Simulazione del flusso in un aneurisma dell'aorta toracica con il codice OpenFOAM

(1)

Universit`

a di Pisa

Dipartimento di Ingegneria Civile e

Industriale

Tesi Magistrale

Simulazione del flusso in un

aneurisma dell’aorta toracica con

il codice OpenFOAM

Relatori:

Prof. Maria Vittoria Salvetti

Ing. Alessandro Boccadifuoco

Allievo:

Alessandro Giubilei

(2)

La citazione `e un utile sostituto dell’arguzia.

(3)

Sommario

Negli ultimi anni si stanno affermando sempre pi`u studi e ricerche di carattere

medico-ingegneristico afferenti alla branca di studio chiamata ”Scienze della Vita”,

la quale si prefigge come scopo la comprensione dei meccanismi alla base delle pi`u

comuni patologie mediche. In particolare, la fluidodinamica computazionale si `

e rivelata un ottimo strumento per simulare l’emodinamica dei vasi sanguigni e poterne studiare le grandezze caratteristiche, quali le forze di pressione e di taglio. E’ infatti ormai noto che siano queste un aspetto fondamentale nello sviluppo delle malattie cardiovascolari.

Questo lavoro di tesi si pone come continuazione ideale di un precedente studio che costituiva una prima fase della messa a punto e validazione di un modello per simulare l’emodinamica dell’aorta toracica in presenza di aneurisma. Viene cos`ı

completata la valutazione delle potenzialit`a del software open-source OpenFOAM

nella simulazione di questo genere di problema.

Inizialmente viene fatta una presentazione del problema in termini di modelli geo-metrici, condizioni al contorno e metodi numerici usati. Successivamente viene

effettuata una valutazione delle potenzialit`a e dei limiti del software attraverso

lo studio di diverse condizioni al contorno, presentando i modelli e i solutori

im-plementati nel codice e usati nelle simulazioni. Punto centrale del lavoro `e stata,

infatti, l’analisi del modello a ”pseudo-organi” applicato su geometria reale del-l’aorta toracica con aneurisma, allo scopo di simulare una condizione al contorno

in uscita dal dominio che pi`u si avvicinasse alla fisica reale del problema. Vengono

analizzate le problematiche numeriche e modellistiche emerse e possibili soluzioni per risolverle. Infine viene effettuato un confronto con il codice SimVascular per ottenere ulteriori informazioni sui limiti di OpenFOAM emersi dallo studio.

Dal lavoro emergono infatti alcune criticit`a relative ad OpenFOAM che fanno

propendere per l’utilizzo di SimVascular, il quale permette l’implementazione di

condizioni al contorno pi`u attinenti alla fisica del problema e con cui sono ottenibili

(4)

Indice

Sommario ii Indice iii 1 Introduzione 1 1.1 L’aorta toracica . . . 1 1.2 La patologia aneurismatica . . . 2 1.3 Il ruolo della CFD . . . 4

1.4 Aspetti principali della simulazione CFD . . . 6

1.4.1 Geometria . . . 6

1.4.2 Grandezze caratteristiche . . . 7

1.4.3 Propriet`a del sangue . . . 9

1.4.4 Proriet`a delle pareti arteriose . . . 9

1.4.5 Condizioni al contorno . . . 13

1.4.5.1 Condizioni in ingresso . . . 13

1.4.5.2 Condizioni in uscita . . . 15

1.4.6 Equazioni del problema . . . 17

1.4.7 Parametri secondari . . . 18

2 OpenFOAM 21 2.1 Generazione della griglia . . . 21

2.2 Discretizzazione delle equazioni . . . 21

2.3 Algoritmi di OpenFOAM . . . 22

2.4 Risoluzione dei sistemi lineari . . . 23

2.5 Solutori di OpenFOAM . . . 24

2.6 Condizioni al contorno in OpenFOAM . . . 25

3 Modello a ”pseudo-organi” 26 3.1 Leggi di permeabilit`a in OpenFOAM . . . 29

3.2 Condizioni utilizzate nel presente lavoro . . . 31

4 Simulazioni del flusso a basso Reynolds in una geometria reale: effetto delle condizioni di uscita 32 4.1 Geometria . . . 32

(5)

Indice

4.2 Griglia . . . 35

4.3 Condizioni al contorno e solutori . . . 35

4.4 Risultati . . . 38

4.4.1 Linee di Corrente . . . 38

4.4.2 Wall Shear Stress . . . 41

4.4.3 Onde di Portata . . . 43

4.4.4 Conclusioni . . . 44

5 Simulazioni del flusso ad alto Reynolds 47 5.1 Geometria & Griglia . . . 47

5.2 Condizioni al contorno e solutori . . . 47

5.3.1 Linee di Corrente . . . 50

5.3.2 Wall Shear Stress . . . 52

5.3.3 TAWSS & OSI . . . 54

5.4 Prove di sensibilit`a . . . 56

5.4.1 Sensibilit`a al Coefficiente di Darcy . . . 56

5.4.1.1 Linee di Corrente . . . 57

5.4.1.2 Wall Shear Stress . . . 58

5.4.2 Sensibilit`a al Numero di Reynolds . . . 61

5.4.2.1 Linee di Corrente . . . 62

5.4.2.2 Wall Shear Stress . . . 64

5.5 Conclusioni . . . 66

6 OpenFOAM & SimVascular 70 6.1 Confronto fra due diversi codici . . . 70

6.2 SimVascular . . . 70

6.3 Modelli di simulazione . . . 71

6.3.1 Metodo numerico . . . 71

6.3.2 Modello di griglia . . . 72

6.3.3 Setup delle simulazioni . . . 72

6.3.4 Condizioni al contorno . . . 72

6.3.4.1 Calcolo del valore di Resistenza Equivalente . . . . 73

6.3.4.2 Simulazione 1. Resistenze Uguali . . . 74

6.3.4.3 Simulazione 2. Resistenze Pesate . . . 74

6.5 Confronto OpenFOAM / SimVascular . . . 77

6.5.1 Conclusioni . . . 78

7 Conclusioni 84

(6)

Capitolo 1

Introduzione

Nonostante un significativo progresso della medicina cardiaca, le malattie

cardio-vascolari rimangono ancora oggi una delle maggiori cause di mortalit`a in tutto il

mondo. L’aorta toracica con la sua complessa anatomia pu`o essere sede di

numero-se e differenti malattie cardiovascolari, fra queste le pi`u frequenti sono sicuramente

aterosclerosi, aneurismi e dissezioni. Queste patologie sono in grado di minacciare

la vita del paziente perch´e a causa delle sezioni indebolite del lume aortico

posso-no potenzialmente causare la rottura dell’aorta stessa; essendo perci`o necessario

indagare e capire i meccanismi coinvolti nello sviluppo di queste malattie, molti studi di ricerca a riguardo sono stati portati avanti negli ultimi anni.

1.1 L’aorta toracica

L’aorta `e la pi`u grande arteria del corpo umano, attraverso la quale il sangue

ossigenato, pompato fuori dal ventricolo sinistro, entra nel sistema circolatorio. L’aorta toracica (Fig. 1.1) origina dal ventricolo sinistro del cuore, con un diame-tro di circa 3 cm, dirigendosi verso l’alto continua come aorta ascendente, piega formando l’arco aortico andando ad appoggiarsi alla colonna vertebrale e discende formando l’aorta discendente che a sua volta si distingue in aorta toracica ed in aorta addominale. Dall’arco aortico hanno origine le tre diramazioni principali: il tronco brachiocefalico (o arteria anonima), l’arteria carotide comune sinistra e l’arteria succlavia sinistra. Queste arterie provvedono alla vascolarizzazione del-la testa, del collo, degli arti superiori e deldel-la parte superiore del torace. L’aorta

(7)

Capitolo 1. Introduzione

toracica presenta la pi`u complessa anatomia tra tutte le arterie; oltre a

piegar-si senpiegar-sibilmente, l’asse dell’arco piegar-si attorciglia, non giacendo perci`o su un piano.

Presenta inoltre diramazioni, restringimenti e pareti dilatabili. La sua parete `e

costituita da tre rivestimenti disposti concentricamente detti tonache. La pi`u

in-terna, a diretto contatto con il sangue, `e la tonaca intima, formata da cellule di

rivestimento (cellule endoteliali); la pi`u esterna `e la tonaca avventizia, formata

da tessuto connettivo collagene; in mezzo si dispone la tonaca media, formata da membrane di tessuto elastico connesse tra loro da fascetti di fibre elastiche e fibrocellule muscolari lisce. L’aneurisma, definito come dilatazione permanente dell’arteria, si forma quando le fibre della tonaca media si scompaginano, degene-rano o si assottigliano, e i meccanismi riparativi le rimpiazzano con tessuto fibroso che essendo anelastico, tende a sfiancarsi sotto l’impatto pressorio.

Figura 1.1: Schematizzazione dell’aorta toracica

1.2 La patologia aneurismatica

Le manifestazioni cliniche e la storia degli aneurismi dell’aorta toracica dipendono

da vari fattori quali ad esempio la loro posizione, la loro dimensione e la velocit`a

di accrescimento. L’aterosclerosi `e la pi`u comune patologia associata agli

(8)

principale degli aneurismi dell’aorta ascendente. A questi si affiancano aortite, dissezione cronica e traumi come cause della formazione di aneurismi.

Per quanto riguarda la sintomatologia, si possono avere aneurismi senza alcun

sintomo evidente, il cui riscontro `e perci`o occasionale e molto spesso rilevato

ca-sualmente durante esami di altro tipo; in altri casi la presenza di aneurisma pu`o

es-sere accompagnata da sintomi evidenti, quali dolore toracico, ischemia o trombosi,

risultando pi`u facile rilevarne la presenza.

Figura 1.2: Schematizzazione dell’aneurisma dell’aorta toracica

L’approccio dominante attualmente in medicina per la valutazione del rischio di

rottura dell’aneurisma `e che questa sia prevedibile monitorando il massimo

dia-metro dell’aneurisma. Pi`u precisamente, che il rischio di rottura sia massimo

quando l’aneurisma raggiunge i 5-5.5 cm di diametro. Tuttavia, questo ”criterio

del massimo diametro” non `e affidabile e non ha basi teoriche legate alla fisica

dell’aneurisma. E’ stato rilevato infatti che lesioni molto pi`u piccole (< 5 cm)

possono rompersi [1], mentre lesioni pi`u grandi (> 7 cm) possono non rompersi

nel lungo periodo [2]. Insieme al massimo diametro, vengono poi valutate sinto-matologia, se presente, ed eventuali patologie associate per stabilire la terapia da seguire.

Una volta individuata la presenza di aneurisma, si pu`o seguire un approccio di

tipo conservativo o procedere a un’operazione chirurgica. I soggetti con aneurismi asintomatici e di piccole dimensioni vengono monitorati ogni 6-12 mesi con TC o risonanza magnetica per seguire l’evolversi della malattia. Nel caso in cui, invece, risulti necessario un intervento chirurgico, si deve distinguere tra chirurgia con-venzionale e chirurgia endovascolare. La prima prevede tecniche tradizionali con

(9)

molto rischiosa e invasiva comportando la sostituzione vera e propria di parte del segmento aortico. La chirurgia endovascolare, ampiamente utilizzata negli ultimi anni, prevede tecniche operatorie che coinvolgono dispositivi espandibili, chiamati endoprotesi (Fig.1.3). I vantaggi del ricorso alla chirurgia endovascolare

risiedo-no in una mirisiedo-nore invasivit`a (la protesi viene inserita tramite l’arteria femorale),

un minor rischio di mortalit`a, minori tempi di ospedalizzazione e un pi`u rapido

recupero del paziente.

L’intervento viene eseguito se `e presente una delle seguenti condizioni:

• Tutti gli aneurismi sintomatici

• Diametro > 6 cm, anche se asintomatico

• Incremento del diametro massimo > di 0.5-1 cm in un anno • Aneurisma rotto o fissurato

Per la valutazione degli aneurismi dell’aorta toracica vengono seguite metodiche specifiche quali ad esempio l’angiografia, tecnica classica ma molto invasiva, o la risonanza magnetica con mezzo di contrasto (MRI) e la tomografia computerizzata

(TC), tecniche pi`u recenti non invasive che permettono di fornire informazioni sul

diametro e l’estensione dell’aneurisma.[3]

1.3 Il ruolo della CFD

All’interno di questo quadro, il ruolo della fluidodinamica computazionale `e quello

di fornire ai medici un approccio analitico da affiancare agli attuali metodi per

valutare la necessit`a di intervento, andando a stimare, tramite simulazioni, le

grandezze caratteristiche legate alla formazione di aneurismi. Limitandosi alla semplice valutazione della grandezza o del tasso di crescita dell’aneurisma, nessuna considerazione relativa allo stato fisico del vaso sanguigno viene infatti eseguita.

A tale scopo si `e reso necessario uno studio della biomeccanica dei vasi sanguigni

che ha portato nel tempo all’elaborazione di approcci sempre pi`u complessi al

(10)

Figura 1.3: Schematizzazione dell’endoprotesi dell’aorta toracica

Molti studiosi hanno visto nella Legge di Laplace una base teorica all’utilizzo del ”criterio del massimo diametro” per la predizione di potenziali rotture degli aneurismi. Questa Legge afferma che lo sforzo sulla parete dell’aneurisma sia proporzionale al suo diametro. Un primo studio [4] descrive infatti la relazione tra lo sforzo alla parete calcolato usando la legge di Laplace e il rischio di rottura dell’aneurisma, sostenendo l’esistenza di una soglia della tensione oltre la quale la

rottura è imminente. Tuttavia l’uso di questa legge è erroneo poichè la geometria

delle pareti non `e perfettamente cilindrica o sferica con un solo raggio di curvatura,

come prevede la Legge per essere applicabile [2].

Successivamente altri studi [5],[6] hanno esplorato l’utilizzo del picco dello sfor-zo alla parete come potenziale predittore di rotture dell’aneurisma concludendo che questo, unitamente a una valutazione delle zone di concentrazione dello sfor-zo, fosse un criterio migliore nella predizioni delle rotture rispetto al massimo diametro.

Altri studi basati su un approccio di tipo strutturale hanno confrontato lo stato di sollecitazione del vaso con la sua resistenza a rottura. Avendo a disposizione una mappa della resistenza a rottura e della sollecitazione, tramite confronto puntuale, si potrebbero riuscire ad individuare i punti critici e sapere quanto margine si ha prima del cedimento. La conoscenza di un’informazione del genere tuttavia va ben oltre le attuali conoscenze e tecnologie disponibili.

(11)

Grazie ai recenti sviluppi nel campo della CFD si `e riusciti a realizzare simulazioni

sempre pi`u realistiche con cui riprodurre casi specifici di diversi pazienti. Lo

strumento numerico permette di ottenere grandezze molto spesso non rilevabili

in vivo o comunque difficili da stimare, permettendo inoltre studi di sensibilit`a

variando i fattori in gioco, cose ovviamente impossibile da fare sul paziente.

1.4 Aspetti principali della simulazione CFD

1.4.1 Geometria

Il primo passo per poter simulare il flusso sanguigno consiste nell’ottenere la geo-metria dell’arteria. Nei primi anni sono stati condotti molti studi su tubi curvi a sezione costante, in condizioni di flusso stazionario e non-stazionario, con lo scopo di chiarire le dinamiche del flusso nell’arco aortico. Questi studi ([7, 8]) hanno permesso di stabilire l’influenza della curvatura dell’arco sulle dinamiche del flusso e documentare le strutture secondarie di questo all’interno di tali geometrie. In seguito sono state utilizzate geometrie idealizzate basate su dati di imaging medico; queste geometrie presentavano alcune semplificazioni, quali ad esempio l’assenza delle diramazioni dell’arco aortico, un diametro costante del vaso e le sezioni perfettamente circolari.

Pi`u recentemente i ricercatori hanno utilizzato geometrie basate su imaging da

risonanza magnetica (MRI) per simulare il flusso all’interno dell’aorta toracica. In

questi studi (ad esempio in [9]) le dinamiche del flusso sono risultate pi`u realistiche

in confronto ai precedenti lavori su tubi curvi. Studi successivi ([10]) hanno invece utilizzato geometrie ricavate da tomografia computerizzata (CT) in cui, nonostan-te si considerasse la sezione circolare, erano presenti le diramazioni e una minima curvatura dell’arco fuori dal piano. Queste geometrie, seppur ancora idealizzate, hanno permesso di cogliere importanti caratteristiche anatomiche dell’aorta tora-cica, utili per capire quanto sia possibile idealizzare la geometria senza alterare significativamente la dinamica del flusso interno.

Attualmente le tecniche di imaging medico pi`u utilizzate per ricostruire geometrie

dell’aorta specifiche per ogni paziente sono la risonanza magnetica (MRI) e la

(12)

X ad alta risoluzione all’interno di un corpo con spessori molto sottili. Queste immagini hanno un elevato contrasto che permette di distinguere nettamente ogni parte del corpo semplicemente regolando quest’ultimo. Lo svantaggio di questa

tecnica risiede nella necessit`a di radiazioni ionizzanti per l’ottenimento delle

im-magini. La MRI (Fig.1.4) invece non necessita di radiazioni, in quanto il contrasto `

e ottenuto misurando la precessione dello spin di protoni o di altri nuclei dotati di momento magnetico quando sono sottoposti ad un campo magnetico. Per

l’ima-ging delle arterie, il sangue stesso pu`o essere utilizzato come mezzo di contrasto

rendendo perci`o la MRI molto utilizzata.

Dopo aver acquisito l’immagine, `e necessario poi ricostruire un modello 3D della

geometria. Le tecniche attualmente disponibili permettono di effettuare una seg-mentazione 3D in maniera totalmente automatizzata e in tempi brevi. Questo

ap-proccio sfrutta i livelli di intensit`a del contrasto per riconoscere automaticamente

le aree dell’immagine e ricostruire la geometria ([11]).

Figura 1.4: Sinistra: scansione MRI dell’aorta. La sezione A-A mostra dove il modello è stato tagliato in corrispondenza del tratto ascendente e dove si è imposto il profilo di velocità in ingresso. La sezione B-B mostra dove termina il modello nel tratto discendente in [[12]]. Destra: mesh di calcolo usata nella

simulazione.

1.4.2 Grandezze caratteristiche

E’ possibile definire alcune grandezze caratteristiche di notevole interesse per le

(13)

sono il Wall Shear Stress (WSS), il Time-Averaged Wall Shear Stress (TAWSS) e l’Oscillatory Shear Index (OSI).

Il Wall Shear Stress, ~τ , `e la forza tangenziale esercitata dal flusso sanguigno sulla

parete arteriosa. Per un fluido Newtoniano, il WSS `e proporzionale al gradiente

di velocit`a ∂~_∂ru ed `e dato da:

~

τ = µ∂~u

∂r (1.1)

dove µ è la viscosità dinamica del sangue e r è la direzione radiale perpendicolare

alla parete. Solitamente si applica una condizione di non-scorrimento alla parete,

per cui la velocit`a `e zero in corrispondenza di questa.

Lo sforzo di taglio mediato su un intero ciclo cardiaco pu`o essere valutato con il

Time-Averaged Wall Shear Stress che `e dato dalla seguente espressione:

T AW SS = 1

T

Z T

0

|~τ|dt (1.2)

dove |~τ | `e il modulo del WSS istantaneo e T `e il periodo (ciclo cardiaco).

Un altro parametro emodinamico molto spesso utilizzato per descrivere la

varia-zione ciclica della direvaria-zione di ~τ `e l’Oscillatory Shear Index definito come:

OSI = 1 2 1 − |1 T RT 0 ~τ dt| 1 T RT 0 |~τ|dt ! (1.3)

dove ~τ `e il vettore istantaneo del WSS. L’OSI `e una misura della deviazione del

vettore del WSS dalla sua direzione assiale predominante; assume valori da 0 a

0.5, dove un valore basso significa che il WSS `e orientato prevalentemente nella

direzione principale del flusso sanguigno mentre un valore di 0.5 significa che il

vettore del WSS, istantaneamente, non `e mai allineato con il vettore mediato nel

(14)

1.4.3 Propriet`

a del sangue

Il sangue umano `e un fluido non-Newtoniano nel quale la viscosit`a dipende dal

gradiente di velocit`a; esso presenta inoltre caratteristiche chimiche e fisiche

dipen-denti dal flusso. Caratteristica del sangue `e quella di essere tissotropico: la sua

viscosità può cioè variare nel tempo a causa dell’aggregazione e della

disgregazio-ne delle pile di globuli rossi (cosiddetti ”rouleaux”) e dell’orientamento di questi ([13]), diminuendo all’aumentare della deformazione. Alcuni esperimenti hanno poi mostrato come, sotto certe condizioni, il sangue si comporti come un fluido viscoelastico non-lineare ([14]). Nonostante siano stati proposti modelli reologici

pi`u o meno complessi per tener conto della non-omogeneit`a del sangue, negli studi

CFD delle grande arterie con gradienti di velocit`a elevati (superiori a 100 s−1), si

`

e soliti considerare il sangue un fluido Newtoniano con il 45% di ematocrito e una

viscosit`a costante pari a 3.0-4.0 mPa s ([15]). In condizioni di transitorio, pu`o

tut-tavia accadere di avere istanti di tempo e regioni localizzate in cui il gradiente di

velocit`a sia minore di 100 s−1; alcuni studi ([16]) ne hanno comunque dimostrato

lo scarso effetto sull’intero ciclo cardiaco per cui risulta ragionevole la scelta di un modello Newtoniano per la modellazione del sangue.

1.4.4 Proriet`

a delle pareti arteriose

Le pareti arteriose si deformano a causa dei carichi, e in particolare, per alcune

arterie come l’aorta toracica, questa deformazione `e grande e potrebbe non essere

approssimabile con una parete rigida. Il movimento della parete e dei tessuti intorno ha effetto sulla dinamica del flusso sanguigno e viceversa, sia in condizioni di salute che di malattia del paziente. Mettere a punto un modello accurato per il comportamento meccanico delle pareti arteriose prevederebbe di considerare

l’anisotropia e l’eterogeneit`a delle pareti e il fatto che siano composte da tre strati

(tunica intima, media e avventizia) con caratteristiche biomeccaniche diverse, come mostrato in Fig.1.5.

Modellare l’interazione tra il flusso sanguigno e la parete arteriosa rappresenta attualmente una delle maggiori sfide nel campo delle simulazioni emodinamiche; per questo nel corso degli anni sono stati proposti molti lavori per tener con-to dell’interazione fluido-struttura (FSI) e superare la schematizzazione a pareti rigide.

(15)

Figura 1.5: Schematizzazione delle pareti arteriose

La prima simulazione FSI del flusso sanguigno nell’aorta toracica `e dovuta a Gao

[17], il quale utilizz`o una geometria idealizzata dell’aorta con una parete a tre strati

(Fig.1.6). Effettu`o simulazioni in condizioni di flusso non-stazionario con una mesh

deformabile in modo da poter continuamente adattare la geometria della struttura e renderla conforme ai bordi del dominio di calcolo. Queste simulazioni risultarono avere un costo computazionale molto elevato e poca robustezza.

Figura 1.6: Modello dell’aorta utilizzato da Gao

Successivamente Kim [18] present`o una simulazione FSI in cui alle propriet`a di

(16)

cuore come condizione al bordo in ingresso. Le propriet`a di deformabilit`a

era-no uniformi nello spazio e la mesh era fissa, perci`o il costo computazionale era

nettamente inferiore a quello richiesto nelle simulazioni di Gao. I risultati erano soddisfacenti in alcune particolari situazioni fisiologiche; tuttavia l’approccio usato non permetteva di ottenere buoni risultati in presenza di grandi deformazioni.

Pi`u recentemente Lantz [12] ha studiato l’influenza della deformabilit`a delle pareti

sulla soluzione, comparando simulazioni a pareti rigide e a pareti deformabili. Ha calcolato WSS, TAWSS e OSI e ne ha confrontato le distribuzioni (Fig.1.7

e 1.8). Com’`e evidente dalle figure, l’influenza del moto delle pareti `e bassa sul

TAWSS e sull’OSI, mentre `e nettamente pi`u marcata per quanto riguarda i valori

istantanei del WSS. Se si è interessati al WSS instantaneo è perciò consigliabile

una simulazione FSI.

Figura 1.7: Confronto sul TAWSS tra modelli a pareti deformabili a diverso modulo di elasticit`a (a, b, c) e a pareti rigide al picco sistolico e alla diastole

(d, e)

Un altro approccio proposto da Brown [19] consisteva nell’assumere pareti rigide, ma fluido comprimibile, con una risposta analoga a quella che si avrebbe a causa della cedevolezza delle pareti: il costo computazionale rispetto a una simulazione FSI risultava notevolmente ridotto e l’aspetto della propagazione delle onde era ben colto; anche in questo caso si aveva la tendenza a sovrastimare il WSS istantaneo (Fig.1.9).

(17)

Figura 1.8: Confronto sul WSS istantaneo tra modelli a pareti deformabi-li (FSI) e a pareti rigide (Rigid) a MA (massima accelerazione), PS (picco

sistolico), MD (massima decelerazione) e ED (protodiastole)

Figura 1.9: Confronto sul WSS al picco sistolico tra un modello a pareti deformabili (FSI), a pareti rigide con flusso comprimibile e a pareti rigide con

flusso incomprimibile.

se invece si `e interessati ai valori istantanei del WSS si avrebbero errori troppo

elevati e quindi `e consigliabile ricorrere ad un modello a pareti deformabili.

L’introduzione di un modello a pareti deformabili comporta tuttavia la necessit`a

di algoritmi numerici molto complessi, costi computazionali pi`u elevati e la

de-terminazione delle propriet`a delle pareti arteriose specifiche per ogni paziente, le

quali sono difficili da ottenere sperimentalmente o spesso sono sconosciute.

Piut-tosto che aumentare la complessit`a e il costo computazionale, si preferisce perci`o

utilizzare un modello a pareti rigide e concentrare l’attenzione sulla scelta delle condizioni al bordo ([20]).

(18)

1.4.5 Condizioni al contorno

Nelle simulazioni CFD i parametri in ingresso sono le condizioni al contorno, che giocano un ruolo fondamentale nel modellare gli organi a valle e a monte del domi-nio, nel quale non sono presenti. Queste condizioni al bordo devono essere scelte accuratamente in accordo con i dati clinici. Condizioni al contorno inappropria-te possono dare origine a soluzioni non-fisiche. Nel seguito viene presentata una

review delle condizioni in ingresso e in uscita pi`u utilizzate nelle simulazioni di

emodinamica.

1.4.5.1 Condizioni in ingresso

Solitamente, a monte dell’arteria di interesse si utilizza in ingresso una condizione

al bordo di velocit`a con un profilo ideale piatto, parabolico o di Womersley, oppure

basato sui dati tempo-varianti ottenuti da risonanza magnetica. In particolare, la

condizione in entrata maggiormente usata `e un profilo di velocit`a piatto con un

andamento pulsato. Quest’onda pulsata `e generalmente basata sui dati

sperimen-tali riportati in [15] ed `e caratterizzata da una regione di flusso in accelerazione,

flusso in decelerazione, flusso inverso e flusso nullo (Fig.1.10).

Figura 1.10: Onda pulsata di velocit`a in ingresso

L’assunzione di un profilo di velocit`a piatto all’ingresso dell’aorta `e stato

verifi-cato tramite misure in vivo usando anemometri a filo caldo su modelli animali

(19)

aortica sia essenzialmente piatto nell’aorta ascendente con una debole componente di elicit`a.

Il sangue che fluisce all’interno dell’aorta toracica, pompato dal ventricolo sinistro, presenta una natura tridimensionale complessa. L’andamento del flusso interno va-ria da assiale durante la prima fase della sistole, elicoidale durante il picco sistolico fino a presentare complesse zone di ricircolo durante la diastole (Fig.1.11).

Figura 1.11: Andamento schematico del flusso di sangue nell’aorta toracica durante la fase di accelerazione (a), il picco sistolico (b) e la diastole (c)

Si ritiene che lo sviluppo di tali strutture elicoidali del flusso durante il picco sistolico, caratteristica comune negli individui sani in conseguenza a una naturale ottimizzazione del trasporto di sangue ([23]), sia dovuto a vari fattori:

1. Una significativa deformazione torsionale del ventricolo sinistro che ruota in senso antiorario durante la sistole per poi tornare in posizione oraria durante la diastole;

2. Le dinamiche di apertura e chiusura della valvola aortica;

3. La curvatura e la non-planarit`a dell’aorta toracica.

Meno frequentemente, vengono utilizzate onde di pressione variabili nel tempo

(Fig.1.12), solitamente disponibili, come condizioni in ingresso ([24]). Questo `e

dovuto al fatto che, nonostante il gradiente di pressione lungo l’aorta sia la

for-za motrice del flusso di sangue interno, il modello numerico `e molto sensibile ai

gradienti di pressioni tra ingresso e uscite. La determinazione di queste

pressio-ni richiede perci`o un’elevata accuratezza e piccoli errori nella pressione imposta

possono portare la velocit`a a discostarsi sensibilmente dai valori reali.

In uno studio recente ([25]) `e stato investigato l’effetto di differenti profili di

(20)

Figura 1.12: Onda pulsata di pressione in ingresso

cui non si sia interessati alla rappresentazione dei fenomeni di trasporto, non sia

necessario misurare ed imporre un profilo di velocit`a reale tridimensionale. Per

ottenere le distribuzioni del WSS `e quindi plausibile l’utilizzo di profili di velocit`a

monodimensionali misurati o ideali.

Infine, alcuni studiosi ([26]) hanno sviluppato ed implementato una condizione al bordo che accoppia un modello a parametri concentrati del cuore alla specifica

velocit`a in ingresso all’aorta del paziente. Il modello a parametri concentrati

ap-prossima le caratteristiche globali del cuore tramite l’uso di resistenze, capacitanze e induttanze, in modo da tener conto dell’interazione reciproca tra cuore ed aorta.

1.4.5.2 Condizioni in uscita

Le condizioni in uscita a valle delle arterie sono state, e continuano ad essere, un argomento di discussione e continua ricerca negli ultimi anni. I modelli utilizzati nelle simulazioni devono essere in grado di tener conto degli organi e dei vasi minori connessi all’arteria; le caratteristiche di resistenza e propagazione delle onde devono essere rappresentate correttamente utilizzando modelli adeguati.

Inizialmente, le condizioni in uscita pi`u comunemente usate nelle simulazioni CFD

delle grandi arterie sono state pressioni costanti o variabili nel tempo e profili di

velocit`a. Queste condizioni risultano tuttavia limitative in quanto non

replica-no accuratamente l’impedenza del fluido nelle diramazioni vascolari a valle. In particolare, se vengono utilizzate pressioni nulle, o uguali, per uscite differenti,

(21)

la ripartizione del flusso sar`a dettata solamente dalla resistenza al flusso nelle

diramazioni del dominio, trascurando l’effetto dominante della resistenza delle diramazioni vascolari a valle ([27]).

Inoltre, imponendo pressioni costanti e velocit`a come condizioni in uscita, la

pres-sione sanguigna calcolata non rientra nel range fisiologico e le simulazioni non

risultano utili quando il campo di pressione `e parte della soluzione cercata ([28]).

Ottenere profili di velocit`a e pressione variabili nel tempo in uscita risulta

attual-mente poco pratico; cos`ı come difficoltoso risulterebbe la successiva sincronizza-zione delle onde necessaria a replicare la situasincronizza-zione reale del flusso.

Un approccio largamente descritto in letteratura prevede di utilizzare frazioni co-stanti del flusso di sangue in ingresso come condizioni in uscita. Gli studi classici ([29]) considerano che approssimativamente il 5% del flusso sanguigno attraversi

ognuna delle tre diramazioni dell’arco aortico; non c’`e ragione tuttavia per

soste-nere che questa divisione del flusso rimanga costante durante l’intero ciclo cardiaco e per questo, nel tempo, sono state proposte percentuali basate su dati specifici del paziente ([30]).

Altri studi hanno utilizzato condizioni semplificate che includevano modelli di resi-stenze o impedenze. Uno di questi, sviluppato da Park [31], prevede di considerare gli organi e le diramazioni vascolari a valle del dominio come mezzi porosi di forma cilindrica, i cosiddetti ”pseudo-organi ”, trattati come forme di resistenza

emodi-namica (Fig.3.1). E’ stato, infatti, dimostrato che c’`e una stretta somiglianza tra il

flusso sanguigno attraverso piccoli vasi e il flusso di un fluido attraverso un mezzo

poroso; perciò tramite un’opportuna taratura delle funzioni di permabilità si può

riprodurre il flusso attraverso gli organi e le diramazioni vascolari. In [31] le

funzio-ni di permeabilit`a sono state ricavate tramite simulazioni stazionarie condotte su

una geometria idealizzata; per riprodurre il comportamento resistivo degli organi, sono state utilizzate funzioni del tipo:

Fi = −C0|ui|C1 (1.4)

dove i coefficienti C0 e C1 sono tarati per ogni uscita. L’imposizione di una

con-dizione di pressione, tuttavia, forza le onde di pressione e di portata ad essere in

fase in uscita e ci`o genera valori di pressione anomali in determinate condizioni

(22)

Attualmente, gli studi si stanno concentrando sullo sviluppo di modelli zero-dimensionali a parametri concentrati e modelli mono-zero-dimensionali a parametri distribuiti che possano fornire condizioni al contorno in uscita in simulazioni tridi-mensionali. Questi modelli (Fig.1.13) sono stati accoppiati a modelli

tridimensio-nali dell’aorta toracica. L’utilizzo di modelli di questo tipo comporta la necessit`a

di una linearizzazione prima di poterli accoppiare a modelli tridimensionali; questo porta spesso ad ottenere soluzioni periodiche che non rappresentano

necessaria-mente la reale fisiologia del flusso interno all’aorta, oltre a problemi di stabilit`a e

convergenza in determinate condizioni. In studi molto recenti si `e riusciti a tenere

in considerazione caratteristiche specifiche del paziente, come la geometria reale dell’aorta, valutando la risposta della parete arteriosa alla pressione e al flusso sanguigno ([33]).

Figura 1.13: Modelli a parametri concentrati e distribuiti

Alcune sfide ancora permangono: i problemi dove il flusso `e complesso, con

am-pie zone di flusso reverso durante parte del ciclo cardiaco, e i problemi legati alle complesse strutture che si possono sviluppare ai bordi delle uscite a causa della curvatura del vaso. A tal proposito, Formaggia ([34]) ha implementato una condi-zione al bordo di pressione totale per controllare il flusso di energia in ingresso e in uscita dal dominio di calcolo e stabilizzare i problemi con il flusso in corrispon-denza dei bordi. Questo approccio richiede una formulazione non convenzionale

delle equazioni di Navier-Stoker e non `e ancora stato provato che sia in grado di

risolvere i problemi di instabilit`a nelle simulazioni emodinamiche.

1.4.6 Equazioni del problema

I flussi tridimensionali possono essere sufficientemente descritti in forma matema-tica dalle equazioni differenziali alle derivate parziali conosciute come equazioni di Navier-Stokes.

(23)

Per un fluido incomprimibile, omogeneo e Newtoniano, quale si assume essere il sangue in quasi tutti gli studi, le equazioni possono essere scritte come:

ρ∂~u

∂t + ρ(~u · ∇)~u = −∇p + µ∇

2_~_u

∇ · ~u = 0

(1.5)

dove le variabili principali sono il vettore velocit`a ~u = [u, v, w] e la pressione p

che variano nello spazio x, y, z e nel tempo t. L’equazione dell’energia, per flusso incomprimibile, risulta disaccoppiata e risolvibile separatamente. Queste equazio-ni hanno soluzione analitica solo per casi semplici e di poco interesse, mentre per flussi generici che coinvolgono complesse geometrie e complesse condizioni al

bor-do, `e necessario risolvere il sistema di equazioni tramite metodi numerici. I metodi

numerici maggiormente utilizzati per risolvere le equazioni di Navier-Stoker sono: il metodo agli elementi finiti (FEM) e il metodo ai volumi finiti (FVM). Questi utilizzano formulazioni diverse delle equazioni di Navier-Stokes, entrambi in forma integrale. Oltre alla formulazione, i due metodi differiscono per il metodo di di-scretizzazione delle derivate. Non essendo interesse di questo studio approfondire le differenze tra i due metodi e stabilire i rispettivi vantaggi e svantaggi, si rimanda a testi specialistici per maggiori dettagli.

I codici maggiormente utilizzati negli studi relativi all’aorta toracica sono pacchetti commerciali, come ad esempio STAR-CD[35], Fluent[36] e CFX[37]. In aggiunta a questi, vengono utilizzati anche software open-source, quali OpenFOAM[38] e SimVascular[39].

1.4.7 Parametri secondari

In letteratura vengono utilizzati alcuni parametri secondari per descrivere il com-portamento del flusso sanguigno all’interno dell’aorta, quali il numero di Womer-sley e il numero di Dean.

Il numero di Womersley (α o W o) `e il parametro adimensionale solitamente

utilizzato per descrivere fluissi non-stazionari pulsati ed `e definito come ([40]):

α = D

2 r ω

(24)

dove ω = 2π/T è la frequenza di oscillazione e ν = µ/ρ è la viscosità cinematica.

Il numero di Womersley `e essenzialmente un parametro di frequenza che misura

l’instabilit`a del flusso in relazione alle sue forze viscose. Per basse frequenze (α <

1) dominano le forze viscose, le onde di velocit`a e di pressione sono in fase e il

profilo di velocit`a `e parabolico. Per alte frequenze dominano le forze inerziali

non-stazionarie, c’`e un ritardo tra le onde di velocit`a e di pressione e il profilo di

velocit`a risulta piatto.

Il numero di Dean, ricavato dalla soluzione analitica per un flusso viscoso

stazio-nario e completamente sviluppato in un tubo circolare curvo ([41]), `e legato invece

all’influenza della curvatura sul flusso stazionario ed `e definito come:

De = Rer r

R (1.7)

dove r è il raggio del tubo e R è il raggio di curvatura. Il numero di Dean è una

misura del rapporto tra le forze inerziali centrifughe e le forze viscose, in maniera analoga alla definizione del numero di Reynolds. All’aumentare del numero di Dean, gli effetti delle forze centrifughe diventano maggiori e aumentano i moti secondari.

E’ interessante analizzare il comportamento del flusso interno in presenza di curva-ture e biforcazioni. Nel primo caso (Fig.1.14) si nota come le particelle fluide siano forzate a cambiare direzione e accelerare per mantenere il flusso assiale.

L’acce-lerazione `e data dall’elevato gradiente di pressione che si sviluppa. Le particelle

allineate con l’asse sono quelle con maggiore velocit`a ed inerzia e perci`o

difficil-mente vengono deflesse. Il fluido vicino alla parete ha meno inerzia e perci`o `e

maggiormente deflesso. Conseguentemente a ciò, le velocità più elevate non

saran-no nel centro ma vicisaran-no alla parete esterna della curvatura. Lo spostamento genera inoltre moti secondari sotto forma di vortici contro-rotanti sul piano trasversale.

L’asimmetria del profilo di velocit`a implica che in tubo curvo si sviluppi uno sforzo

di taglio elevato sulla parete esterna e uno sforzo minore su quella interna.

Nel caso in cui sia presente una biforcazione (Fig.1.15), il flusso stazionario `e

forzato a dividersi nelle diramazioni una volta raggiunta quest’ultima. Il gradiente di pressione non riesce a deviare e allineare le particelle a maggiore inerzia lungo

(25)

Figura 1.14: Flusso stazionario in un tubo curvo

interne della biforcazione. Come risultato lo sforzo di taglio risulta pi`u elevato in

corrispondenza delle pareti interne.

(26)

Capitolo 2

OpenFOAM

2.1 Generazione della griglia

Per la generazione della griglia `e possibile ricorrere ad un’utility fornita dal

soft-ware per costruire griglie sulla geometria assegnata oppure utilizzare un softsoft-ware

esterno, in questo caso si `e utilizzato Gambit 2.4.6, per realizzare la mesh sulla

geometria tridimensionale e poi convertirla in un formato idoneo per OpenFOAM. Si sono utilizzate griglie non-strutturate tetraedriche per quanto riguarda il volu-me dell’aorta, volu-mentre sono state utilizzate griglie strutturate a prismi per quanto riguarda i volumi cilindrici dei mezzi porosi. Le caratteristiche specifiche delle griglie verranno analizzate nei capitoli successivi.

Le griglie sono state controllate prima di essere utilizzate, in particolar modo si

sono controllati il grado di non-ortogonalit`a delle celle, la skewness delle facce e

l’aspect ratio, in modo tale da non avere problemi numerici nello svolgimento delle simulazioni.

2.2 Discretizzazione delle equazioni

Il metodo dei volumi finiti, utilizzato da OpenFOAM, richiede che le equazioni di Navier-Stokes siano soddisfatte in forma integrale per ogni volume di controllo. Il dominio computazionale viene discretizzato in volumi finiti e le equazioni differen-ziali trasformate in un sistema di equazioni algebriche, la cui soluzione rappresenta

(27)

Capitolo 2. OpenFOAM

i valori assunti in media dalle variabili in ogni cella. Le variabili sono assegnate nel

centroide di ogni cella, la quale `e delimitata da un certo numero di facce. Il primo

passo per la discretizzazione delle equazioni richiede l’applicazione del teorema di Gauss per trasformare gli integrali di volume in integrali di superficie. Fatto questo si procede alla discretizzazione delle equazioni: si utilizza uno schema centrato del secondo ordine per la discretizzazione spaziale e uno schema di Eulero del primo ordine per la discretizzazione temporale.

2.3 Algoritmi di OpenFOAM

La discretizzazione delle equazioni di Navier-Stokes incomprimibili porta ad un

sistema accoppiato pressione-velocit`a. Risolvere il sistema completamente

accop-piato `e un approccio computazionalmente costoso; si ricorre perci`o ad algoritmi

segregati per disaccoppiare le equazioni. I pi`u comuni sono gli algoritmi

SIM-PLE e PISO, entrambi implementati in OpenFOAM: SIMSIM-PLE `e comunemente

usato per risolvere problemi stazionari, mentre PISO `e indicato per i problemi

non-stazionari (si veda come esempio [42]). A questi si aggiunge, in OpenFOAM,

l’algoritmo PIMPLE, che `e un ibrido tra PISO e SIMPLE (utilizzato ad esempio

in [43] e [44]). SIMPLE

Il SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) permette di

accoppiare le equazioni di Navier-Stokes con una procedura iterativa che pu`o essere

riassunta come segue:

• Assegnazione delle condizioni al bordo

• Risoluzione dell’equazione della quantit`a di moto discretizzata per calcolare

un campo di velocit`a approssimato

• Calcolo del flusso di massa sulle facce delle celle

• Risoluzione dell’equazione della pressione ed applicazione di un sottorilassa-mento per stabilizzare il calcolo

• Correzione del flusso di massa sulle facce delle celle

(28)

• Aggiornamento delle condizioni al bordo • Ripetizione fino a convergenza

PISO

Il PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) `e un metodo efficiente per

risolvere le equazioni di Navier-Stoker in problemi non-stazionari.

La procedura iterativa seguita `e la medesima del SIMPLE a meno delle seguenti

differenze:

• Non `e applicato alcun sotto-rilassamento nel calcolo della pressione

• Il passo di correzione della quantit`a di moto viene ripetuto un numero di

volte pari ai passi di correzione non-ortogonali scelti; generalmente 2 volte.

PIMPLE

Il PIMPLE `e un algoritmo ibrido tra SIMPLE e PISO e presenta alcune

caratte-ristiche comuni ai due algoritmi.

La procedura iterativa seguita `e la medesima del PISO a meno delle seguenti

differenze:

• E’ applicato un sotto-rilassamento nel calcolo della pressione, come nel caso del SIMPLE

• La risoluzione dell’accoppiamento pressione-velocit`a `e ripetuta un numero di

volte pari al numero di OuterCorrectors scelti. Se gli OuterCorrectors sono pari a 1, l’algoritmo coincide col PISO.

2.4 Risoluzione dei sistemi lineari

Per la risoluzione del sistema lineare risultante dalla discretizzazione delle

(29)

• PCG/PBiCG: risolve il sistema con il metodo del gradiente coniugato (per matrici simmetriche) o biconiugato (per matrici asimmetriche) utilizzando un pre-condizionamento:

– DIC: fattorizzazione diagonale incompleta di Cholesky – DILU: fattorizzazione diagonale LU

– diagonal: precondizionatore diagonale – none: nessun precondizionatore

• smoothSolver: risolve il sistema utilizzando uno smoother ; GaussSeidel `e

il pi`u affidabile, DIC pu`o offrire migliore convergenza;

• GAMG: risolve il sistema generando una soluzione rapida su una griglia

rada, inizializza poi questa soluzione su una griglia pi`u raffinata per trovare

una soluzione pi`u accurata;

• diagonal: risolve il sistema con un solutore diagonale per sistemi espliciti.

In particolar modo, nelle analisi che seguono, si `e utilizzato un solutore PCG

con pre-condizionamento DIC per il campo di pressione e un solutore PBiCG con

pre-condizionamento DILU per il campo di velocit`a.

2.5 Solutori di OpenFOAM

• simpleFoam

SimpleFoam `e un solutore adatto a risolvere flussi stazionari incomprimibili.

E’ un solutore iterativo, adatto per soluzioni stazionarie. Non `e presente un

termine temporale. SimpleFoam usa l’algoritmo SIMPLE, descritto in

pre-cedenza, per gestire l’accoppiamento pressione-velocit`a e impiega un metodo

di soluzione sotto-rilassato. • pisoFoam

PisoFoam `e un solutore per flussi incomprimibili e non stazionari. Non `e

limitato a flussi laminari, ma `e possibile specificare un modello di turbolenza.

(30)

Capitolo 2. OpenFOAM • pimpleFoam

PimpleFoam costituisce un compromesso tra simpleFoam e pisoFoam, ed `e

usato per risolvere flussi incomprimibili non-stazionari con grandi step tem-porali, utilizzando l’algoritmo PIMPLE. Permette di incrementare il numero

di Courant, grazie alla possibilit`a di utilizzare un passo temporale variabile

per l’avanzamento della simulazione, e raggiungere velocemente la soluzione

grazie al sotto-rilassamento. Questo sar`a l’algoritmo utilizzato per le analisi

condotte nel lavoro.

2.6 Condizioni al contorno in OpenFOAM

Le condizioni al contorno implementate in OpenFOAM e utilizzate nel lavoro sono le seguenti:

• fixedValue

La condizione fixedValue permette di assegnare alle variabili in questione un valore, specificato dall’utente sul contorno. E’ anche possibile assegnare le variabili come funzioni dello spazio (valore non uniforme) o del tempo (valore non costante) specificando per un certo numero di istanti il valore da assegnare alla variabile. La condizione fixedValue viene ad esempio utilizzata per imporre una condizione di no-slip alla parete.

• zeroGradient

La condizione zeroGradient applica una derivata prima nulla nella direzione

normale alla faccia locale (della singola cella) del contorno. `E la condizione

generalmente usata nei casi in cui non si hanno informazioni addizionali (in

un condotto di cui si conosce velocit`a d’ingresso e pressione in uscita, questa

pu`o essere usata per la pressione in ingresso e la velocit`a in uscita).

• pressureInletOutletVelocity

La condizione pressureInletOutletVelocity `e particolarmente indicata nel

ca-so in cui alcune frontiere siano di ingresca-so-uscita. Questa condizione agisce

infatti come zeroGradient quando il flusso `e uscente dal dominio, mentre,

quando il flusso è entrante, la velocità è ottenuta dalla componente normale

(31)

Capitolo 3

Modello a ”pseudo-organi”

Il primo studio in cui `e stato introdotto il modello di ”mezzi porosi” `e dovuto

a Shalman[45], il quale tratta i vasi sanguigni come mezzi porosi caratterizzando

questa natura porosa tramite funzioni di permeabilit`a. In questo studio `e stato

mostrato come i mezzi porosi possano essere usati per modellare la resistenza emodinamica dei vasi sanguigni. Tuttavia, lo studio era limitato a vasi stenotici, e non all’intera aorta.

Solo successivamente, Park[31] ha realizzato uno studio che teneva conto dell’intera aorta, considerando gli organi e le vascolature minori composte da mezzi porosi. Questi ”pseudo-organi” sono stati usati per rimpiazzare i veri organi connessi alle maggiori diramazioni dell’aorta e le loro caratteristiche fluidodinamiche sono state

determinate usando una funzione di permabilit`a (Fig. 3.1).

(32)

Capitolo 3. Modello a ”pseudo-organi”

Inizialmente sono state condotte simulazioni stazionarie bidimensionali

assialsim-metriche per ricavare le funzioni di permeabilit`a di ogni pseudo-organo; ogni

dira-mazione `e stata modellata come un tubo circolare che termina nello pseudo-organo.

Successivamente `e stata condotta una simulazione tridimensionale non

staziona-ria dell’intera aorta per valutare gli effetti del modello utilizzando una geometstaziona-ria idealizzata (Fig.3.2).

Figura 3.2: Geometria tridimensionale dell’aorta utilizzata in [31] (A: dettaglio dell’aorta ascendente)

Da un punto di vista matematico, l’utilizzo dei mezzi porosi comporta

l’intro-duzione di un termine sorgente Fi all’interno dell’equazione del momento per

rappresentare la perdita di quantit`a di moto attraverso i mezzi porosi:

ρ∂~u

∂t + ρ(~u · ∇)~u = −∇p + µ∇

2_~_{u + ~}_F

i (3.1)

In un primo momento `e stata scelta una funzione composta da un termine di

perdi-te viscose di Darcy e un perdi-termine di perdiperdi-te inerziali. Poichè la velocità del sangue è

bassa negli organi, si `e trascurato il termine inerziale. La funzione risultava quindi

lineare nella velocit`a:

Fi = −

µ

αui

(3.2)

(33)

non pu`o essere assunta costante in quanto l’approssimazione di flusso Newtoniano

nei capillari non `e valida. A causa del fenomeno dell’autoregolazione vascolare, una

funzione lineare non `e in grado di soddisfare l’accoppiamento pressione-velocit`a

all’interno dei mezzi porosi.

In [31] `e stata utilizzata una funzione power-law del tipo:

Fi = −C0|ui|C1 (3.3)

dove i coefficienti C0 e C1 sono coefficienti empirici per ogni organo, derivati dalle

simulazioni bidimensionali.

La taratura dei coefficienti `e stata effettuata utilizzando come condizioni in

ingres-so tre coppie di valori della portata e della pressione di riferimento. Considerando

le condizioni di portata minima, media e massima, si `e assunto che:

– alla portata media, data da:

˙ mm = ρAinletum = ρAinlet T Z T 0 u(t)dt (3.4)

con u(t) profilo temporale di velocit`a e T periodo del battito cardiaco,

corri-sponda una pressione di 105 mmHg (valore medio della pressione sanguigna);

– alla massima portata, data da ˙mmax = 4 · ˙mm, corrisponda una pressione di

150 mmHg;

– alla minima portata, data da ˙mmin = 0.2 · ˙mm, corrisponda una pressione di

65 mmHg;

In uscita dai mezzi porosi si `e utilizzata invece la pressione venosa, pari a 10mmHg,

in quanto pi`u stabile di quella arteriosa.

Le funzioni di permeabilit`a, con i coefficienti cos`ı ricavati, sono state utilizzate

nella simulazione tridimensionale non-stazionaria, insieme a un’onda di pressione cardiaca reale come condizione in ingresso (Fig. 3.3) e una pressione costante pari a 10mmHg come condizione in uscita dai mezzi porosi.

Rappresentando su un piano portata-pressione i tre punti (condizioni di portata media, minima e massima) si ottiene quanto mostrato in Fig.3.4. Si nota facilmente

(34)

Figura 3.3: Profilo dell’onda di pressione cardiaca in ingresso utilizzata in [31]

come la migliore interpolazione dei punti sarebbe di tipo esponenziale ed `e infatti

la strada seguita in [31], in cui si pone l’esponente della velocit`a pari a 0.25. Una

taratura di questo tipo permette inoltre di avere pressioni all’interno del range

fisiologico e di poter condurre simulazioni in cui l’incognita `e rappresentata proprio

dalla pressione.

Figura 3.4: Posizione dei tre punti nel piano portata-pressione

3.1 Leggi di permeabilit`

a in OpenFOAM

Nella versione 2.3.0 di OpenFOAM, utilizzata per le simulazioni, `e disponibile

una funzione, fvOptions, con la quale inserire un termine sorgente all’interno delle equazioni del moto.

(35)

In questo modo `e possibile introdurre regioni di porosit`a all’interno del dominio

di calcolo, assegnando una legge di permeabilit`a.

Il software presenta 4 possibilit`a per fare ci`o:

• Darcy

Il termine sorgente inserito nell’equazione di bilancio della quantit`a di moto

ha la forma di una legge di Darcy, lineare nella velocit`a:

Fi = −µd~u (3.5)

dove d `e il coefficiente di Darcy assegnato dall’utente.

• Darcy-Forchheimer

Il termine sorgente presenta una componente inerziale, in aggiunta alla com-ponente viscosa di Darcy:

Fi = − µd + ρ|~u| 2 f ~ u (3.6)

dove d `e il coefficiente di Darcy e f `e il coefficiente di Forchheimer.

• fixedCoeff

Introduce un termine sorgente nella forma:

Fi = −ρref(α + β|~u|) ~u (3.7)

dove ρref `e una pressione di riferimento, da specificare nel caso di flusso

comprimibile; ~u `e la velocit`a della particella fluida ed α e β sono coefficienti

scelti dall’utente. • powerLaw

Il termine sorgente presenta una dipendenza esponenziale del tipo:

Fi = −ρC0|~u|(C1−1)~u (3.8)

dove C0 `e il termine lineare e C1 `e il termine esponenziale. Il software non

(36)

3.2 Condizioni utilizzate nel presente lavoro

Come gi`a detto nel paragrafo precedente tuttavia, in OpenFOAM non `e possibile

implementare una legge esponenziale dove il termine |~u| sia elevato alla 0.25, ma

solamente leggi con la concavit`a verso l’alto o, al massimo, lineari. Si `e scelto

dunque di procedere secondo un approccio semplificato, che tuttavia allontana le

pressioni dal range fisiologico e riduce l’attendibilit`a delle frazioni di flusso che

en-trano in ogni diramazione. Viene condotta una sola simulazione stazionaria, sulla stessa geometria ideale utilizzata in [31], con una portata in ingresso pari a quella media e si usa una legge di Darcy, tarando il coefficiente d, uguale per le 4 dirama-zioni, in modo che la pressione nell’aorta risulti pari a 105 mmHg. In questo modo

si ottiene un flusso che `e mediamente ben descritto, ma che istantaneamente pu`o

allontanarsi, soprattutto per quanto riguarda la pressione, da valori attendibili.

Ricavati cos`ı i valori del coefficiente di Darcy per le funzioni di permeabilit`a, sono

state effettuate inizialmente due simulazioni a basso Reynolds sulla geometria reale pulita e sulla geometria reale con mezzi porosi, per valutare gli effetti del modello a ”pseudo-organi” e successivamente simulazioni con mezzi porosi ad alto Reynolds

in cui sono state eseguite prove di sensibilit`a sul coefficiente di Darcy e sul numero

di Reynolds stesso.

In [46] sono state condotte simulazioni sulla geometria reale, con condizioni in

uscita di pressione imposta; da questo lavoro `e emersa l’impossibilit`a di raggiungere

valori del numero di Reynolds superiori a 50, valore nettamente inferiore a quelli

reali, a causa del sopraggiungere di fenomeni di instabilit`a numerica. Si `e pensato

perci`o, nel presente studio, di ricorrere all’introduzione dei mezzi porosi. Sempre

in [46], `e stato infatti evidenziato come l’utilizzo di mezzi porosi, in quel caso su

una geometria ideale dell’aorta toracica, permetta di arrivare a numeri di Reynolds nell’ordine di grandezza del Reynolds reale. Sono state quindi condotte simulazioni sulla geometria reale utilizzata in [46] con l’aggiunta dei mezzi porosi in uscita

dalle diramazioni dell’aorta. Su queste simulazioni `e stata fatta quindi un’analisi

(37)

Capitolo 4

Simulazioni del flusso a basso

Reynolds in una geometria reale:

effetto delle condizioni di uscita

Per valutare le caratteristiche del modello a ”pseudo-organi” accoppiato ad una geometria reale tridimensionale ricavata da CT, sono state effettuate due simu-lazioni a basso numero di Reynolds, pari a 50, imponendo, nel primo caso, una condizione di pressione costante e pari a 0 in uscita e imponendo, nel secondo caso, il modello a ”pseudo-organi”, presentato precedentemente.

Il limite sul numero di Reynolds `e legato ai problemi di instabilit`a numerica che

possono avvenire per la geometria reale per Reynolds superiori a 50. Per un

confronto tra le due casistiche, si `e quindi optato per questo valore del Reynolds,

sebbene sia notevolmente inferiore al valore reale, che `e nell’ordine dei 3000.

Viene effettuato un confronto in termini di Wall Shear Stress, linee di corrente e portate in uscita.

4.1 Geometria

La geometria utilizzata per le simulazioni, riportata in Fig 4.1, `e stata ricavata da

tomografia computerizzata. La tomografia computerizzata, in radiologia,

(38)

Capitolo 4. Simulazioni a basso Reynolds

diagnostica per immagini, che sfrutta radiazioni ionizzanti (raggi X) e consente di riprodurre sezioni o strati (tomografia) corporei del paziente ed effettuare

elabo-razioni tridimensionali. Per la produzione delle immagini `e necessario l’intervento

di un elaboratore di dati (computerizzata)[47].

Figura 4.1: Geometria reale dell’aorta toracica da scansione CT

La TC, grazie ad una valutazione statistico-matematica dell’assorbimento di raggi X da parte delle strutture corporee esaminate, consente di ottenere immagini di

sezioni assiali del corpo umano. La TC pu`o essere considerata una delle

inno-vazioni pi`u importanti nello sviluppo della radiologia dopo la comparsa dei raggi

X, in quanto il suo utilizzo ha permesso di riconoscere lesioni prima difficilmente dimostrabili.

L’apparecchiatura `e composta da una unit`a di scansione chiamata gantry, da un

generatore, dal lettino del paziente, da un elaboratore elettronico, da una console di comando dove vengono visualizzate le immagini ed, infine, da un sistema di registrazione dei dati acquisiti.

Inizialmente le immagini venivano generate solo sul piano assiale, perpendicolare

cio`e all’asse lungo del corpo, ma oggi, con il movimento del gantry, si possono

acquisire direttamente immagini in coronale. Le macchine attuali (TC spirale) acquisiscono direttamente un volume intero (acquisizione spirale), grazie al gantry

(39)

che gira continuamente mentre il lettino si muove in senso assiale. Questo permette

di effettuare successive ricostruzioni tridimensionali pi`u facilmente e con meno

spesa biologica.

In Fig. 4.2 vengono mostrati i componenti principali della macchina e lo schema generale di funzionamento della tomografia computerizzata.

Per quanto riguarda la geometria in esame, nel tratto aortico ascendente `e presente

un aneurisma, come `e possibile notare dal rigonfiamento del vaso, che presenta in

questa zona un diametro sensibilmente maggiore rispetto al tratto discendente. In questa geometria sono inoltre presenti solo due diramazioni a partire

dall’ar-co, in quanto la scansione `e stata tagliata a monte della biforcazione con cui la

prima d`a origine alle arterie brachiocefalica e carotidea. La frontiera di ingresso

corrisponde invece alla sezione immediatamente a valle della valvola aortica e, con buona approssimazione, ha una forma circolare con diametro pari a 35 mm.

Figura 4.2: Alto: lettino e gantry. Basso: Schema di funzionamento della Tomografia Computerizzata

(40)

4.2 Griglia

Per la prima simulazione `e stata utilizzata la geometria mostrata in Fig.4.1; la

griglia `e non-strutturata e composta interamente da elementi tetraedrici, che

me-glio si adattano alla complessa geometria in esame. Nella Tab.4.1 sono descritte le caratteristiche della griglia.

Numero di celle 1340530

Dimensione caratteristica [mm] 1.0

Skewness massima 0.871

Tabella 4.1: Dettagli della griglia su geometria reale

Per la seconda simulazione `e stata invece utilizzata la geometria mostrata in Fig.

4.3 in cui, alla geometria reale, sono stati aggiunti i mezzi porosi, nella forma di tre volumi cilindrici, a valle di ogni uscita. I volumi presentano una lunghezza arbitraria di 20 mm e una sezione pari alla sezione di uscita di ogni diramazione. I

coefficienti di permeabilit`a utilizzati sono stati ricavati tramite simulazioni su una

geometria ideale con mezzi porosi, come descritto nel Cap. 3. Il volume dell’aorta `

e discretizzato con una griglia non-strutturata tetraedrica mentre i volumi dei cilindri sono discretizzati con una griglia strutturata a prismi. Nella Tab. 4.2 sono descritte le caratteristiche della griglia.

Griglia Dimensione caratteristica [mm] Numero di celle Skewness massima

Aorta 1.0 1387453

1 1.0 7720

2 1.0 5360

3 1.0 24880

TOT 1425413 0.809

Tabella 4.2: Dettagli della griglia con mezzi porosi

4.3 Condizioni al contorno e solutori

Le condizioni al contorno, utilizzate nelle due simulazioni, sono le seguenti:

(41)

Figura 4.3: Geometria dell’aorta toracica con mezzi porosi

• in uscita dalle diramazioni si assegna una condizione di velocit`a

pressureIn-letOutletVelocity e una pressione pari a 0 Pa;

• sulla parete si assegna una condizione di no-slip (velocit`a nulla).

Per quanto riguarda la condizione sulla pressione in uscita dalle diramazioni, nel primo caso viene imposta a valle delle uscite, mentre nel secondo caso a valle dei mezzi porosi.

Il profilo di velocit`a di Fig.4.4 `e stato discretizzato, tramite uno script Matlab,

estraendone 50 punti, che vengono successivamente interpolati da OpenFOAM. Il profilo presenta una zona di accelerazione, a cui, dopo il picco sistolico, segue una zona di decelerazione, una zona di flusso inverso, dovuto alla differenza di pressione tra l’aorta e il cuore nel momento di chiusura della valvola, e una zona di flusso nullo.

(42)

Figura 4.4: Onda pulsata di velocit`a in ingresso

• pimple come solutore, in quanto implicito, non stazionario e in grado di

ge-stire un modello di porosit`a, nel caso della simulazione con ”pseudo-organi”;

• tolleranze nel calcolo delle variabili pari a 10−6_;

• 2 cicli di correzione nell’algoritmo PISO;

• per il campo di pressione PCG come risolutore dei sistemi lineari e DIC come

precondizionatore, per il campo di velocit`a PBiCG e DILU (cfr. 2.4);

• schemi di discretizzazione nello spazio centrati del secondo ordine e nel tempo del primo ordine;

• numero di Courant massimo pari a 5;

• fluido Newtoniano, flusso laminare e incomprimibile;

• tempo di simulazione pari a 4 s, corrispondenti a 5 cicli cardiaci;

• coefficiente di Darcy con cui si impone la legge di permeabilit`a nei mezzi

porosi d = 4.524 · 108 _m−2_;

• viscosit`a cinematica ν = 2.1 · 10−4m2_s−1_{, con cui il Reynolds, basato sulla}

velocit`a in ingresso al picco sistolico e il diametro della sezione d’ingresso,

(43)

4.4 Risultati

Nel seguito viene mostrato un confronto dei risultati delle due simulazioni in ter-mini di visualizzazioni del Wall Shear Stress, visualizzazione delle linee di corrente e visualizzazioni delle onde di portata.

4.4.1 Linee di Corrente

Per le linee di corrente, vengono riportate le visualizzazioni in 5 istanti di interesse del ciclo cardiaco: 0.15 s (massima accelerazione), 0.25 s (picco sistolico), 0.35 s (massima decelerazione), 0.45 s (flusso inverso) e 0.7 s (diastole). Vengono

inol-tre riportati, in Tab.4.3, i valori massimi, in [m/s], raggiunti dalla velocit`a negli

istanti analizzati, per le due simulazioni. I valori della velocit`a sono stati infatti

normalizzati utilizzando il valore massimo che la variabile assume in ogni istante analizzato.

Pressione Imposta Mezzi Porosi

t = 0.15 s 0.796 0.488

t = 0.25 s 1.339 1.136

t = 0.35 s 0.446 0.446

t = 0.45 s 0.655 0.094

t = 0.70 s 0.025 0.010

Tabella 4.3: Valori massimi della velocit`a in [m/s] nei 5 istanti analizzati

Figura 4.5: t = 0.15 s (massima accelerazione) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

(44)

Figura 4.6: t = 0.25 s (picco sistolico) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

Figura 4.7: t = 0.35 s (massima decelerazione) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

Figura 4.8: t = 0.45 s (flusso inverso) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

• nella fase di accelerazione, il flusso appare molto simile in entrambe le

simu-lazioni, con l’unica differenza del massimo di velocit`a: nella simulazione a

pressione imposta, questo viene raggiunto in corrispondenza dell’uscita della prima diramazione; mentre nella simulazione con mezzi porosi, si ha il

massi-mo di velocit`a in corrispondenza della curvatura della seconda diramazione,

(45)

Figura 4.9: t = 0.7 s (diastole) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

• al picco sistolico, si nota un comportamento pressoch`e uguale del flusso, che

inizia a mostrare la comparsa di un’elicit`a a partire dal tratto

ascenden-te. Per quanto riguarda i massimi di velocit`a, la situazione appare come

nell’istante precendente;

• nella fase di decelerazione, si hanno velocit`a elevata nel tratto discendente

nella simulazione con condizioni di pressione e velocit`a elevata ancora nella

zona di curvatura della seconda diramazione nella simulazione con mezzi porosi. Il comportamento globale del flusso si presenta simile con un aumento dell’arrotolamento del flusso.

• nella fase di flusso inverso, si ha la comparsa di una zona di ricircolo in

corrispondenza dell’aneurisma con picchi di velocit`a all’interno di questa

zona e in corrispondenza della curvatura tra arco aortico e tratto discendente. • nell’istante di flusso nullo, la zona di ricircolo `e aumentata ulteriormente

occupando tutta la regione dell’aneurisma, in cui sono presenti le velocit`a

pi`u elevate.

Tenendo in considerazione il fatto che i valori massimi della velocit`a sono molto

sensibili al numero di linee di corrente visualizzate, al loro raggio di curvatura,

lunghezza e posizione, da un confronto di questi valori, si pu`o concludere come

il comportamento qualitativo, e in alcuni istanti quantitativo, del flusso interno all’aorta sia molto simile nelle due simulazioni. Si nota inoltre come la

presen-za dei mezzi porosi fornisca una velocit`a limitata a valori pi`u bassi. La fisica

(46)

in cui sono presenti l’elicit`a del flusso nella prima met`a del ciclo e la zona di

ri-circolo in corrispondenza dell’aneurisma, caratteristiche del flusso rilevate anche sperimentalmente (si veda ad esempio [23]).

4.4.2 Wall Shear Stress

Per il Wall Shear Stress vengono mostrate le visualizzazioni nei 3 istanti: 0.25 s (picco sistolico), 0.35 s (massima decelerazione) e 0.45 s (flusso inverso) in quanto,

negli altri istanti, l’ordine di grandezza del Wall Shear Stress `e molto inferiore a

quello degli istanti analizzati. In Tab. 4.4 vengono riportati i valori massimi, in

[m2_s−2_{], il software divide, infatti, il taglio per la densit`}_{a, del WSS negli istanti}

analizzati, nelle due simulazioni. I valori dello sforzo di taglio sono stati infatti normalizzati utilizzando il valore massimo che la variabile assume in ogni istante analizzato.

Pressione Imposta Mezzi Porosi

t = 0.25 s 0.304 0.414

t = 0.35 s 0.430 0.145

t = 0.45 s 0.128 0.116

Tabella 4.4: Valori massimi del WSS in [m2s−2] nei 3 istanti analizzati

Figura 4.10: t = 0.25 s (picco sistolico) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

E’ possibile fare le seguenti considerazioni:

• al picco sistolico, si osservano picchi nello sforzo di taglio in corrispondenza della strizione tra arco aortico e tratto discendente e della curvatura della

(47)

Figura 4.11: t = 0.35 s (picco di massima decelerazione) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

Figura 4.12: t = 0.45 s (flusso inverso) Sinistra: condizione di pressione imposta. Destra: condizione con mezzi porosi

seconda diramazione; in accordo con i picchi riscontrati sulla velocit`a al

medesimo istante;

• nella fase di decelerazione, si osserva un valore globalmente molto basso dello sforzo nella simulazione a pressione imposta, con un picco elevato in corrispondenza di una piccola regione all’uscita della seconda diramazione; stesso comportamento si osserva in presenza dei mezzi porosi, ma con valori

pi`u elevati dello sforzo su tutta la seconda diramazione:

• nella fase di flusso inverso, si hanno valori dello sforzo globalmente molto bassi in entrambe le simulazioni, con un picco in corrispondenza della prima diramazione nella simulazione a pressione imposta, in accordo con

l’anda-mento delle velocit`a allo stesso istante, e valori man mano crescenti sulle

diramazioni in presenza dei mezzi porosi.

Osservando le visualizzazioni dello sforzo e i valori massimi raggiunti dal WSS nei