1. Risolvere il seguente sistema
x + 2y − z = −1
2x − y + 2z = 0
3x + y + z = 2
2. Dopo avere verificato che i punti A = (−1, −1, 2), B = (2, −3, 1) e C = (1, 1, −1) non sono allineati, scrivere l’equazione del piano π passante per essi.
Determinare un versore ortogonale a π.
3. Dati i vettori ~u = (−3, 2) e ~v = (1, 3) dire quale tra le seguenti affermazioni `e vera.
a) ~u e ~v formano un angolo acuto b) ~u e ~v formano un angolo ottuso c) ~u e ~v sono perpendicolari 4. Il sistema AX = B con A =
1 −1 2 −2
e B =
3 7
a) `e impossibile
b) ha un’unica soluzione c) ha infinite soluzioni
1
1. Dire per quali valori del parametro λ `e invertibile la matrice
A =
2 −λ 2
λ 2 −1
2λ + 1 1 1 .
Calcolare la matrice inversa A−1 per λ = 2. Se L : IR3 → IR3 `e l’operatore lineare associato alla matrice A nel caso λ = 2 determinare L((1, 1, −2)).
2. Dati i punti A = (1, −2, −1) e B = (−3, 2, 0), scrivere (i) l’equazione della retta r passante per A e B;
(ii) l’equazione del piano ortogonale ad r e passante per il punto P = (−1, −1, 2).
Dire a quale asse `e parallelo il piano π.
3. Il modulo e l’argomento del numero complesso (1 + i)2 sono rispettivamente a) 4 e π
b) 2 e π2 c) 1 e π
2
1. Determinare gli autovalori e gli autovettori della matrice
A =
−1 0 −1
0 −1 2
−1 2 2
.
e verificare che gli autovettori trovati sono tra loro ortogonali.
2. Dati i punti A = (−3, 2, −1) e B = (6, −1, 2), scrivere (i) l’equazione della retta r passante per A e B;
(ii) l’equazione del piano contenente r e passante per l’origine degli assi carte- siani.
3. Dire quale tra i seguenti vettori `e perpendicolare alla retta nel piano avente equazione 5x + 3y + 6 = 0
a) ~u = (3, 5) b) ~u = (5, 3) c) ~u = (−5, 3)
3
1. Risolvere il seguente sistema
2x − y + 2z = 0
x − 2y − 2z = 3
3x − y + 3z = −1
2. Determinare le equazioni parametriche della retta r individuata dall’intersezione dei due piani
2x + z − 4 = 0 e y = 0.
Dopo avere verificato che il punto P = (0, 1, 0) non appartiene alla retta r, determinare il piano π contenente r e passante per P . Rappresentare grafica- mente il piano π.
3. Gli autovalori della matrice
A =
−1 0 −1
0 1 2
0 0 2
.
sono
a) 1, −1 e −2 b) −1, 1 e 2 c) 1, 1 e 1
4
1. Dire se la matrice
A =
1 −1 3
0 2 0
−1 3 1
`
e invertibile e calcolare A−1.
2. Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti P1 = (2, 1, −1) e P2 = (0, −2, 4), determinare l’equazione del piano π ortogonale ad r e passante per l’origine degli assi cartesiani. Dire, inoltre, se il punto P = (1, 1, 1) appartiene al piano.
3. Quale, tra le seguenti, `e una coppia di vettori ortogonali?
2 u = (−2, 0); v = (1, 0) 2 u = (−1, 1); v = (1, 1) 2 u = (3, 1); v = (1, 3) 2 u = (3, −2); v = (−2, 3)
5
