OVALI POLINOMIALI E POLINOMI
Gli Ovali Polinomiali visti nella prima parte di questo studio, nell’ambito dello studio delle funzioni meromorfe prodotto di monomi complessi del tipo (X – A), o dei loro inversi, hanno la loro corrispondenza nel campo reale. Basta far corrispondere l’asse y con l’asse immaginario jy, od Xi, l’asse x col corrispondente asse reale x, od Xr, e le relative variabili.
In generale, invece, i polinomi nel campo complesso, avendo radici complesse, non possono avere corri spondenza nel campo reale se non in casi particolari.
Come vedremo, i casi particolari sono: 1) radici reali 2) coppie di radici complesse j -coniugate. In tal caso i coefficienti del polinomio sono tutti reali.
Esiste però un’interessante analogia tra gl i ovali polinomiali ed i polinomi.
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Ricordiamo che la struttura del luogo geometrico dei punti che costituiscono gli ovali fa riferimento a dei particolari punti che possono essere chiamati “centri” degli ovali stessi: per definizione, il prodotto delle distanze geometriche di ogni punto appartenente alla curva da questi centri deve essere una costante k>0.
Si può allora confrontare ogni tipo di ovale con il polinomio complesso che ha per radici punti complessi corrispondenti a quelli reali che sono i centri dell’ovale.
Per il polinomio complesso di grado n, ognuno di questi n -punti complessi è una radice che lo annulla. Per l’n-ovale polinomiale l’insieme dei suoi centri, che normalmente non sono punti appartenenti alla curva, coinciderà con la curva stessa nella condizione in cui diventa degenere, cioè per k=0.
Considerando la costante k come un parametro, come si vede in figura, al diminuire di k gli ovali si separano sempre più e contemporaneamente si stringono attorno ai loro centri, fino a coincidervi per k=0.
Il comportamento sarebbe geometricamente, e graficamente, identico se si prendessero sul piano complesso i moduli dei numeri complessi, scrivendo ad esempio k = |X-A| |X-B| |X-C|, ma così facendo non potremo riferirci direttamente ai polinomi complessi. Scriviamo invece Kr + Ki j = K1 = (X -A)(X-B)(X-C) e teniamo
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presente che il comportamento del polinomio è comunque simile, perché è evidente che il polinomio coincide con una delle sue radici solo per K1 nullo.
Tale costante complessa è dunque definita come il prodotto non di distanze geometriche ma di differenze relative tra le coordinate del punto complesso variabile X e le coordinate delle radici del polinomio stesso.
Ci chiediamo allora: esiste una relazione tre queste due costanti, k reale riferita al piano reale e K1 complessa?
Per vedere se può esistere una tale relazione esaminiamo il caso più semplice, con due soli centri per l’ovale e due sole radici per il polinomio.
Dovremo anche cercare di adoperare una simbologia il più possibile comune tra quelle utilizzate nel capo reale ed in quello complesso, scegliendo una terminologia come quella mostrata in figura.
Per l’ovale polinomiale nel campo reale scriviamo:
1) | X – A |
2
| X – B |
2
= k
2
e per il polinomio complesso:
2) ( X – A ) ( X – B ) = K1 = Kr + Ki j .
Per la 1) che equivale all’espressione | X – A | | X – B | = k nel campo complesso, peraltro coerentemente alla definizione di ovali come prodotto costante delle distanze geometriche dai centri, si considerano i quadrati per non trattare inutilmente con dei radicali.
Proviamo allora a sviluppare le due espressioni.
1) k
2
= [( X – Xa )
2
+ ( Y – Ya )
2
] [( X – Xb )
2
+ ( Y – Yb )
2
] =
= ( X – Xa )
2
( X – Xb )
2
+ ( X – Xa )
2
( Y – Yb )
2
+
+ ( X – Xb )
2
(Y – Ya )
2
+ (Y – Ya )
2
( Y – Yb )
2
2) K1 = Kr + Ki j = [ X – Xa + (Y – Ya) j ][ X – Xb + (Y – Yb) j ] =
= ( X – Xa )( X – Xb ) - (Y – Ya )( Y – Yb ) +
+ [( X – Xb )(Y – Ya ) + ( X – Xa )( Y – Yb ) ] j
e quindi
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Kr = ( X – Xa )( X – Xb ) – (Y – Ya )( Y – Yb )
Ki = ( X – Xb )(Y – Ya ) + ( X – Xa )( Y – Yb )
Adesso possiamo provare a calcolare Kr
2
+ Ki
2
, ottenendo:
Kr
2
+ Ki
2
= ( X – Xa )
2
( X – Xb )
2
+ ( Y – Ya )
2
( Y – Yb )
2
–
– 2 ( X – Xa )( X – Xb )(Y – Ya ) ( Y – Yb ) +
+ ( X – Xa )
2
( Y – Yb )
2
+ ( X – Xb )
2
( Y – Ya )
2
+
+ 2 ( X – Xa )( X – Xb )(Y – Ya ) ( Y – Yb ) = k
2
La relazione che ne deriva,
(1) k
2
= Kr
2
+ Ki
2
è molto semplice, ed inoltre si potrebbe provare che vale anche per un numero di radici-centri maggiore di due.
Ma in tutta la sua semplicità la (1) esprime un’equivalenza che appare subito di una certa rilevanza e che si può già evidenziare affermando:
se un polinomio, nel campo complesso, è esprimibile nella forma
P(X) = Pr( Xr, Xi ) + Pi( Xr, Xi ),
allora Pr( x, y )
2
+ Pi( x, y )
2
è, nel campo reale, un ovale polinomiale che ha per centri le stesse coordinate delle radici del polinomio complesso, con la semplice sostituzione di x , y ad Xr , Xi.
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IL SIGNIFICATO DI k
Proviamo adesso ad evidenziare il comportamento del parametro k, se lo consideriamo come una vera e propria variabile.
Anzitutto, per la definizione di ovale è k
= | X – A | | X – B |, ovvero k è il prodotto di distanze geometriche assolute e quindi sempre positivo, al più nullo.
Anche dalla relazione k
2
= Kr
2
+ Ki
2
si ottiene una riconferma di questo.
Se poi, vedi figura, si riportano su di un terzo asse z i valori del parametro k come fosse una vera e propria variabile, si ottiene una superficie disposta sempre dalla parte del semiasse dei valori positivi di z (k). I due centri in cui k vale zero sono punti di minimo.
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Allora si può concludere: la ricerca delle radici complesse del polinomio complesso P(X) può essere sostituita dalla ricerca dei valori di minimo dell’equivalente ovale polinomiale Ov(R) nel campo reale, con le consuete ricerche di minimo: derivate prime (parziali) nulle e derivate seconde positive o meglio, dato che la funzione è sempre positiva, derivate prime nulle e valore della funzione nullo, Ov(R) = Ov(x,y) = k =0.
GENERALIZZIAMO
L’equivalenza tra polinomi complessi ed ovali polinomiali può portare facilmente ad una generalizzazione, sempre al fine della corrispondenza tra gli zeri nel campo complesso ed i punti nulli e di minimo nel campo reale.
La corrispondenza non sarà più solo tra polinomi ed ovali polinomiali, ma tra una generica funzione complessa, purché esprimibile nella forma F(X) = Fr(Xr,Xi)+
Fi(Xr,Xi)j ed una corrispondente reale che diventa f(x,y) = Fr(x,y)
2
+ Fi(x,y)
2
. La f(x,y) ha caratteristiche simili agli ovali polinomiali (sempre positiva, con minimi ed ovali intorno ai punti di minimo) od agli antiovali; per questo può assumere la denominazione di funzione ovoidale.
Questa generalizzazione non richiede un dimostrazione impegnativa, ma deriva dalla semplice considerazione per cui un punto A complesso sarà uno zero della F(X) espressa come sopra indicato, solo se avremo sia Fr(Xr,Xi)=0, sia Fi(Xr,Xi)=0.
Allora sarà anche Fr(x,y)
2
= Fi(x,y)
2
=0 ed avremo il corrispondente nullo, ma anche di minimo, per f(x,y) reale.
La presenza dei quadrati Fr(x,y)
2
ed Fi(x,y)
2
può essere intesa in questo senso:
e ntrambi devono annullarsi per essere nulla la F(X), così come per annullarla devono essere nulle sia la parte reale che quella immaginaria.
Se, per ipotesi, la corrispondente fosse stata f(x,y) = Fr(x,y) + Fi(x,y), avremmo potuto avere dei casi come Fr(Xr,Xi)=1 ed Fi(Xr,Xi)=-1 per cui f(x,y) = 0, ma avendo tuttavia F(X) = 1 – j 0.
In sintesi, possiamo dire
se una funzione complessa è esprimibile nella forma
F(X) = Fr( Xr, Xi ) + Fi( Xr, Xi ),
allora f(x,y) = Fr( x, y )
2
+ Fi( x, y )
2
è l’equivalente funzione
reale, detta ovoidale, che ha gli stessi punti nulli della F(X) e tali punti sono anche dei punti di minimo.
