Per quali valori del parametro a ∈ Z il polinomio x

Compito di Matematica Discreta e Algebra Lineare 5 settembre 2018

Soluzioni degli esercizi di MD

Esercizio 3

Per quali valori del parametro a ∈ Z il polinomio x

+ ax + 5 ` e riducibile in Q[x]?

Soluzione: Per il lemma di Gauss, un polinomio monico ` e riducibile in Q[x] se e solo se `e riducibile in Z[x]. Il polinomio dato `e di terzo grado, quindi `e riducibile se e solo se ha un farrore di grado1. Per il teorema di Ruffini, questo vuol dire che ` e riducibile se e solo se ha una radice in Z.

Le uniche radici possibili α sono i divisori di 5, cio` e ±1, ±5. Provandole ad una alla volta, otteniamo:

(1) se α = 1, allora 1 + a + 5 = 0), cio` e a = −6.

(2) se α = −1, allora −1 − a + 5 = 0, cio` e a = 4.

(3) se α = 5, allora 125 + 5a + 5 = 0, cio` e a = −26.

(4) se α = −5, allora −125 − 5a + 5 = 0, cio` e a = −24.

Dunque i valori cercati sono −6, 4, −26, −24.

Esercizio 5

Trovare tutte le soluzioni della congruenza 4 · 3

≡ 1 (mod 35).

Soluzione: Per il teorema cinese del resto, l’equazione ` e equivalente al sistema ( 4 · 3

≡ 1 (mod 5)

4 · 3

≡ 1 (mod 7) Consideriamo le due equazioni separatamente.

L’inverso di 4 modulo 5 ` e uguale a 4, quindi la prima equazione si pu` o riscrivere come 3

≡ 4 (mod 5). Le potenze di 3 modulo 5 sono

3

≡ 3, 3

≡ 4, 3

≡ 2, 3

≡ 1 quindi sono periodiche di periodo 4, e la soluzione ` e x ≡ 2 (mod 4).

L’inverso di 4 modulo 7 ` e uguale a q, quindi la prima equazione si pu` o riscrivere come 3

≡ 2 (mod 7). Le potenze di 3 modulo 7 sono

3

≡ 3, 3

≡ 2, 3

≡ 6, 3

≡ 4 3

≡ 5, 3

≡ 1 quindi sono periodiche di periodo 4, e la soluzione ` e x ≡ 2 (mod 6).

Nonostante i moduli 4 e 6 non siano primi fra loro, ` e evidente che c’` e la soluzione comune x = 2.

Per la teoria svolta, il modulo della soluzione generale ` e il minimo comune multiplo dei moduli delle singole congruenze, e cio` e 12.

Qundi la soluzione generale ` e x ≡ 2 (mod 12).

Esercizio 6 Trovare tutte le soluzioni della congruenza 2

+ 3

≡ 0 mod 7.

Soluzione Per il piccolo teorema di Fermat, sia le potenze di 2 che le potenze di 3 sono periodiche di periodo 6. Controlliamo la congruenza modulo 7 per i valori di x compresi fra 1 e 6:

2

+ 3

≡ 5, 2

+ 3

≡ 6, 2

+ 3

≡ 0, 2

+ 3

≡ 6, 2

+ 3

≡ 2, 2

+ 3

≡ 2 .

Dunque la soluzione cercata ` e x ≡ 3 (mod 6)