Esercizio 1 Sono date due superfici conduttrici sferiche concentriche di spessore trascurabile e di raggio r

Esercizio 1

Sono date due superfici conduttrici sferiche concentriche di spessore trascurabile e di raggio r

1

=5 cm e r

2

= 10 cm rispettivamente. Sulla superficie interna e` posta una carica Q=1 C positiva. Su quella esterna un’eguale quantita` di carica negativa.

Trovare l’espressione del campo elettrico in tutto lo spazio e a) calcolarlo in un punto di coordinata r=8 cm e in un punto di coordinata r=12 cm.

Trovare l’espressione della densita` di energia elettrica in tutto lo spazio e dell’energia elettrostatica totale accumulata.

b) Calcolare il valore numerico di quest’ultima.

Trovare l’espressione della ddp tra la sfera interna e quella esterna e c) calcolarne il valore numerico.

Trovare l’espressione della capacita` C del sistema e d) calcolarne il valore numerico.

Trovare infine l’espressione dell’energia elettrostatica in termini di Q e C, e verificare che e` uguale a quella ottenuta in precedenza.

r₂

r₁

Soluzione dell’esercizio 1

a) Applicando la legge di Gauss all’interno della sfera interna, otteniamo che il campo in questa regione e` nullo (carica interna nulla). Nella regione tra le due sfere otteniamo l’andamento coulombiano. Nella regione esterna alla sfera esterna otteniamo di nuoco zero (la carica interna e` la somma di due cariche uguali e contrarie). Il campo e` quindi:

 

 



 















2 2 2 1

0

1

...

...

...

0

..

...

1 4

...

...

...

0

r r

r r r r

Q

r r r

E 

Nel punto r=8 cm, esso vale:

 ^{r Q r}

 

^{V m}

E 1.40 10 /

10 8

10 10 99 . 8 1 4

6 2 2

6 9 2

0



 



 

 





Nel punto r=12 cm, esso vale 0.

b) la densita` di energia e`:

 



 

















2 2 4 1

0 2 2

1

2 0

...

...

...

0

..

...

1 32

...

...

...

0

2 1

r r

r r r r

Q

r r E

u

_e



 

E l’energia elettrostatica totale si ottiene integrano su tutto lo spazio:



 



 









 

^



2 1 0 2 2

1

2 0 2

0

2 2 0

1 1 8

1 4 8

2 1

r r dr Q

r dr Q

r E dV

u U

r

r e

e    

Numericamente ha il valore

 

^J

r r

U_e Q ^{9 6 2} _{2 2} ²

2 1 0 2

10 50 . 10 4

10 1 10

5 10 1 10 99 . 1 8 1 8







  



 





 

 







 



 

 

c) La ddp e` data da:

  _



 



 















 

2 1 0 2

1

2 0 2

1 1 2

1 1 4

1

4 r r

dr Q r dr Q

r E V

V

r

r r

r  

Che risulta negativa, com’e` giusto andando dal conduttore positivo a quello negativo.

Numericamente vale:

kV V

V 89.9

10 10

1 10

5 10 1 10 99 .

8 ^{9 6} _{2 2}

1

2 



 





 

 







 ^ _{ }

d) la capacita` e` data da:

pF r

r V V

C Q 11.1

10 10

1 10

5 10 1 99 . 8

1 1

1 4

2 2

9 2

1 0 1

2





 





 

 





 



 

 









L’energia elettrostatica si puo` anche esprimere come segue:



 



 





2 1 0 2

2 1 1

4 1 2 1 2

1

r Q r

C U_e Q



Espressione che risulta identica a quella precedentemente trovata.

Esercizio 2

Un filo cilindrico indefinito di raggio r

1

=4 mm e densita` lineare di carica =1 nC/cm si muove con velocita` uniforme v=10 m/s, rispetto allo sperimentatore, nella direzione del proprio asse.

Trascurando effetti relativistici, si trovi il campo elettrico generato all’esterno del filo e

a) lo si calcoli in un punto di coordinata r=8 mm.

Si trovi

b) la corrente generata dal moto del filo carico;

il campo magnetico all’esterno del filo, dovuto a tale corrente e c) se ne calcoli il valore in un punto di coordinata r=10 mm.

Si trovi la densita` di energia elettrica e di energia magnetica all’esterno del filo.

d) Si calcoli l’energia elettrica e l’energia magnetica accumulate in un anello cilindrico coassiale al filo, di raggio interno r

1

, raggio esterno r

2

=40 cm e lunghezza h=20 cm.

v

Soluzione dell’esercizio 2

a) il campo elettrico e` praticamente uguale a quello del caso statico:

 r r

E 1

2₀

 

Nel punto r=8 cm, il campo vale:

 r V m

E 2.25 10 /

10 8

10 10 99 . 8

2 ₅

3 7

9  







  _ ^

b) la corrente prodotta dal moto del filo e`:

A dt v

dx dt

i dq   

1 10 10 ⁷  







 ^

Il campo magnetico e`:

  r

r i

B 

 2

 0

c) nel punto r=10 mm, esso vale:

 r T

B ₂ ¹¹

6

7 2 10

10 10 10

2 _ ^

   





La densita` di energia elettrica fuori del filo e`:

2 1 0 2 2 2

0 0 2

0 1 ...

8 1 2 2 1 2

1 r r

r E r

u_e   

 



 

  





 



La densita` di energia magnetica fuori del filo e`:

2 1 2

2 0 2 0 0 2 0

...

1 2 8

2 1 2

1 r r

r i r

B i

u_m   



 



 

 











d) l’energia elettrica accumulata nel volume e`:

1 2 0 2 2

0 1 2 2

1

2 0 2

2

4 log 1

2 4 1

8 r

r dr h

r rhdr h

dV r u U

r

r r

r e

e 





 





  





  

E l’energia magnetica:

1 2 2

0 2

1 2 0 2

1

2 2

2

0 log

4 1

2 4 1

8 r

r h dr i

r h rhdr i

r dV i

u U

r

r r

r m

m 





 



  





  

I cui valori numerici sono rispettivamente:

 

^J

U_e  10^{7 2}0.28.9910⁹ log1008.2810^5

 

^J

U_m 10^7 10^{6 2} 0.2log1009.2210^20

Il rapporto teorico tra queste due energie e`:

15 2

8 2

2 0 2 0

2 0

0 1.11 10

10 3

10    



 





 



 







 c

v v i

U U

e

m  







In ottimo accordo col rapporto dei valori numerici che abbiamo ottenuto.

Esercizio 3

E` dato un toro a sezione rettangolare di N=1000 spire, raggio interno r

1

=5 cm, raggio esterno r

2

=10 cm e altezza h=4 cm. Concatenata con il toro c’e` una spira piana con giacitura =cost.

Trovare l’induttanza mutua tra i due circuiti e a) calcolarla in base ai dati.

Se la corrente nella spira varia sinusoidalmente secondo la legge i=i

0

sin(t) (i

0

=2 A, =20 rad/s), trovare la fem indotta nel toro e calcolare

b) la sua ampiezza.

Se la corrente nella spira e` stazionaria e la posizione radiale relativa tra toro e spira varia secondo una legge armonica (pur mantenendo i due circuiti concatenati): r=r

0

sin(t), trovare

c) la fem indotta nel toro. Giustificare la risposta.

1 2

Soluzione dell’esercizio 3

a) L’induttanza mutua M si calcola a partire dal flusso del campo magnetico di un circuito su di una superficie che appoggia sull’altro circuito. Nel nostro caso la scelta piu` conveniente e` prendere il toro come circuito che fornisce il campo e la spira come appoggio della superficie S2 su cui calcolare il flusso:

1 2

2 1

21 B dA Mi

S











^{ }

La scelta piu` conveniente di questa superficie e` una superficie piana. Poiche’ il campo e` diverso da zero solo nell’intersezione tra questa superficie e il toro, il dominio di integrazione si riduce a tale intersezione, cioe` al rettangolo S1 ombreggiato in figura:



^





1

2 1 21

S

A d B 

Il campo magnetico dovuto al toro si puo` trovare con la legge di Ampere e vale:

  r

N i r

B₁ ^{0 1}

2

 

Inseriamo questo risultato nell’espressione del flusso, e esprimiamo l’elemento di area ^dAhdr; otteniamo:

1 2 1

0 2

1

1 0

21 log

2

2 r

h r Ni r hdr

Ni

r

r 





 







Da cui segue l’espressione dell’induttanza mutua:

1 2

0 log

2 r

Nh r

M 

 

Sostituendo i dati, otteniamo il suo valore numerico:

H M 210^71000410^2log25.5510^6

b) La fem indotta nel toro si puo` scivere:

dt femd¹²

Ove il flusso ora e` dovuto al campo generato dalla spira attraverso una superficie che poggia su tutte le spire del toro. Sviluppando i calcoli:

t dt Mi

M di

fem ²  ₀cos

L’ampiezza della fem e` quindi:

V Mi

E₀  ₀ 5.5510^6220 6.9710^4

c) il flusso del campo dovuto alla spira attraverso il toro e`

 

2 2

12 i

dt dM dt

Mi d dt

fem d  





Ove l’ultima eguaglianza segue dal fatto che la corrente nella spira e` stazionaria.

Quindi avremo fem se e solo se M varia nel tempo. Ma M rimane costante, in quanto il flusso del campo del toro (supposto ipoteticamente percorso da corrente costante) attraverso la superficie che poggia sulla spira non cambia con la

posizione relativa dei due circuiti. Ne segue che fem=0.