Relazioni e combinazioni 07/10
Riassunto
Quando una matrice A viene ridotta per righe, eventua- li relazioni tra le colonne rimangono invariate. Quindi le colonne di qualsiasi matrice equivalente per righe a
1 0 −1 −2
0 1 2 3
!
soddisfano c3 = −c1 +2c2 e c4 = −2c1 +3c2.
Le righe di una matrice A ∈ Rm,n possono essere pensate come vettori in Rn. Le colonne sono invece vettori in Rm (meglio però se scritte sempre in forma verticale).
L’esistenza di una relazione del tipo v1 −2v2 +v3 = 0 im- plica che i vettori v1,v2,v3 ∈ Rn non sono linearmente indipendenti. Scrivendo i tre vettori come le righe di una matrice A ∈ R3,n, possiamo dire che r (A) à 2. Con lo stes- so argomento, è impossible trovare in Rn più di n vettori che sono L I.
L’insieme L (v1, . . . ,vk) di tutte le combinazioni lineari di v1, . . . ,vk ∈ Rn è sempre un sottospazio di Rn, cioè un sottoinsieme chiuso rispetto alla somma (di due vettori) e il prodotto (tra numero e vettore).
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Altri appunti della lezione
Possiamo associare ad una matrice
A =
−2 −1 0 1
2 3 4 5
6 7 8 9
∈ R3,4 le sue righe
r1 = (−2, −1, 0, 1) r2 = (2, 3, 4, 5) r3 = (6, 7, 8, 9)
∈ R4.
e le sue colonne
c1=
−2 2 6
, c
2=
−1 3 7
, c
3=
0 4 8
, c
4=
1 5 9
∈ R3. Forse più logico scrivere c1 = (−2, 2, 6), ma teniamo la for- ma verticale quando possibile.
Gli insiemi Rm,n, Rn, Rm sono tutti esempi di spazi vetto- riali. . .
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Vettori v1,v2, . . . ,vk ∈ Rn sono linearmente dipendenti se esiste una relazione del tipo
λ1v1 + · · · λ
kvk = 0,
con i coefficienti λi ∈ R non tutti zeri. Altrimenti, i vettori sono linearmente indipendenti (L I).
Quindi gli stessi vettori sono L I se e solo se λ1v1 + · · · + λ
kvk = 0 =⇒ λ
1 = · · · = λ
k = 0.
‘L I’ vuol dire che l’unico modo di avere la somma zero è quello più ovvio: prendere tutti i coefficienti zero.
Una somma con coefficienti del tipo λ1v1 + · · · + λ
kvk
si chiama combinazione lineare (CL). L’insieme delle tutte queste combinazioni lineari si indica
L{v
1, . . . ,v
k} o L(v
1, . . . ,v
k);
si chiama anche lo span di v1. . . ,vk.
Esempio: Dati v1,v2 ∈ R3, l’insieme L (v1,v2) contiene 0v1 +0v2 = 0 (il vettore nullo),
1v1 +0v2 = v1, 0v1 +1v2 = v2,
4v1 + (−5)v2 = 4v1−5v2, ecc.
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Rn è esempio di spazio vettoriale in quanto, dati v, w ∈ Rn e λ ∈ R , sono definiti:
• la somma v + w, sempre in Rn
• il prodotto λv, sempre in Rn
Definizione Un sottospazio di Rn è un sottoinsieme V chui- so relativo a queste due operazioni, cioè
• v, w ∈ V =⇒ v + w ∈ V
• λ ∈ V , v ∈ V =⇒ λv ∈ V
Segue che V è anche chiuso rispetto alle CL:
v1, . . . ,v
k ∈ V =⇒ λ
1v1 + · · · + λ
kv
k ∈ V .
In particolare, 0 ∈ V ; infatti, qualsiasi sottospazio contiene il vettore nullo 0 .
È facile dimostrare il
Lemma L (v1, . . . ,vk) è sempre un sottospazio di Rn.
Vedremo che, in realtà, ogni sottospazio di Rn è di questo tipo, per una scelta opportuna di k (volendo con 1 à k à n ) e di v1, . . . ,vk.
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