Equazioni e disequazioni goniometriche

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Equazioni e disequazioni goniometriche

esercizi svolti e ordinati per competenze

Massimiliano Virdis

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Indice

1 Introduzione 1

1.1 Licenza e Copyright . . . 1 1.2 Ringraziamenti . . . 1

2 Funzioni goniometriche 3

2.1 Grafici . . . 4 2.2 Angoli notevoli ed associati . . . 5 2.3 Altre formule . . . 6

3 Forme elementari 7

3.1 Equazioni elementari . . . 7 3.2 Disequazioni elementari . . . 11

4 Forme riconducibili ad elementari 15

4.1 Equazioni elementari con sostituzione . . . 15 4.2 Disequazioni elementari con sostituzione . . . 19

5 Equazioni per confronto 21

6 Forme riconducibili ad algebriche 25

6.1 Equazioni . . . 25 6.2 Disequazioni . . . 26

7 Forme risolubili con formule goniometriche 29

8 Equazioni lineari 31

8.1 Equazione lineare omogenea . . . 31 8.2 Equazione lineare completa con le formule parametriche . . . 32 8.3 Equazione lineare completa col metodo grafico . . . 34

9 Disequazioni lineari 37

9.1 Disequazione lineare con le formule parametriche . . . 37 9.2 Disequazione lineare col metodo grafico . . . 40

10 Equazioni omogenee di secondo grado 43

11 Disequazioni omogenee di secondo grado 47

12 Equazioni scomposte in fattori 49

iii

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iv INDICE

13 Equazioni fratte 51

14 Disequazioni scomposte in fattori o fratte 53

14.1 Primo Caso . . . 54 14.2 Secondo Caso . . . 56

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1 Introduzione

Caro lettore,

questi appunti sono relativi alle equazioni e disequazioni logaritmiche, quali si studiano at- tualmente al liceo scientifico; sono pensati come sintesi per un ripasso, soprattutto per gli alunni più in difficoltà. Se qualche passaggio appare svolto in maniera troppo estesa e particolareggiata si porti pazienza: i più bravi e capaci capiranno lo stesso, ma non lasceremo indietro i meno bravi.

Questi appunti sono un supporto e complemento ai normali testi scolastici.

Spero che quanto riportato in quest’opera sia se non di aiuto almeno non dannoso.

Per migliorare quanto scritto e evidenziare qualsiasi errore non esitate a scrivermi.

email: [email protected]

1.1 Licenza e Copyright

Questo file e documento viene concesso con licenza Creative Commons.

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• Devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera.

• Non puoi usare quest’opera per fini commerciali.

• Non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

c b n d

δωρεὰν ἐλάβετε, δωρεὰν δότε^{(Mt. 7.8)} 1.2 Ringraziamenti

Si ringraziano coloro che hanno avuto la pazienza di leggere queste pagine e di segnalare errori di vario tipo. In particolare:

Niccolò Balia, Benedetta Olla.

1

(6)

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

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2 Funzioni goniometriche

Abbiamo una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine degli assi cartesiani. Pren- diamo gli angoli al centro della circonferenza orientati che hanno come primo lato il semiasse positivo delle𝑥e come secondo lato il raggio vettore indicato in figura. Questo raggio vettore intercetta la circonferenza nel punto^𝑃.

𝑥 𝑦

𝑂 𝐻

𝑃

𝐵

𝐴 𝑇

𝛼

• Chiamiamosenodell’angolo l’ordinata del punto^𝑃.

• Chiamiamocosenodell’angolo l’ascissa del punto𝑃.

• Chiamiamotangentedell’angolo il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto^𝑃. sin𝛼 = 𝑃𝐵 ; cos𝛼 = 𝑃𝐴 ; tan𝛼 = 𝑃𝐵

𝑃𝐴 (2.1)

La tangente dell’angolo è anche l’ascissa del punto di intersezione^𝑇tra il raggio vettore dell’angolo e la tangente alla circonferenza nel punto𝐻di coordinate(1; 0).

tan^{𝛼 = 𝑇𝐻} (2.2)

3

(8)

4 CAPITOLO 2. FUNZIONI GONIOMETRICHE Per ogni angolo possiamo trovare un punto𝑃e quindi sempre un’ascissa e un’ordinata.

Non possiamo trovare sempre il rapporto perché non avrebbe significato quando il denominatore e quindi l’ascissa fosse uguale zero. Di conseguenza possiamo calcolare il seno e il coseno di qualsiasi angolo; invece non possiamo calcolare la tangente di ^𝜋

2 e di ^3𝜋 2 .

• Il dominio della funzione𝑦 =sin𝛼 è ∀𝑥 ∈ ℜ

• Il dominio della funzione^{𝑦 =}cos^𝛼 è ^{∀𝑥 ∈ ℜ}

• Il dominio della funzione^{𝑦 =}tan^𝛼 è ∀𝑥 ∈ ℜ − {(2𝑘 + 1)𝜋 2}

Il valore dell’ascissa e dell’ordinata del punto𝑃, essendo confinato sulla circonferenza, è sempre compreso tra1e−1.

• Il codominio della funzione^{𝑦 =}sin^𝛼 è ^{[−1 ∶ 1]}

• Il codominio della funzione𝑦 =cos𝛼 è [−1 ∶ 1]

• Il codominio della funzione^{𝑦 =}tan^𝛼 è ^{∀𝑥 ∈ ℜ} 2.1 Grafici

𝜋 2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋 3𝜋

1

−1

𝑥 𝑦

𝑦 =sin^𝑥

𝜋 2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋 3𝜋

1

−1

𝑥 𝑦

𝑦 =cos𝑥

𝜋 2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋

−20 20

𝑥 𝑦

𝑦 =tan𝑥

(9)

2.2. ANGOLI NOTEVOLI ED ASSOCIATI 5 2.2 Angoli notevoli ed associati

30^° 45^° 60

°

300

°

315°

330_° 120

135 °

150_° °

210

°

225

°

240

°

0^° 90^°

180^°

270^°

𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3

3 5𝜋 7𝜋 4

11𝜋 6

0 𝜋

2

𝜋

3𝜋 2 3 2𝜋

3𝜋 5𝜋4 6

7𝜋6 5𝜋4

4𝜋 3

(√3 2

;1 2)

√33

√(2 2

√;2 2

) 1 1(

;2

√3 2 )

√3

( 1 2 ;− √

2 )3

−√ 3 ( √

2 2;− √ 2 2)

−1 ( √3

2 ;− 1 2)

− √33 (0;0) 0 (0;1) ± ∞

0 (−1;0)

(0; −1) ± ∞

−√ 3

(− 1 2 ; √

2 3 )

−1 (− √

2 2; √ 2 )2

− √33 (− √3

2 ; 1 2 )

√3 3

(−√3 2;−1

2)

1 (−

√2 2

;−

√2 2

)

√3 (1−

;−2

√3 2 )

cos(𝛼) sin(𝛼) tan(𝛼)

sin(−𝛼) = −sin(𝛼) sin(2𝜋 − 𝛼) = −sin(𝛼) cos(−𝛼) =cos(𝛼) cos(2𝜋 − 𝛼) =cos(𝛼) sin^{(𝜋 − 𝛼) =}sin^(𝛼) sin(𝜋 + 𝛼) = −sin^(𝛼) cos(𝜋 − 𝛼) = −cos(𝛼) cos(𝜋 + 𝛼) = −cos(𝛼) sin(𝜋

2 − 𝛼) =cos(𝛼) sin(𝜋

2 + 𝛼) =cos(𝛼) cos(𝜋

2 − 𝛼) =sin(𝛼) cos(𝜋

2 + 𝛼) = −sin(𝛼) sin(3𝜋

2 − 𝛼) = −cos(𝛼) sin(3𝜋

2 + 𝛼) = −cos(𝛼) cos(3𝜋

2 − 𝛼) = −sin(𝛼) cos(3𝜋

2 + 𝛼) =sin(𝛼) Regola mnemonica

• Se l’argomento di partenza contiene un multiplo di𝜋allora la funzione non cambia nome

• Se l’argomento di partenza contiene un multiplo dispari di^𝜋

2 allora la funzione cambia nome

• Il segno finale è determinato dal segno della funzione a primo membro nel suo quadrante

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6 CAPITOLO 2. FUNZIONI GONIOMETRICHE 2.3 Altre formule

Formule di trasformazione

sin(𝛼) = ±√1 −cos²^(𝛼) cos(𝛼) = ±√1 −sin²^(𝛼) tan^{(𝛼) =} sin(𝛼)

cos(𝛼) = ± sin(𝛼)

√1 −sin²^(𝛼)

= ±√1 −cos²^(𝛼) cos(𝛼) sin^{(𝛼) = ±} ^|tan^(𝛼)|

√1 +tan²^(𝛼)

cos^{(𝛼) = ±} ¹

√1 +tan²^(𝛼) addizione e sottrazione

sin(𝛼 ± 𝛽) =sin(𝛼)cos(𝛽) ±cos(𝛼)sin(𝛽) cos(𝛼 ± 𝛽) =cos(𝛼)cos(𝛽) ∓sin(𝛼)sin(𝛽) tan^{(𝛼 ± 𝛽) =} tan(𝛼) ±tan(𝛽)

1 ∓tan^(𝛼)tan^(𝛽) duplicazione

sin(2𝛼) = 2sin(𝛼)cos(𝛼) cos(2𝛼) =cos²(𝛼) −sin²(𝛼) cos(2𝛼) = 1 − 2sin²(𝛼) tan(2𝛼) = 2tan^(𝛼)

1 −tan²(𝛼) cos(2𝛼) = 2cos²(𝛼) − 1 bisezione

sin(𝛼

2) = ±√1 −cos^(𝛼)

2 cos(𝛼

2) = ±√1 +cos^(𝛼) 2 tan(𝛼

2) = ±

√

1 −cos(𝛼) 1 +cos^(𝛼) ⁼

sin(𝛼) 1 +cos^(𝛼) ⁼

1 −cos(𝛼) sin^(𝛼) prostaferesi

sin^{(𝛼) +}sin^{(𝛽) = 2}sin⁽^{𝛼 + 𝛽}

2 )cos⁽^{𝛼 − 𝛽} 2 ) sin^{(𝛼) −}sin^{(𝛽) = 2}cos⁽^{𝛼 + 𝛽}

2 )sin⁽^{𝛼 − 𝛽} 2 ) cos(𝛼) +cos(𝛽) = 2cos(𝛼 + 𝛽

2 )cos(𝛼 − 𝛽 2 ) cos(𝛼) −cos(𝛽) = −2sin(𝛼 + 𝛽

2 )sin(𝛼 − 𝛽 2 )

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3 Forme elementari

3.1 Equazioni elementari

Le equazioni goniometriche elementari hanno tutte la forma di una funzione goniometrica eguagliata ad un numero.

sin^{(𝑥) = 𝑚} ^; cos^{(𝑥) = 𝑚} ^; tan^{(𝑥) = 𝑚} (3.1) Qui di seguito viene illustrata la soluzione generale per le tre funzioni goniometriche fondamentali. Per le sole equazioni non è strettamente necessario fare un disegno per trovare la soluzione:

negli esempi seguenti ne farò comunque uno, perché mi sembra una pratica che può aiutare a ricordare meglio la soluzione generale o a capire l’eventuale caso particolare che si ha dinnanzi.

7

(12)

8 CAPITOLO 3. FORME ELEMENTARI seno

sin𝑥 = 𝑚 (3.2)

𝑥₁= 𝛼 + 2𝑘π ; 𝑥₂= (π − 𝛼) + 2𝑘π

con 𝛼 =arcsin(𝑚) ; 𝑘 ∈ ℤ (3.3)

Esistono soluzioni solo se−1 ≤ 𝑚 ≤ 1, altrimenti è impossibile.

Esercizio 1 Risolvi l’equazione sin𝑥 = −√2 2

Troviamo la soluzione fondamentale a mente o con la calcolatrice:

𝑥₁=arcsin⁽⁻^√2

2 ) = −π

4 (3.4)

In generale esistono due angoli supplementari che hanno lo stesso seno: abbiamo quindi una seconda soluzione:

𝑥₂ = π − (−π 4) = 5π

4 (3.5)

Queste sono le due soluzioni base: le rappresentiamo.

𝑥 𝑦

−π 4 5π

4

𝑦 = −√2 2

I due angoli trovati sono sempre individuati sulla circonferenza goniometrica dall’intersezio- ne con una linea orizzontale, di equazione^{𝑦 = 𝑘}, posta sulla ordinata del numero che compare nell’equazione, cioè−^√2

2 .

A queste due soluzioni fondamentali possiamo aggiungere o togliere un numero intero qualsiasi di angoli giri: l’angolo ottenuto ha ancora lo stesso seno. Il seno infatti è una funzione periodica di periodo^2π.

Infine la soluzione generale è:

𝑥₁= −π

4 + 2𝑘π ; 𝑥₂= 5π

4 + 2𝑘π (3.6)

(13)

3.1. EQUAZIONI ELEMENTARI 9 coseno

cos𝑥 = 𝑚 (3.7)

𝑥_1,2= ± 𝛼 + 2𝑘π

con 𝛼 =arccos(𝑚) ; 𝑘 ∈ ℤ (3.8)

Esistono soluzioni solo se−1 ≤ 𝑚 ≤ 1, altrimenti è impossibile.

Esercizio 2 Risolvi l’equazione cos𝑥 = 1 2

𝑥₁=arccos(1 2) = π

3 (3.9)

In generale esistono due angoli opposti che hanno lo stesso coseno: abbiamo quindi una seconda soluzione.

𝑥₂= −π

3 (3.10)

Queste sono le due soluzioni base: le rappresentiamo.

𝑥 𝑦

−π 3 π 3

𝑥 =1 2

I due angoli trovati sono sempre individuati sulla circonferenza goniometrica dall’interse- zione con una linea verticale, di equazione ^{𝑥 = 𝑘}, posta sulla ascissa del numero che compare nell’equazione, cioè¹₂.

A queste due soluzioni fondamentali possiamo aggiungere o togliere un numero intero qualsiasi di angoli giri: l’angolo ottenuto ha ancora lo stesso coseno. Il coseno infatti è una funzione periodica di periodo2π.

𝑥 = ±π

3 + 2𝑘π (3.11)

(14)

10 CAPITOLO 3. FORME ELEMENTARI tangente

tan^{𝑥 = 𝑚} (3.12)

𝑥 = 𝛼 + 𝑘π

con 𝛼 =arctan(𝑚) ; 𝑘 ∈ ℤ (3.13)

Esistono soluzioni per qualsiasi valore di^𝑚.

Esercizio 3 Risolvi l’equazione tan𝑥 = √3

𝑥 =arctan^{(√3) =} ^π

3 (3.14)

In un periodo^2π, ovvero sulla circonferenza goniometrica, ci sono in generale due soluzioni:

la prima è quella ottenuta mentre la seconda (a causa del periodo^πdella funzione tangente) si trova un angolo^πpiù avanti. Queste sono le due soluzioni base: le rappresentiamo.

𝑥

𝑦 π

3

4π 3

I secondi lati dei due angoli stanno sempre sullo stesso diametro della circonferenza goniometrica.

𝑥 = π

3 + 𝑘π (3.15)

(15)

3.2. DISEQUAZIONI ELEMENTARI 11 3.2 Disequazioni elementari

Le disequazioni goniometriche elementari hanno tutte la forma di una funzione goniometrica maggiore o minore rispetto ad un numero. Qui di seguito viene illustrato un esempio di soluzione per le tre funzioni goniometriche fondamentali.

La soluzione passa attraverso la soluzione dell’equazione associata. Un volta trovate le soluzio- ni fondamentali di questa dobbiamo, obbligatoriamente, riportare le soluzioni in una circonferenza goniometrica. A seconda del verso della disequazione possiamo disegnare l’arco di circonferenza corrispondente alla soluzione fondamentale nell’intervallo^{[0; 2π)}. Scriviamo infine la soluzione analitica con l’opportuna periodicità.

Disequazioni con seno Esercizio 4 Risolvi l’equazione sin^{𝑥 ≥} ^√2

2

𝑥₁=arcsin(√2 2 ) = π

4 (3.16)

E la seconda soluzione:

𝑥₂= π − (π 4) = 3π

4 (3.17)

Queste sono le due soluzioni base. Le rappresentiamo con una linea continua terminante con un pallino pieno dato che nella disequazione è presente anche l’uguale.

𝑥 𝑦

π 4 3π

4

La domanda implicita nella disequazione è: quali sono gli archi per cui il seno dell’angolo è mag- giore di un certo numero? La risposta sta nell’arco posto più in alto dei due angoli trovati, ovvero quell’arco segnato in rosso nella figura.

Per indicare quell’arco possiamo andare senza soluzione di continuità dal primo angolo al secondo.

La soluzione relativa alla circonferenza goniometrica è:

π

4 ≤ 𝑥 ≤ 3π

4 (3.18)

Se consideriamo anche la periodicità della funzione seno possiamo scrivere:

2𝑘π +π

4 ≤ 𝑥 ≤ 3π

4 + 2𝑘π (3.19)

(16)

12 CAPITOLO 3. FORME ELEMENTARI Disequazioni con coseno

Esercizio 5 Risolvi l’equazione cos^{𝑥 <} ² 3

Troviamo le soluzioni fondamentali dell’equazione associata a mente o con la calcolatrice:

𝑥 = ±arccos(2

3) ≃ ±48,2° (3.20)

Il coseno dato non è associato ad un angolo notevole. Possiamo trovare l’angolo corrispondente con la calcolatrice, ma si può tranquillamente lasciare indicato nella soluzione l’arcocoseno.

Queste sono le due soluzioni base. Le rappresentiamo con una linea continua terminante con un pallino vuoto dato che nella disequazione non è presente anche l’uguale.

𝑥 𝑦

48°

−48°

La domanda implicita nella disequazione è: quali sono gli archi per cui il coseno dell’angolo è minore di un certo numero? La risposta sta nell’arco posto più a sinistra dei due angoli trovati, ovvero quell’arco segnato in rosso nella figura.

Per indicare quell’arco non possiamo andare senza soluzione di continuità dal primo angolo al secondo. Se partiamo da48°arriviamo a360° − 48° = 312°, cioè2π −arccos(2

3). Di conseguenza la soluzione relativa alla circonferenza goniometrica è:

arccos(2

3) < 𝑥 < 2π −arccos(2

3) (3.21)

Se consideriamo anche la periodicità della funzione coseno possiamo scrivere:

2𝑘π +arccos⁽²

3) < 𝑥 < 2π −arccos⁽²

3) + 2𝑘π (3.22)

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3.2. DISEQUAZIONI ELEMENTARI 13 Disequazioni con tangente

Esercizio 6 Risolvi l’equazione tan𝑥 ≤ 1

Troviamo la soluzione fondamentale dell’equazione associata a mente o con la calcolatrice:

𝑥 =arctan^{1 =} ^π

4 (3.23)

Ricordiamoci che la tangente ha periodoπe nella circonferenza goniometrica sono presenti due angoli, separati diπ, che hanno la stessa tangente. Le rappresentiamo con una linea continua terminante con un pallino vuoto dato che nella disequazione non è presente anche l’uguale; per le condizioni di esistenza anche^π/2e^3π/2non sono compresi nelle soluzioni.

𝑥 𝑦

π 4

5π 4

La domanda implicita nella disequazione è: quali sono gli archi per cui la tangente dell’angolo è minore di un certo numero? La risposta sta nell’arco che parte dall’angolo prima trovato⁽^π

4)e ar- riva fino a−^π

2 andando in senso orario; se avessimo avuto il maggiore ci saremo orientati in senso antiorario. Questo riguarda la semicirconferenza che sta sulla destra; lo stesso arco si presenta, traslato di^π, sulla semicirconferenza di sinistra. Questi sono i due archi segnati in rosso nella figura precedente. Ricordiamoci che la tangente di^±^π

2 non esiste, ragione per cui abbiamo indicato la fine dell’arco con un pallino vuoto.

Nello scrivere la soluzione finale consideriamo uno solo di quegli archi: quello di destra ad esempio.

−π

2 < 𝑥 ≤ π

4 (3.24)

Se consideriamo anche la periodicità della funzione tangente possiamo scrivere:

𝑘π −π

2 < 𝑥 ≤ π

4 + 𝑘π (3.25)

(18)

14 CAPITOLO 3. FORME ELEMENTARI

(19)

4 Forme riconducibili ad elementari

4.1 Equazioni elementari con sostituzione

Le equazioni goniometriche elementari con sostituzione hanno tutte la forma di una funzione goniometrica eguagliata ad un numero, come quelle elementari. Tuttavia l’argomento della funzione goniometrica è dato da un’altra funzione.

sin(𝑓(𝑥)) = 𝑚 ; cos(𝑓(𝑥)) = 𝑚 ; tan(𝑓(𝑥)) = 𝑚 (4.1) Si tratta quindi di sostituire quella funzione con una nuova variabile, risolvere l’equazione elementare ottenuta con quella variabile, e fare infine l’inversa (secondo la funzione sostituita) delle soluzioni ottenute.

Le equazioni di questo tipo presenti nei testi scolastici prevedono di solito che al posto di𝑓(𝑥) ci sia un semplice polinomio, magari di primo grado. Ma in generale l’espressione potrebbe con- sistere anche in espressioni logaritmiche ed esponenziali, rendendo necessario includere anche le condizioni di esistenza della funzione stessa. Inoltre, in linea di principio, non è neanche detto che si possa fare l’inversa.

Qui di seguito viene illustrata la soluzione generale per le tre funzioni goniometriche fondamentali.

15

(20)

16 CAPITOLO 4. FORME RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI seno

sin(𝑓(𝑥)) = 𝑚 (4.2)

𝑧 = 𝑓(𝑥) ; sin𝑧 = 𝑚 (4.3)

𝑧₁= 𝛼 + 2𝑘π ; 𝑧₂= (π − 𝛼) + 2𝑘π

con 𝛼 =arcsin(𝑚) ; 𝑘 ∈ ℕ (4.4)

𝑥₁= 𝑓⁻¹(𝑧₁) ; 𝑥₂= 𝑓⁻¹(𝑧₂) (4.5)

Esercizio 7 Risolvi l’equazione sin(3𝑥 − π) = √3 2 Facciamo subito la naturale sostituzione:

3𝑥 − π = 𝑧 (4.6)

L’equazione diventa:

sin^{𝑧 =} ^√3

2 (4.7)

Le soluzioni sono:

𝑧₁=arcsin(√3 2 ) = π

3 ; 𝑧₂ = π − (π 3) = 2π

3 (4.8)

𝑧₁= π

3 + 2𝑘π ; 𝑧₂= 2π

4 + 2𝑘π (4.9)

Adesso dobbiamo risostituire a^𝑧la sua espressione e mettere in evidenza^𝑥nell’equazione ottenuta.

3𝑥₁− π = π 3 + 2𝑘π 3𝑥₁= π

3 + 2𝑘π + π 𝑥₁=

π

3 + (2𝑘 + 1)π

3 = π

9 + (2𝑘 + 1)π 3

(4.10)

3𝑥₂− π = 2π 3 + 2𝑘π 3𝑥₂= 2π

3 + 2𝑘π + π 𝑥₂=

2π

3 + (2𝑘 + 1)π

3 = 2π

9 + (2𝑘 + 1)π 3

(4.11)

(21)

4.1. EQUAZIONI ELEMENTARI CON SOSTITUZIONE 17 coseno

cos𝑓(𝑥) = 𝑚 (4.12)

𝑧 = 𝑓(𝑥) ; cos𝑧 = 𝑚 (4.13)

𝑧_1,2= ± 𝛼 + 2𝑘π con ^{𝛼 =}arccos^(𝑚) ^; ^{𝑘 ∈ ℕ} (4.14) 𝑥₁= 𝑓⁻¹(𝑧₁) ; 𝑥₂= 𝑓⁻¹(𝑧₂) (4.15) Esercizio 8 Risolvi l’equazione cos(𝑥

3 + 4) = −1 2 Facciamo subito la naturale sostituzione:

𝑥

3 + 4 = 𝑧 (4.16)

cos^{𝑧 = −}¹

2 (4.17)

Le soluzione fondamentale è:

𝑧 =arccos(−1

2) = −2π

3 (4.18)

𝑧 = ±2π

3 + 2𝑘π (4.19)

Adesso dobbiamo risostituire a𝑧la sua espressione e mettere in evidenza𝑥nell’equazione ottenuta.

𝑥

3 + 4 = ±2π 3 + 2𝑘π 𝑥

3 = −4 ±2π 3 + 2𝑘π 𝑥 = 3 (−4 ±2π

3 + 2𝑘π) = −12 ± 2π + 6𝑘π

(4.20)

(22)

18 CAPITOLO 4. FORME RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI tangente

tan^{𝑓(𝑥) = 𝑚} (4.21)

𝑧 = 𝛼 + 𝑘π con ^{𝛼 =}arctan^(𝑚) ^; ^{𝑘 ∈ ℕ} (4.22)

𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑧) (4.23)

Esercizio 9 Risolvi l’equazione tan^{(√𝑥) =} ^√3 3

Le condizioni di esistenza della radice quadrata ci dicono che:

√𝑥 ⇒C.E. 𝑥 ≥ 0 (4.24)

ne dobbiamo tenere conto alla fine.

Facciamo subito la naturale sostituzione:

√𝑥 = 𝑧 (4.25)

tan^{𝑧 =} ^√3

3 (4.26)

Le soluzione fondamentale è:

𝑧 =arctan(√3 3 ) = π

6 (4.27)

𝑧 =π

6 + 𝑘π (4.28)

Adesso dobbiamo risostituire a^𝑧la sua espressione e mettere in evidenza^𝑥nell’equazione ottenuta.

√𝑥 = π 6 + 𝑘π 𝑥 = (π

6 + 𝑘π)

2

𝑥 = π²

36 + 2𝑘π²

6 + 𝑘²π²

(4.29)

La soluzione finale è

𝑥 = π² 36 + 𝑘π²

3 + 𝑘²π²∧ 𝑥 ≥ 0 (4.30)

(23)

4.2. DISEQUAZIONI ELEMENTARI CON SOSTITUZIONE 19 4.2 Disequazioni elementari con sostituzione

Le disequazioni goniometriche elementari con sostituzione si risolvono come le equazioni corrispondenti. Una volta risolta la disequazione con la variabile accessoria possiamo scrivere la corrispondente soluzione in𝑥o nella variabile principale.

Disequazioni con seno Esercizio 10 Risolvi la disequazione sin(π −𝑥

4) ≤ 1 2 Facciamo subito la naturale sostituzione:

𝑧 = π − 𝑥

4 (4.31)

La disequazione diventa:

sin^{𝑧 ≤} ¹

2 (4.32)

Risolviamo l’equazione associata. Le soluzioni fondamentali sono:

𝑧₁ =arcsin(1 2) = π

6 ; 𝑧₂= π − π 6 = 5π

6 (4.33)

Le rappresentiamo con una linea continua terminante con un pallino pieno dato che nella disequazione è presente anche l’uguale.

𝑥 𝑦

π 6 5π

6

La domanda implicita nella disequazione è: quali sono gli archi per cui il seno dell’angolo è minore di un certo numero? La risposta sta nell’arco posto più in basso dei due angoli trovati, ovvero quell’arco segnato in rosso nella figura.

Per indicare quell’arco abbiamo due possibilità:

1. Partiamo dall’angolo zero e spostiamoci in verso antiorario nel verso positivo degli angoli orientati fino ad arrivare a^2πradianti ovvero percorrendo tutta circonferenza. Abbiamo allora due intervalli come soluzione.

0 ≤ 𝑧 ≤ π

6 ∨ 5π

6 ≤ 𝑧 < 2π (4.34)

2. Oppure, in maniera forse più elegante perché scriviamo un solo intervallo, partiamo da^5π/6 radianti e spostiamoci in verso antiorario nel verso positivo degli angoli orientati fino ad arrivare al secondo angolo. Questo secondo angolo non è peròπ/6ma:

2π +π 6 = 13π

6 (4.35)

perché stiamo superando l’angolo giro. La soluzione può quindi essere scritta come:

5π

6 ≤ 𝑧 ≤ 13π

6 (4.36)

(24)

20 CAPITOLO 4. FORME RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI Se consideriamo anche la periodicità della funzione seno possiamo scrivere:

2𝑘π + 5π

6 ≤ 𝑧 ≤ 13π

6 + 2𝑘π (4.37)

Prenderemo questa come soluzione della disequazione in𝑧perché più compatta da scrivere.

Adesso dobbiamo risostituire a𝑧la sua espressione e mettere in evidenza𝑥nella disequazione ottenuta. Osserviamo che in questo caso dobbiamo prendere l’intersezione tra le due soluzioni che otterremo, perché la soluzione deve soddisfare la doppia relazione qui scritta.

2𝑘π +5π 6 ≤ 𝑧 2𝑘π +5π

6 ≤ π − 𝑥 4 𝑥

4 ≤ π − 5π 6 + 2𝑘π 𝑥 ≤ π

6 ⋅ 4 + 8𝑘π ; 𝑥 ≤ 2π 3 + 8𝑘π

(4.38)

𝑧 ≤ 13π 6 + 2𝑘π π − 𝑥

4 ≤ 13π 6 + 2𝑘π

−𝑥

4 ≤ +13π

6 − π + 2𝑘π 𝑥 ≥ 7π

6 ⋅ (−4) + 8𝑘π ; 𝑥 ≥ −14π 3 + 8𝑘π

(4.39)

In un’unica scrittura:

−14π

3 + 8𝑘π ≤ 𝑥 ≤ 2π

3 + 8𝑘π (4.40)

(25)

5 Equazioni per confronto

Questa tipologia di equazioni hanno la forma di una eguaglianza tra due funzioni goniometriche.

sin(𝛼) =sin(𝛽) ; cos(𝛼) =cos(𝛽) ; tan(𝛼) =tan(𝛽) (5.1) Osserviamo che quando nei passaggio finali ci si trova a dividere𝑘per un numero negativo è comunque più elegante lasciarlo sempre positivo (se possibile): infatti^𝑘assume valori sia positivi che negativi e il suo insieme non cambia se lo cambiamo di segno.

sin(𝛼) =sin(𝛽) (5.2)

Due angoli hanno lo stesso seno se sono uguali o supplementari.

𝛼 = 𝛽 ; 𝛼 + 𝛽 = π (5.3)

Per la periodicità della funzione seno le soluzioni generali sono:

𝛼 = 𝛽 + 2𝑘π ; 𝛼 + 𝛽 = π + 2𝑘π (5.4)

In generale^𝛼e^𝛽sono due funzioni in^𝑥e la soluzione prima indicata ci conduce ad un’altra equazione in^𝑥, anche se solitamente si usano solo polinomi di primo grado o poco più.

Esercizio 11 Risolvi l’equazione sin(𝑥 +π

2) =sin^{(2 − 3𝑥)} I due insiemi di soluzioni sono:

(𝑥 +π

2) = (2 − 3𝑥) + 2𝑘π 4𝑥 = 2 − π

2 + 2𝑘π 𝑥 = 1

2−π 8 + 𝑘π

2

(5.5)

(𝑥 +π

2) + (2 − 3𝑥) = π + 2𝑘π

−2𝑥 = −2 − π

2 + π + 2𝑘π

−2𝑥 = −2 + π 2 + 2𝑘π 𝑥 = 1 −π

4 + 𝑘π

(5.6)

21

(26)

22 CAPITOLO 5. EQUAZIONI PER CONFRONTO

cos(𝛼) =cos(𝛽) (5.7)

Due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali o opposti.

𝛼 = 𝛽 ; 𝛼 = −𝛽 (5.8)

Per la periodicità della funzione coseno le soluzioni generali sono:

𝛼 = ±𝛽 + 2𝑘π (5.9)

In generale𝛼e𝛽sono due funzioni in𝑥e la soluzione prima indicata ci conduce ad un’altra equazione in𝑥, anche se solitamente si usano solo polinomi di primo grado o poco più.

Esercizio 12 Risolvi l’equazione cos^{(π + 5𝑥) =}cos^{(3𝑥 − 4)} I due insiemi di soluzioni sono:

(π + 5𝑥) = (3𝑥 − 4) + 2𝑘π 2𝑥 = −π − 4 + 2𝑘π

𝑥 = −π

2 − 2 + 𝑘π

(5.10)

(π + 5𝑥) = −(3𝑥 − 4) + 2𝑘π π + 5𝑥 = −3𝑥 + 4 + 2𝑘π

8𝑥 = −π + 4 + 2𝑘π 𝑥 = −π

8 +1 2+ 𝑘π

4

(5.11)

(27)

23

tan(𝛼) =tan(𝛽) (5.12)

Due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali.

𝛼 = 𝛽 {𝛼; 𝛽} ≠ {π

2 + 𝑘π} (5.13)

Per la periodicità della funzione tangente le soluzioni generali sono:

𝛼 = 𝛽 + 2𝑘π (5.14)

In generale^𝛼e^𝛽sono due funzioni in^𝑥e la soluzione prima indicata ci conduce ad un’altra equazione in𝑥, anche se solitamente si usano solo polinomi di primo grado o poco più.

Esercizio 13 Risolvi l’equazione tan(𝑥 − 3) =tan(7 − 4𝑥) Scriviamo le condizioni di esistenza per le due tangenti.

𝑥 − 3 ≠π 2 + 𝑘π 𝑥 ≠3 + π

2 + 𝑘π (5.15)

7 − 4𝑥 ≠π 2 + 𝑘π

−4𝑥 ≠ − 7 +π 2 + 𝑘π 𝑥 ≠4

7 −π 8 + 𝑘π

4

(5.16)

La soluzione generale è:

(𝑥 − 3) = (7 − 4𝑥) + 𝑘π 5𝑥 = 10 + 𝑘π

𝑥 = 2 + 𝑘π 5

(5.17)

In conclusione possiamo scrivere:

𝑥 = 2 + 𝑘π

5 ∧ (𝑥 ≠ 4 7 −π

8 + 𝑘π

4) ∧ (𝑥 ≠ 3 +π

2 + 𝑘π) (5.18)

(28)

24 CAPITOLO 5. EQUAZIONI PER CONFRONTO Variazioni sul tema

Esistono delle varianti delle equazioni prima mostrate che ad esse si possono ricondurre con facili relazioni goniometriche. Queste equazioni possono avere la seguente forma.

sin(𝛼) = −sin(𝛽) ; cos(𝛼) = −cos(𝛽) ; tan(𝛼) = −tan(𝛽)

sin^{(𝛼) =}cos^(𝛽) ^; sin^{(𝛼) = −}cos^(𝛽) (5.19) Le precedenti equazioni si possono ricondurre a quelle già illustrate eliminando il segno meno tra primo e secondo membro e/o trasformando un seno in coseno o viceversa.

−sin(𝛾) =sin(−𝛾) ; −cos(𝛾) =cos(π + 𝛾) ; −tan(𝛾) =tan(−𝛾) sin^{(𝛾) =}cos⁽^π

2 − 𝛾) ; cos^{(𝛾) =}sin⁽^π

2 − 𝛾) (5.20)

Esercizio 14 Risolvi la seguente equazione: sin(π − 𝑥) = −cos(5 + 2𝑥)

Possiamo risolvere l’equazione eliminando il segno meno e trasformando una delle due funzioni nell’altra a nostro piacimento. Se la ricordiamo possiamo usare direttamente una delle relazioni tra angoli associati come cos⁽^π

2 + 𝛾) = −sin^(𝛾)o procedere in due passaggi secondo le relazioni qui sopra scritte. Facciamo due passaggi.

sin(π − 𝑥) = −cos^{(5 + 2𝑥)} sin(π − 𝑥) =cos(π + 5 + 2𝑥) sin^{(π − 𝑥) =}sin(π

2 − (π + 5 + 2𝑥)) sin(π − 𝑥) =sin(π

2 + π − 5 − 2𝑥) sin^{(π − 𝑥) =}sin(3

2π − 5 − 2𝑥)

(5.21)

Abbiamo ottenuto la prima tipologia di equazione illustrata in questo paragrafo. Possiamo quindi scrivere che i due insiemi di soluzioni associati all’equazione sono:

(π − 𝑥) = (3

2π − 5 − 2𝑥) + 2𝑘π

−𝑥 + 2𝑥 = 3

2π − π − 5 + 2𝑘π 𝑥 = π

2 − 5 + 2𝑘π

(5.22)

(π − 𝑥) + (3

2π − 5 − 2𝑥) = π + 2𝑘π

−𝑥 − 2𝑥 = −3

2π + 5 + π − π + 2𝑘π

−3𝑥 = −3

2π + 5 + 2𝑘π 𝑥 = π

2 − 5 3+2𝑘

3 π

(5.23)

(29)

6 Forme riconducibili ad algebriche

Alcuni tipi di equazioni e disequazioni presentano un’unica funzione goniometrica moltipli- cata per un numero ed elevata a potenza intera o razionale. Sostituendo questa funzione goniometrica con un’altra variabile possono essere trasformate in equazioni o disequazioni algebriche.

Una volta trovata la soluzione in questa nuova variabile possiamo risostituire la funzione goniometrica di partenza ottenendo una o più equazioni o disequazioni elementari.

6.1 Equazioni

Esercizio 15 Risolvi la seguente equazione: sin²(𝑥) +sin(𝑥) − 2 = 0

La nostra equazione goniometrica non è elementare, né della forma delle equazioni per confronto. Abbiamo un’unica funzione goniometrica che compare con potenze intere ed è ogni volta moltiplicata per un numero. Possiamo procedere con un cambio di variabile.

𝑧 =sin(𝑥)

𝑧²+ 𝑧 − 2 = 0 (6.1)

Risolviamo l’equazione algebrica ottenuta.

𝑧_1,2 = −1 ± √1²− 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)

2 = −1 ± √9

2 = −1 ± 3 2 𝑧₁= −1 + 3

2 = 2

2 = 1 ; 𝑧₂ = −1 − 3 2 = −4

2 = −2

(6.2)

A ritroso scriviamo:

sin(𝑥) = 1 ; 𝑥 = π

2 + 2𝑘π (6.3)

sin(𝑥) = −2 ⇒ impossibile (6.4)

La prima equazione la consideriamo del tutto immediata. La seconda è chiaramente impossibile.

25

(30)

26 CAPITOLO 6. FORME RICONDUCIBILI AD ALGEBRICHE 6.2 Disequazioni

Esercizio 16 Risolvi la seguente equazione: ⁶cos²(𝑥) + (2 − 3√3)cos(𝑥) − √3 > 0

La nostra disequazione goniometrica non è elementare, né della forma delle equazioni per confronto. Abbiamo un’unica funzione goniometrica che compare con potenze intere ed è ogni volta moltiplicata per un numero. Possiamo procedere con un cambio di variabile.

𝑧 =cos^(𝑥)

6𝑧²+ (2 − 3√3)𝑧 − √3 > 0 (6.5)

Risolviamo la disequazione algebrica ottenuta risolvendo innanzi tutto l’equazione associata.

6𝑧²+ (2 − 3√3)𝑧 − √3 = 0

Δ =(2 − 3√3)²− 4 ⋅ 6 ⋅ (−√3) = 4 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3√3 + (3√3)²+ 24√3 = 4 − 12√3 + (3√3)²+ 24√3 = 4 + 12√3 + (3√3)² =

(2 + 3√3)²

(6.6)

𝑧_1,2 = −(2 − 3√3) ± √(2 + 3√3)²

12 = −(2 − 3√3) ± (2 + 3√3) 12

𝑧₁= −(2 − 3√3) + (2 + 3√3)

12 = −2 + 3√3 + 2 + 3√3

12 = 6√3

12 = √3 2 𝑧₂ = −(2 − 3√3) − (2 + 3√3)

12 = −2 + 3√3 − 2 − 3√3

12 = −4

12 = −1 3

(6.7)

La parabola associata alla disequazione di secondo grado ha la concavità verso l’altro e la positività è negli intervalli esterni.

𝑧 < −1

3 ∨ 𝑧 > √3

2 (6.8)

Risostituiamo alla variabile^𝑧la funzione goniometrica e risolviamo le due disequazioni elementari che otteniamo.

I Disequazione cos𝑥 < 1

3 (6.9)

Troviamo le soluzioni fondamentali dell’equazione associata con la calcolatrice:

𝑥 = ±arccos(−1

3) ≃ ±109° (6.10)

Il coseno dato non è associato ad un angolo notevole. Possiamo trovare l’angolo corrispondente con la calcolatrice, ma si può tranquillamente lasciare indicato nella soluzione l’arcocoseno.

(31)

6.2. DISEQUAZIONI 27

𝑥 𝑦

109°

−109°

Per indicare quell’arco non possiamo andare senza soluzione di continuità dal primo angolo al secondo. Se partiamo da109°arriviamo a360° − 109° = 251°, cioè2π −arccos(−1

3). Di conseguenza la soluzione relativa alla circonferenza goniometrica è:

arccos⁽⁻¹

3) < 𝑥 < 2π −arccos⁽⁻¹

3) (6.11)

Se consideriamo anche la periodicità della funzione coseno possiamo scrivere:

2𝑘π +arccos⁽⁻¹

3) < 𝑥 < 2π −arccos⁽⁻¹

3) + 2𝑘π (6.12)

II Disequazione cos^{𝑥 >} ^√3

2 (6.13)

Troviamo le soluzioni fondamentali dell’equazione associata con la calcolatrice o a mente:

𝑥 = ±arccos(√3

2 ) ≃ ±π

6 (6.14)

𝑥 𝑦

π 6

−π 6

Per indicare quell’arco non possiamo andare senza soluzione di continuità dal primo angolo al secondo. La soluzione relativa alla circonferenza goniometrica è:

−π

6 < 𝑥 < π

6 (6.15)

(32)

28 CAPITOLO 6. FORME RICONDUCIBILI AD ALGEBRICHE Se consideriamo anche la periodicità della funzione seno possiamo scrivere:

2𝑘π −π

6 < 𝑥 < π

6 + 2𝑘π (6.16)

Infine.

La soluzione finale è l’unione delle due soluzioni trovate quindi possiamo scrivere:

2𝑘π +arccos⁽⁻¹

3) < 𝑥 < 2π −arccos⁽⁻¹

3) + 2𝑘π ∨ 2𝑘π −π

6 < 𝑥 < π

6 + 2𝑘π (6.17)

(33)

7 Forme risolubili con formule goniometriche

Mediante le formule di trasformazione goniometriche possiamo, in alcuni casi, trasformare al- cune espressioni presenti in una equazione: in questa maniera possiamo cercare di ricondurre tale equazione ad una notevole.

I casi possibili sono innumerevoli, anche considerando quante formule di trasformazione studiamo tradizionalmente. In questa sezione ci limitiamo a dare qualche esempio.

Esercizio 17 Risolvi la seguente equazione sin²(𝑥 2) = 1

2

Ricordiamo la formula di bisezione per il seno e il suo quadrato.

sin⁽^𝛼

2) = ±√1 −cos(𝛼)

2 ⇒ sin²⁽^𝛼

2) = 1 −cos(𝛼)

2 (7.1)

Possiamo sostituire l’ultima espressione al posto del quadrato del seno che compare nell’equazione.

1 −cos^(𝑥)

2 = 1

2 1 −cos(𝑥) = 1 cos^{(𝑥) = 0}

(7.2)

L’ultima equazioni ha immediatamente come soluzioni:

𝑥 = π

2 + 𝑘π (7.3)

In alternativa

Senza ricorrere alle formule di bisezione osserviamo che l’equazione di partenza può essere risolta per sostituzione dell’argomento della funzione seno, sia riconducendola ad una equazione algebrica con l’intera sostituzione della funzione seno.

Se chiamiamo^{𝑧 =} ^𝑥

2 l’equazione diventa:

sin²^{(𝑧) =} ¹

2 (7.4)

Ora chiamiamo𝑡 =sin(𝑧).

𝑡²= 1

2 (7.5)

29

(34)

30 CAPITOLO 7. FORME RISOLUBILI CON FORMULE GONIOMETRICHE Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:

𝑡 = ±√2

2 (7.6)

Sostituendo a ritroso diventano:

sin^{(𝑧) = ±}^√2

2 (7.7)

Sono due equazioni elementari in seno. Risolviamole una alla volta.

I sin^{(𝑧) =} ^√2

2 (7.8)

La soluzione fondamentale è:

𝑧₁=arcsin(√2 2 ) = π

4 (7.9)

𝑧₂= π − (π 4) = 3π

4 (7.10)

𝑧 = π

4 + 2𝑘π ; 𝑧₂= 3π

4 + 2𝑘π (7.11)

II sin^{(𝑧) = −}^√2

2 (7.12)

La soluzione fondamentale è:

𝑧₁=arcsin(√2

2 ) = −π

4 (7.13)

𝑧₂= π − (−π 4) = 5π

4 (7.14)

𝑧 = −π

4 + 2𝑘π ; 𝑧₂ = 5π

4 + 2𝑘π (7.15)

Le quattro soluzioni ottenute partono da ^π

4 e sono distanziate di^π 2. Le possiamo complessivamente scrivere come:

𝑧 = π 4 + 𝑘π

2 (7.16)

A questo punto possiamo ritornare alla𝑥. 𝑥 2 = π

4 + 𝑘π 2 𝑥 = π

2 + 𝑘π (7.17)

Abbiamo riottenuto la stessa soluzione ottenuta col metodo precedente, ma con molti passaggi in più.

(35)

8 Equazioni lineari

Le equazioni lineari hanno la seguente forma generale:

𝑎sin(𝑥) + 𝑏cos(𝑥) + 𝑐 = 0 (8.1) dove^𝑎,^𝑏e^𝑐sono numeri reali.

8.1 Equazione lineare omogenea

Se il parametro𝑐è nullo abbiamo la forma detta lineare omogenea:

𝑎sin^{(𝑥) + 𝑏}cos^{(𝑥) = 0} (8.2)

con𝑎e𝑏entrambi reali e diversi da zero.

La soluzione consiste nel dividere tutta l’espressione per cos(𝑥)trasformando l’equazione in una equazione elementare in tangente.

𝑎tan(𝑥) + 𝑏 = 0 (8.3)

La divisione per il coseno non pone problemi perché se l’angolo rende nullo il valore del coseno allora i coefficienti non possono essere entrambi diversi da zero e l’equazione non è più lineare.

Esercizio 18 Risolvi la seguente equazione 4sin(𝑥) − 4cos(𝑥) = 0 Dividiamo tutto per il coseno.

4tan(𝑥) − 4 = 0 tan(𝑥) = 4

4 = 1 (8.4)

Risolviamo l’equazione elementare in tangente.

𝑥 =arctan(1) = π

4 (8.5)

𝑥 = π

4 + 𝑘π (8.6)

31

(36)

32 CAPITOLO 8. EQUAZIONI LINEARI 8.2 Equazione lineare completa con le formule parametriche

Esistono diversi metodi per risolvere le equazioni lineari. Illustriamo qui di seguito il metodo che fa uso delle formule parametriche e di seguito quello geometrico.

Il metodo con le formule parametriche consiste nel trasformare l’equazione lineare goniometrica in una equazione algebrica e infine in una o due equazioni elementari in tangente.

• Verifichiamo se𝑥 = πè una soluzione dell’equazione.

Questa soluzione non può essere trovata con le formule parametriche e deve essere cercata espressamente.

• Sostituiamo al seno e coseno le loro espressioni con le formule parametriche e trasfor- miamo l’equazione in una equazione algebrica in𝑡.

sin(𝑥) = 2𝑡

1 + 𝑡² ; cos(𝑥) = 1 − 𝑡²

1 + 𝑡² (8.7)

Il denominatore dell’equazione risultante è sicuramente diverso da zero in quanto1 + 𝑡² è sicuramente diverso da zero.

• Risolviamo l’equazione algebrica in^𝑡.

• Dalle soluzioni in𝑡otteniamo una o due equazioni in tangente: le risolviamo e abbiamo concluso.

Esercizio 19 Risolvi la seguente equazione sin(𝑥) − √3cos(𝑥) + 1 = 0

• Cominciamo verificando se𝑥 = πè soluzione dell’equazione data.

sin^{(π) − √3}cos^{(π) + 1 =}

0 − √3 ⋅ (−1) + 1 ≠ 0 (8.8)

Non è soluzione.

• Sostituiamo al seno e coseno le loro espressioni con le formule parametriche.

2𝑡

1 + 𝑡² −√3(1 − 𝑡²)

1 + 𝑡² + 1 = 0 2𝑡 − √3 + √3𝑡²+ 1 + 𝑡²

1 + 𝑡² = 0

𝑡²(1 + √3) + 2𝑡 + 1 − √3 = 0

(8.9)

• Risolviamo l’equazione algebrica in𝑡.

𝑡_1,2 = −2 ± √2²− 4(1 + √3)(1 − √3)

2(1 + √3) =

= −2 ± √4 − 4(1 − 3)

2(1 + √3) = −2 ± √12

2(1 + √3) = −2 ± 2√3

2(1 + √3) = −1 ± √3 (1 + √3)

(8.10)