Soluzioni della prova scritta 4a B

(1)

LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO “G.Pascoli” di Bolzano

PROVA SCRITTA DI MATEMATICA-ALUNNI CON GIUDIZIO SOSPESO CLASSE 4a B

02/09/2009- Tempo 2h

Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua esclusione dalla valutazione.

1. Risolvi in R le seguenti disequazioni:

1.a)

(

^x⁻²

)

²⁻

(

^x⁺²

)

²^{≤ −}⁸

1.b) −2x²+3x− ≤ 1 0

1.c) ₂ ¹ 0

5 6

x

x x

− + >

− +

1.d) x+ − − > 1 x 1 0

1.e) −2x− ≤ 1 x 1.f) log_{1/ 2}x≤ − 1 1.g) 2⁻^x <4⁻^x²

2. Del triangolo rettangolo ABC con l’angolo in A retto conosci i seguenti dati:

sinACBˆ =3 / 5 e AC=20cm. Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Determina la lunghezza dei segmenti AH e BH e l’area del triangolo ABC.

(2)

Soluzioni della prova scritta 4a B

1.a) x²−4x+ −4 x²−4x− ≤ − 4 8 −8x≤ − 8

x≥ 1 1.b) ₁ 1

x =2 x₂= 1

La parabola volge la concavità verso il basso e interseca l’asse delle ascisse nei punti ½ e 1.

Pertanto la soluzione è 1

x≤ 2 oppure x≥ . 1

1.c) Il numeratore della frazione è positivo per x< mentre il denominatore è positivo per 1 x< 2 oppure per x> . In definitiva la frazione è positiva per 3 x< oppure per 21 < < . x 3

1.d) L’argomento del primo valore assoluto è positivo per x>-1 mentre l’argomento del secondo valore assoluto è positivo per x>1; per x<-1 entrambi gli argomenti sono negativi e, quindi, la disequazione è equivalente al sistema 1

1 1 0

x

x x

 < −



− − + − >



, che è impossibile essendo tale la seconda disequazione; per 1− ≤ ≤ è non negativo il primo argomento e non positivo il x 1 secondo e quindi la disequazione è equivalente al sistema 1 1

1 1 0

x

x x

− ≤ ≤



 + + − >





la cui soluzione è

0< ≤ ; infine per x>1 la disequazione è equivalente al sistema x 1 1

1 1 0

x

x x

 >



 + − + >



la cui soluzione è, ovviamente, x>1. In definitiva la soluzione della disequazione è x>0.

1.e) La disequazione è equivalente al sistema

2

2 1 0

0

2 1

x x

− − ≥

 ≥



− − ≤



Notiamo che la soluzione della prima disequazione è 1

x≤ − 2 mentre della seconda è x≥ ; 0 pertanto le prime due disequazioni non hanno soluzioni in comune e quindi il sistema è impossibile.

1.f) La condizione di accettabilità x> è chiaramente soddisfatta da 0 x≥ , che è anche la solu- 2 zione della disequazione.

1.g) La disequazione è equivalente alla disequazione 2⁻^x<2⁻²^x²e quindi deve essere 2x²− < , x 0 che ha per soluzione 0< <x 12.

Problema.

Per la relazione fondamentale della goniometria si ha:

ˆ 2 ˆ 9 16 4

cosACB= 1 sin− ACB= 1− 25= 25= 5.

Inoltre sin ˆ 20 3 12

AH =AC⋅ ACB= ⋅5cm= cm e cos ˆ 20 4 16 . HC=AC⋅ ACB= ⋅5cm= cm Per il secondo teorema di Euclide

2 144

16 9

BH AH cm cm

= HC = = e quindi BC=25cm.

L’area del triangolo ABC è 25 12 ² ²

2 2 150

BC AH

cm cm

⋅ ⋅

= = .

(3)

LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO “G.Pascoli” di Bolzano

PROVA SCRITTA DI MATEMATICA-ALUNNI CON GIUDIZIO SOSPESO CLASSE 2a B

02/09/2009- Tempo 2h

Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua esclusione dalla valutazione.

1.

Per fare un trasloco due ditte A e B chiedono le seguenti forme di compenso:

ditta A: 5 euro al chilometro più 150 euro di spese fisse;

ditta B: 7 euro e 50 centesimi al chilometro.

In quali casi conviene far fare il trasloco alla ditta A, in quali alla ditta B, e quando è indifferente scegliere l’una o l’altra ditta.

2.

Risolvi la seguente disequazione:

(

^x−²

)

²−

(

^x+²

)

²≤ − ⁸

3.

Scomponi nel maggior numero di fattori i seguenti polinomi ed effettua la prova:

3.a) 4x³−20x²−4x+20 3.b) 36x²−12x+ 1 3.c) 49x²−81 3.d) x²+3x−28

4.

Risolvi la seguente equazione dopo aver determinato le condizioni di esistenza:

2

1 1 4

1 1 1

x x

x x x

− + −

− =

+ − −

5.

Considera la mediana CM di un triangolo ABC; sulla retta contenente tale mediana considera un punto D tale che CM = MD.

Dimostra che BC e AD sono congruenti e paralleli.

6.

Sia data la retta r di equazione 2x-5y=10:

6.a) rappresentala in un sistema di assi cartesiani ortogonali;

6.b) trova, se esiste, la sua intersezione con la retta s di equazione: 2x+5y=2 e chiama l’eventuale intersezione C;

6.c) calcola l’area del triangolo OAC dove O è l’origine e A è l’intersezione della retta r con l’asse delle ascisse;

6.d) stabilisci se le rette r ed s sono perpendicolari.

(4)

Soluzioni della prova della 2a B

1. Indichiamo con x il numero dei chilometri per effettuare il trasloco; con questa posizione la for- ma di compenso ( in euro) della ditta A è 150+ 5x mentre quella della ditta B è 7,50x; allora è più conveniente far fare il trasloco alla ditta A se 150+5x<7, 5x e cioè se 150

x>2,5km cioè se il numero dei chilometri è superiore a 60; a questo punto è banale rilevare che è più conveniente la ditta B se il numero dei chilometri è inferiore a 60 mentre la scelta è indifferente se il numero dei chilometri è esattamente 60.

2. x²−4x+ −4 x²−4x− ≤ − 4 8 8− x≤ − 8

x≥ 1 3.

3.a) ⁴^x³⁻²⁰^x²⁻⁴^x⁺²⁰^{= ⋅}⁴

(

^x³⁻⁵^x²^{− +}^x ⁵

)

^{= ⋅ ⋅}⁴ __^^{x x}

(

²^{− − ⋅}¹

)

⁵

(

^x²⁻¹

)

^__⁼⁴^⋅

(

^x²^{− ⋅}¹

) ⁽

^x⁻⁵

⁾

⁼

⁴⋅

(

^x+ ⋅¹

) (

^x− ⋅¹

) (

^x−⁵

)

. 3.b) ³⁶^x²−¹²^x+ =¹

(

⁶^x−¹

)

²

3.c) ⁴⁹^x²−⁸¹=

(

⁷^x− ⋅⁹

) (

⁷^x+⁹

)

. 3.d) ^x²+³^x−²⁸=

(

^x+⁷

) (

⋅ ^x−⁴

)

. 4.

Le condizioni di esistenza sono x≠ e 1 x≠ − ; l’equazione, con i denominatori scomposti, 1 diventa:

( ) ( )

1 1 4

1 1 1 1

x x

x x x x

− + −

− =

+ − + ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 1 2 1 4

1 1 1 1

x x x x

− + − − − −

− ⋅ + = − ⋅ +

4x 4

− = − e quindi x= , che non può essere accettato in quanto escluso dalle condizioni di 1 esistenza. Pertanto l’equazione è impossibile.

5. Le ipotesi del problema sono: AM≅MB e CM ≅MD; i triangoli CMB e AMD sono

congruenti per il primo criterio di congruenza ( gli angoli CMBˆ e AMDˆ sono opposti al vertice); in particolare CB≅AD, che è la prima parte della tesi; inoltre si ricava sempre dalla congruenza dei due triangoli che MCBˆ ≅MDAˆ , che sono angoli alterni interni delle rette BC e AD, tagliate dalla trasversale CD. Pertanto per un criterio di parallelismo BCAD,che è la seconda parte della tesi.

6.

6.a) per la rappresentazione basta porre x=0 e si ricava y=-2 e poi y=0 da cui x=5; pertanto la retta r passa per i punti A(5;0) e B(0;-2);

6.b) per trovare l’intersezione con la retta s basta risolvere il sistema 2 5 10

2 5 2

x y x y

 − =



 + =



che ha come soluzione C(3;-4/5).

6.c) l’area del triangolo è

5 45 4 2.

2 2

⋅ = =

6.d) la retta r ha il coefficiente angolare uguale a 2/5 mentre quello della retta s è -2/5, che è l’oppo- sto ma non l’antireciproco di quello della retta r; pertanto le due rette non sono perpendicolari.

(5)