LABORATORIO DI FISICA I
Misura del periodo di oscillazione e della costante elas1ca della molla elicoidale di un oscillatore armonico semplice
Esperienza N. 3B 29/11/2021
Gruppo 2:
Clemente Riccardo Pio Gambina Luciano
Pagano Francesca Salvia Leonardo Treviso Claudio
D'Angelo SebasLano
Università di Palermo A.A. 2021/2022
1
Valutazione: AAA - errori vari
INDICE
OBIETTIVO DELL’ESPERIENZA 4
STRUMENTI E MATERIALI UTILIZZATI 4
PARTE I 5
PREREQUISITI TEORICI 5
PROCEDIMENTO 6
CONFRONTO SET 15
CALCOLO DEL PERIODO E DELLA COSTANTE ELASTICA 15
PARTE II 17
PROCEDIMENTO 17
ANALISI DEI DATI RACCOLTI 20
PARTE III 21
PROCEDIMENTO 21
ANALISI DEI DATI RACCOLTI 23
DISCREPANZA E CONCLUSIONE 27
OBIETTIVO DELL’ESPERIENZA
L'obieOvo di tale esperienza di laboratorio è stato quello di:
• misurare il periodo di oscillazione di un sistema massa-molla (Parte I)
• determinare la costante elasLca della molla stessa con il metodo staLco e dinamico (Parte II e Parte III)
STRUMENTI E MATERIALI UTILIZZATI
1. StaLvo (Supporto verLcale per molla);
2. Molla elicoidale;
3. MorseXo per agganciare la molla allo staLvo;
4. Varie masse campione;
5. Cronometro digitale con risoluzione 0.01s ed un errore di leXura di un’unità sull’ulLma cifra pari ad 1 digit;
6. Riga graduata con doppia scala con risoluzione pari a 1,0mm o 0,5mm, per misurare la lunghezza della molla. Scelta la scala con risoluzione 1,0 mm/divisione, considereremo un errore di precisione e di leXura di:
(1)
(2)
Dove 0.3 e 0.2 dipendono dalla classe di precisione II e V. M. sta per valore misurato;
L’errore complessivo strumentale δx è definito come la somma dell’errore di leXura e dell’errore di precisione:
(3)
7. Soeware uLlizzaL: Excel, Grace, SciDAVis e Pages:
-
Excel per la raccolta dei daL, il calcolo delle indeterminazioni, della frequenza assoluta, della frequenza relaLva e della densità di frequenza.-
Grace per l’analisi e la rappresentazione grafica degli istogrammi.-
Pages per la stesura della relazione.-
SciDAVis per la rappresentazione grafica di massima e minima pendenza.δxlettura = 0,5mm
δxprecisione = (0,3 + 0,2
1000V . M )mm
δx = δlett + δprec
3
Errore di precisione trascurabile
PARTE I
PREREQUISITI TEORICI
Introduciamo la teoria sugli istogrammi, relaLva all’analisi staLsLca degli errori casuali, necessaria allo svolgimento dell’esperienza.
Gli istogrammi sono grafici che presentano una divisione in intervalli in cui cadono dei valori sulle misurazioni totali .
La frequenza assoluta esprime il numero di volte in cui uno stesso valore cade all’interno dell’intervallo considerato.
La frequenza relaLva esprime il rapporto tra misurazioni che hanno dato il risultato e il numero totale di misure :
Per confrontare gli istogrammi è necessario normalizzarli, la condizione di normalizzazione è:
La densità di frequenza esprime il rapporto fra la frequenza relaLva e l’intervallo considerato:
Δi xi
n
xi
ni xi
n
Fi = ni n
∑ Fi = ∑ni
n = nn = 1
Fi Δi
fi = Fi Δi
PROCEDIMENTO
Durante la prima parte dell’esperimento ci siamo occupaL della misurazione del periodo dell’oscillazione di un sistema massa-molla aXraverso l’uLlizzo di uno staLvo, un morseXo e varie masse campione.
Ogni componente del gruppo ha misurato il tempo corrispondente a dieci oscillazioni eseguendo tale procedimento venL volte.
Al fine di evitare oscillazioni in direzioni diverse da quelle del moto armonico semplice è stata applicata una forza nella direzione verLcale per dare inizio all’oscillazione.
La massa campione è stata scelta di 60g in modo tale da facilitare le misurazioni, poiché l’uLlizzo di una massa troppo piccola, o grande, rispeXo a quella considerata avrebbe avuto come conseguenza una eccessiva velocità del sistema o lentezza.
Di seguito riporLamo i daL delle misurazioni:
T
5
Dividendo ogni valore oXenuto, riportato in tabella 1, per il numero delle oscillazioni risulta semplice realizzare la tabella con il periodo corrispondente a un’oscillazione.
SET N.1 (s) SET N.2 (s) SET N.3 (s) SET N.4 (s) SET N.5 (s)
8,64 8,60 8,39 8,70 8,44
8,64 8,61 8,40 8,70 8,44
8,70 8,70 8,40 8,70 8,44
8,70 8,70 8,40 8,70 8,50
8,70 8,80 8,47 8,82 8,54
8,77 8,79 8,48 8,82 8,57
8,80 8,80 8,49 8,82 8,65
8,80 8,81 8,50 8,84 8,67
8,81 8,81 8,51 8,84 8,71
8,82 8,81 8,52 8,80 8,75
8,82 8,82 8,57 8,87 8,76
8,82 8,83 8,57 8,89 8,76
8,85 8,90 8,64 8,89 8,76
8,85 8,87 8,66 8,90 8,77
8,85 8,87 8,72 8,92 8,77
8,89 8,88 8,74 8,95 8,80
8,89 8,88 8,80 8,95 8,90
9,10 8,92 8,84 8,95 8,90
9,10 9,00 8,89 9,00 8,92
9,12 9,00 8,89 9,10 8,93
Tabella 1: valori, in secondi, del periodo corrispondenti a 10 oscillazioni (del sistema massa molla) dell’oscillatore.
Abbiamo successivamente prodoXo gli istogrammi per ogni set di daL e, infine, quello complessivo unendo i 5 set. Per ogni set di valori corrispondente ad un istogramma abbiamo fissato l’ampiezza dell’intervallo i-esimo a 0,01 mm.
Indichiamo:
-
la larghezza dell’intervallo i-esimo con e, per semplicità, stabiliamo ;-
la frequenza assoluta come il numero di volte in cui si oOene il risultato ;-
la frequenza relaLva ;-
la frequenza relaLva specifica la distribuzione dei nostri risultaL, dal momento che descrive il modo in cui le nostre misure sono distribuite fra i diversi possibili valori;-
la densità di frequenza .SET N.1 (s) SET N.2 (s) SET N.3 (s) SET N.4 (s) SET N.5 (s)
0,864 0,860 0,839 0,870 0,844
0,864 0,861 0,840 0,870 0,844
0,870 0,870 0,840 0,870 0,844
0,870 0,870 0,840 0,870 0,850
0,870 0,880 0,847 0,882 0,854
0,877 0,879 0,848 0,882 0,857
0,880 0,880 0,849 0,882 0,865
0,880 0,881 0,850 0,884 0,867
0,881 0,881 0,851 0,884 0,871
0,882 0,881 0,852 0,880 0,875
0,882 0,882 0,857 0,887 0,876
0,882 0,883 0,857 0,889 0,876
0,885 0,890 0,864 0,889 0,876
0,885 0,887 0,866 0,890 0,877
0,885 0,887 0,872 0,892 0,877
0,889 0,888 0,874 0,895 0,880
0,889 0,888 0,880 0,895 0,890
0,910 0,892 0,884 0,895 0,890
0,910 0,900 0,889 0,900 0,892
0,912 0,900 0,889 0,910 0,893
Tabella 1.1: valori, in secondi, del periodo corrispondente a un’oscillazione.
Δi Δi = 0,01mm
ni xi
Fi= ni n Fi
fi = Fi Δi
7
SET 1
Figura 1: istogramma normalizzato relativo al Set 1
La linea rossa ci permette di individuare la semi-larghezza a mezza altezza.
La linea verde ci permette di individuare il valore centrale delle misurazioni.
0.84-0.85 0 0 0
0.85-0.86 0 0 0
0.86-0.87 2 0,1 10
0.87-0.88 3 0,15 15
0.88-0.89 7 0,35 35
0.89-0.90 5 0,25 25
0.90-0.91 0 0 0
0.91-0.92 3 0,15 15
Tabella 2.1: Disposizione degli N = 20 valori (tabella 1.1 set n.1) per intervalli di ampiezza
∆i =0,01mm Frequenza assoluta
ni Intervallo
Δi Densità di frequenza
fi Frequenza rela1va
Fi
u.m.
u.m.
SET 2
0.84-0.85 0 0 0
0.85-0.86 0 0 0
0.86-0.87 2 0,1 10
0.87-0.88 2 0,1 10
0.88-0.89 8 0,4 40
0.89-0.90 6 0,3 30
0.90-0.91 2 0,1 10
0.91-0.92 0 0 0
Tabella 2.2: Disposizione degli N = 20 valori (tabella 1.1 set n.2) per intervalli di ampiezza
∆i=0,01mm Intervallo
Δi Densità di frequenza
fi Frequenza rela1va
Fi Frequenza assoluta
ni
Figura 2: istogramma normalizzato relativo al Set .2
La linea rossa ci permette di individuare la semi-larghezza a mezza altezza.
La linea verde ci permette di individuare il valore centrale delle misurazioni.
9
SET 3
0.84-0.85 4 0,2 20
0.85-0.86 6 0,3 30
0.86-0.87 3 0,15 15
0.87-0.88 3 0,15 15
0.88-0.89 2 0,1 10
0.89-0.90 2 0,1 10
0.90-0.91 0 0 0
0.91-0.92 0 0 0
Tabella 2.3: Disposizione degli N = 20 valori (tabella 1.1 set n.3) per intervalli di ampiezza ∆i
=0,01mm
Frequenza rela1va Fi
Intervallo
Δi Densità di frequenza
fi Frequenza assoluta
ni
Figura 3: istogramma normalizzato relativo al Set .3
La linea rossa ci permette di individuare la semi-larghezza a mezza altezza La linea verde ci permette di individuare il valore centrale delle misurazioni.
SET 4
Figura 4: istogramma normalizzato relativo al Set .4
La linea rossa ci permette di individuare la semi-larghezza a mezza altezza La linea verde ci permette di individuare il valore centrale delle misurazioni.11
SET 5
Tabella 2.5: Disposizione degli N=20 valori (tabella 1.1 set n.5) per intervalli di ampiezza ∆i =0,01mm
Figura 5: istogramma normalizzato relativo al Set .5
La linea rossa ci permeXe di individuare la semi-larghezza a mezza altezza La linea verde ci permeXe di individuare il valore centrale delle misurazioni.
Frequenza assoluta Frequenza rela1va Densità di frequenza
0.84-0.85 3 0,15 15
0.85-0.86 2 0,1 10
0.86-0.87 1 0,05 5
0.87-0.88 3 0,15 15
0.88-0.89 7 0,35 35
0.89-0.90 4 0,2 20
0.90-0.91 0 0 0
0.91-0.92 0 0 0
Intervallo Δi
SET COMPLETO
Tabella 2.6: Disposizione degli N=100 valori (tabella 1.1) per intervalli di ampiezza ∆i =0,01mm
Figura 6: istogramma normalizzato relativo al Set Completo
La linea rossa ci permette di individuare la semi-larghezza a mezza altezza La linea verde ci permette di individuare il valore centrale delle misurazioni.
Frequenza assoluta Frequenza rela1va Densità di frequenza
0.84-0.85 7 0,07 7
0.85-0.86 8 0,08 8
0.86-0.87 8 0,08 8
0.87-0.88 15 0,15 15
0.88-0.89 30 0,3 30
0.89-0.90 22 0,22 22
0.90-0.91 6 0,06 6
0.91-0.92 4 0,04 4
Intervallo Δi
13
La seguente tabella riporta il valore medio, il valore centrale, la semi-larghezza a metà altezza data da Γ/2 e la deviazione standard di tuO gli istogrammi realizzaL.
CONFRONTO SET
Si nota che le differenza tra e e quella tra la media e il valore centrale non sono significaLve, dunque i daL sono consistenL.
Inoltre, si evince che all’aumentare del numero di misure, e al variare dell’operatore, i valori di gamma mezzi e la larghezza dell’istogramma non variano in modo significaLvo.
CALCOLO DEL PERIODO E DELLA COSTANTE ELASTICA
L’errore assoluto complessivo associato al periodo di oscillazione è pari alla somma dell’errore strumentale e della deviazione standard dalla media:
in cui la deviazione standard:
Quindi:
.
SET1 0,883 0,885 0,010 0,014
SET2 0,882 0,885 0,010 0,011
SET3 0,859 0,87 0,020 0,017
SET4 0,886 0,895 0,020 0,011
SET5 0,87 0,87 0,010 0,016
SET Completo 0,876 0,88 0,015 0,017
Tabella 3: riportiamo il valore medio ( ), il valore centrale ( ), la semi-larghezza a metà altezza ( ) e la deviazione standard ( ).
T(s) T
CΓ
2 σ
xT(s) TC Γ σx
2
Γ 2 σx
δT = σT + δT strum.
σT = 1,7 × 10−3 = 0,0017
δT = σT + δT strum.= 0,0017 + 0,001 = 0,0027s T1 best = (0,876 ± 0,003)s
u.m. u.m. u.m.
u.m.
Trovato il valore del periodo, si può determinare anche la costante elasLca della molla:
Da cui:
E il suo relaLvo errore:
Pertanto sLmiamo:
ω = 2πt = k m T = 2π mk
k = (4π2) m T2
ϵk = ϵT2 = 2ϵT
δk
k = 2δT T
δk = 8π2m T3 δT
kbest = 4π2 m
T2 = 4(3,14)2(0,060kg)
(0,876)2 ≃ 3,08N/m δk = 8π2m
T3 δT ≃ 0,02N/m
kbest = (3,08 ± 0,02)N/m
15
e_k = 0.7%
PARTE II
PROCEDIMENTO
ULlizzando lo stesso sistema massa-molla con diverse masse campione, si è determinata la costante elasLca della molla con il metodo staLco.
Ai fini dell’esperienza si considerano le masse campione e la costante di gravità g=9,80 entrambi avenL errore trascurabile.
L’errore assoluto della riga graduata è stato precedentemente descriXo nel paragrafo materiali uLlizzaL. La risoluzione della riga da noi scelta è pari a 1,0 mm.
Una volta agganciato il sistema massa-molla allo staLvo, aXendiamo che il sistema si stabilizzi nella posizione di equilibrio e successivamente misuriamo la lunghezza .
Analizzando le forze in gioco, consideriamo le seguenL relazioni:
Legge di Hooke, lega la forza e lo spostamento della molla:
La forza elasLca è uguale e opposta alla forza di gravità:
Dalla seconda legge di Newton, considerando accelerazione del sistema , ricaviamo che :
Secondo la legge di Hooke abbiamo:
Ricavando k dalla legge di Hooke oXeniamo:
—>
• indichiamo con la lunghezza a riposo della molla, non nota;
• è la lunghezza della molla alla quale è appesa la massa;
l
F
e= − kΔx
F
e= − F
ga = g
F
g= mg
F
e= − k(l − l
0)
k(l − l
0) = mg k = mg l − l
0l0 l
u.m.
Quando l = l_0 allora k = infinito!!!
• è il valore della massa considerata;
• è l’accelerazione di gravità.
In questa parte dell’esperienza si sono uLlizzate 5 masse campione.
Per ogni massa si è quindi registrato il valore della lunghezza della molla, leggendo l’elongazione direXamente nella riga graduata, cercando di evitare per quanto il più possibile errori di parallasse.
Qui di seguito si riportano i daL delle elongazioni registrate con i relaLvi errori e il calcolo della forza peso per ciascuna massa.
Inoltre, è stato considerato un errore di leXura di doppio in quanto lo strumento uLlizzato non ha consenLto, per le sue caraXerisLche, di sLmare in modo preciso la posizione dello zero nella misurazione.
Errore di leXura:
Errore assoluto:
RiporLamo il grafico relaLvo alla tabella 4.
m g
Massa (kg) Lunghezza (m) Forza
esterna(N)
massa 1 0,040 0,170 0,0013 0,392
massa 2 0,060 0,2360 0,0013 0,588
massa 3 0,080 0,3030 0,0014 0,784
massa 4 0,100 0,3680 0,0014 0,98
massa 5 0,120 0,4350 0,0014 1,176
Tabella 4: Il valore della massa, della lunghezza con il relativo errore e la Forza esterna
δ
l(m)δl
δlilettura= (0.5 + 0.5)mm = 1.0mm δl= δli precisione+ δlilettura
17
Figura 7: grafico della forza in funzione della lunghezza .
In verde viene rappresentata la retta di minima pendenza; in rosso quella di massima.
Le intersezioni con l’asse x rappresentano e .
l
l
0maxl
0minANALISI DEI DATI RACCOLTI
AXraverso il metodo delle reXe di massima e minima pendenza (figura 7) si determina il valore della costante elasLca k, uLlizzando il programma SciDAVis.
Per trovare i valori dei coefficienL angolari della reXa di massima, e minima pendenza, , sono state considerate la coppia di punL V (0,028; 0), V’ (0,446; 1,2), appartenenL a , e la coppia R(0,043; 0), R’(0,43; 1,2,) , appartenente a , facendo uso della funzione screen reader di SciDAVis.
Troviamo i coefficienL angolari:
SLmiamo :
rmax rmin
rmin rmax
k2max = 1,2N − 0N
0,43m − 0,043m = 3,101N/m k2min = 1,2N − 0
0,446m − 0,028m = 2,871N/m k2 best
k2best = k2max+ k2min
2 = 3,101 + 2,8712 = 2,986N/m δk2best = k2max− k2min
2 = 2,934 − 2,9222 = 0,115N/m k2best = (2,99 ± 0,12)N/m
ϵk2 = 0,122,99 = 0,04
19
PARTE III
PROCEDIMENTO
L'obieOvo di questa parte dell'esperienza si concentra sulla determinazione della costante elasLca della molla con il metodo dinamico.
In questa terza parte si è misurato il tempo corrispondente a 10 oscillazioni di 5 masse campione ripetendo 3 volte l’operazione.
Ogni tempo registrato è stato diviso per 10 calcolando così il periodo di una singola oscillazione.
Inoltre è stato calcolato il valore best del periodo come valore medio dei tre valori oXenuL, e l’errore associato a ciascuna delle tre misure, come somma della loro semidispersione e dell’errore di leXura del cronometro di 0.01s (poiché il centesimo di secondo è l’ulLma cifra visibile sul cronometro):
L'errore di precisione del cronometro nel misurare i periodi delle oscillazioni è stato considerato trascurabile.
RiporLamo di seguito i valori dei periodi delle 10 oscillazioni registrate delle 5 masse campione
Tabella 5: valore delle masse e delle ripetizioni delle 10 oscillazioni δt= ΔT + δtstrumentale
m(kg)
0,040 7,30 7,23 7,24
0,060 8,86 8,87 8,71
0,080 10,31 10,1 10,05
0,100 11,26 11,3 11,34
0,120 12,35 12,29 12,38
t2(s) t3(s) t1(s)
Calcoliamo il periodo medio di un oscillazione per ogni massa:
Tabella 6 : valore medio del periodo di una oscillazione e del suo relativo errore.
m(kg)
0,040 0,726 0,005
0,060 0,881 0,009
0,080 1,015 0,014
0,100 1,130 0,005
0,120 1,234 0,006
T(s) δT(s)
21
ANALISI DEI DATI RACCOLTI
Per trovare la frequenza angolare usiamo la relazione:
. Da questa idenLtà è possibile dedurre l'errore relaLvo:
,
considerando che non ha indeterminazione, essendo una costante.
Dunque:
RiporLamo la tabella:
Tabella 7:frequenza angolare con il suo relativo errore ω
ω = 2πT
ϵω = ϵT 2π
δω ω = δT
T δω= 2πδT
T2
m(kg)
0,040 8,65 0,06
0,060 7,13 0,07
0,080 6,19 0,09
0,100 5,56 0,03
0,120 5,09 0,03
rad/s
ω δω rad/s
Considerando infine la seguente relazione:
È possibile dedurre che la relazione funzionale tra e vale .
Per verificare che i daL da noi oXenuL siano consistenL con il valore teorico della relazione
funzionale tracciamo le reXe di massima e minima pendenza in un grafico log-log, avente nell’asse y la frequenza angolare con il rispeOvo errore, e nell’asse x le masse (prive di errore).
Si riportano i daL registraL della tabella 7 nel seguente grafico Log-Log.
ω = k m
ω m − 12
Figura 8: Grafico log-log della frequenza angolare in funzione della massa.
La reXa verde rappresenta la reXa di massima pendenza, , e la reXa rossa, , quella di minima pendenza. v r
23
Con la funzione screen reader di SciDAVis troviamo i punL , , appartenenL alla reXa di minima pendenza, e , , appartenenL alla reXa di massima pendenza.
Calcoliamo i coefficienL angolari delle reXe di massima e minima pendenza con i seguenL risultaL ,
Ed infine il valore best della relazione funzionale:
Il valore di è consistente con .
Possiamo ora sLmare la costante elasLca con il metodo dinamico.
Tracciamo le due reXe di massima e minima interceXa con coefficiente angolare fissato a , il valore teorico dell’esponente di m, in modo tale da intersecare il valore massimo e il valore minimo incluso in ogni barra d’errore.
Per comodità consideriamo l’ascissa 0,1 e troviamo i corrispondenL valori delle ordinate.
OXeniamo i punL , e ricaviamo
R1 = (0,038; 9) R2 = (0,122; 5) V1= (0,036; 9) V2 = (0,126; 5)
rmin = log 9 − log 5
log 0,038 − 0,122 = − 0,504 vmax = log 9 − log 5
log 0,036 − 0,126 = − 0,469
mbest = −0,503 − 0,4692 = − 0,487 δmbest = 0,503 − 0,469
2 = 0,017
mbest = − 0,49 ± 0,02 ϵ = 0,020,49 = 0,04
mbest −0,50
k3 best
−0,50
P(0,1; 5,567) P′(0,1; 5,531)
k3 max best= ( 5,567
10 )2 = 3,099N/m k3 min best = ( 5,531
10 )2= 3,059N/m k3 best = 3,099 + 3,0592 = 3,08N/m δk3 best = 3,099 − 3,0592 = 0,02N/m
k3 best = (3,08 ± 0,02)N/m ϵk3= 0,02
3,08 = 0,0065
non è necessario
= 0.007
Qui riporLamo i grafici con le reXe di massima e minima interceXa.
RiporLamo anche l’ingrandimento sul punto con ascissa 0,1, da noi considerato per sLmare il valore best di k
Figura 10: zoom figura 9.
Figura 9: grafico log-log della frequenza angolare in funzione della massa e con le rette di massima e minima intercetta.
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DISCREPANZA E CONCLUSIONE
Dal grafico in figura possiamo concludere che la discrepanza non è significaLva e dunque le misure delle costanL elasLche, , sono consistenL tra loro.
Possiamo inoltre osservare che il metodo di misura dinamico è più preciso di quello staLco in quanto l’intervallo di dispersione di è evidentemente minore.
k1, k2 e k3 k3
Figura 11: grafico con la discrepanza dei tre valori di k; lungo l’asse y la stima best di k con relativo errore, lungo l’asse x nei punti 1, 2 e 3 le costanti .
Le rette orizzontali rosse indicano l’intervallo di sovrapposizione delle barre d’errore.
k
1, k
2e k
3Il metodo più preciso è quello che porta a un errore relativo minore!
