione

a) la relazione di Bragg è

affinché il seno sia minore di 1, occorre che n<7, quindi gli angoli possibili sono



1keV 310⁸m s



sin_nn h

2dp n4.1410^15eVs310^8m s

21.410^10m30keV n0.15

sin₁10.150.15 sin₂20.150.30 sin₃30.150.45 sin₄ 40.150.60 sin₅50.150.75 sin₆60.150.90

₁8.63

₂ 17.46

₃ 26.74

₄ 36.87

₅ 48.59

₆ 64.16