FSCHEMA 1

(1)

CAPITOLO 3

APPLICAZIONI E CONFRONTI.

In questo capitolo si intende descrivere le applicazioni eseguite sia per validare i modelli analitici, confrontandone i risultati con quelli restituiti da modellazioni numeriche e test sperimentali, sia per effettuare un confronto a rottura fra la precompressione a cavi aderenti e non aderenti.

In particolare il confronto dei modelli è avvenuto:

• a livello analitico, confrontando a rottura i risultati del modello semplificato con quelli del modello trave non lineare;

• a livello analitico e numerico modellando la stessa struttura, analizzata con i modelli analitici, con il programma agli elementi finiti Atena 2D in grado di tener conto delle non linearità del problema;

• a livello analitico, numerico e sperimentale tra i risultati ottenuti dai modelli analitici e dalle modellazioni numeriche e quelli delle prove sperimentali disponibili in letteratura.

Infine, i risultati ottenuti applicando il modello semplificato ed il modello trave non lineare sono stati confrontati con le altre formulazioni disponibili in letteratura.

3.1 CONFRONTO A ROTTURA TRA I MODELLI ANALITICI E LE PROVE SPERIMENTALI.

In questo paragrafo si intende illustrare i confronti effettuati a rottura tra la formulazione ottenuta con il modello semplificato, la procedura analitica, presentata nel capitolo precedente, ottenuta sviluppando il modello trave non lineare ed i risultati delle prove sperimentali disponibili in letteratura. In particolare i due modelli analitici presentati nel capitolo precedente sono stati applicati ai due schemi riportati in Figura 3.1 e 3.2.

F

SCHEM A 1

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SCHEMA 2

F

Figura 3.2. Schema di trave appoggiata con due forze concentrate a distanza L/3 dagli appoggi.

3.1.1 ANALISI DELLO SCHEMA 1

I dati sperimentali disponibili in letteratura per lo schema 1, con cui sono stati effettuati i confronti, sono le prove di Harajli e Kanj i cui risultati sono riportati in [29]. Si tratta di travi appoggiate, a sezione rettangolare. La campagna di prove è stata condotta per valutare l’incidenza di alcuni parametri, quali il quantitativo di armatura, il rapporto ed il tipo di carico, sulla tensione del cavo a rottura .

ps

d L /

ps

f

Nella Tabella 3.1 si riportano i dati geometrici delle travi testate e le proprietà meccaniche dei materiali utilizzati nelle prove. Gli autori non riportano il valore della deformazione di compressione del calcestruzzo a rottura, pertanto nei modelli analitici si è assunto ε_cu =0.0033. Vanno aggiunti i valori dei moduli dell’armatura e del cavo, rispettivamente pari a

e .

2 / 2100000 Kg cm

E_s = E_ps =2068500Kg/cm2

Tabella 3.1. Dati delle travi testate in [29].

TRAVE b H d_ps ds L Aps As fpe ' c f f_py f_pu PP3R3-0 0.77 2.26 8963 390 13250 14272 PP2R3-0 0.387 1.55 9377 438 12900 14824 P1R3-0 0.193 0.565 9929 417 14000 16065 P2R3-0 0.77 0.565 8757 386 13250 14272 P3R3-0 12.7 22.86 16 20.32 305 1.161 0.565 8481 412 13250 14272 PP1R2-0 0.387 1.55 8274 419 12900 14824 PP2R2-0 0.77 2.26 8756 381 12900 14824 PP3R2-0 1.161 3.1 9170 444 12900 14824 P1R2-0 0.77 0.565 8136 443 12900 14824 P2R2-0 12.7 27.94 21.08 25.4 254 1.161 0.565 8343 445 12900 14824 PP1R1-0 0.387 2.26 9308 345 13250 14272 PP2R1-0 0.77 3.1 8963 395 12900 14824 PP3R1-0 12.7 33.02 26.16 30.48 203.2 1.161 4 8894 363 12900 14824

(3)

3.1.1.1 CAVI ADERENTI

Nella tabella 3.2 sono riportati i momenti ultimi ottenuti applicando il modello semplificato ed il modello trave non lineare nel caso dei cavi aderenti.

Tabella 3.2 Valori dei momenti ultimi valutati con il modello semplificato ed il modello trave non lineare per i cavi aderenti.

TRAVI (1) u M M_u Mu MODELLO SEMPLIFICATO (2) MODELLO TRAVE NON LINEARE (3) MODELLO TRAVE NON LINEARE 1 (4) ERRORE % TRA (1) E (2) (5) ERRORE % TRA (1) E (3) PP3R3-0 343674 339956 -1.09% PP2R3 - 0 153113 160393 151894 4.75% -0.80% P1R3-0 64882 74182 64642 14.33% -0.37% P2R3 - 0 173137 174986 171402 1.07% -1.01% P3R3 - 0 242020 241253 -0.32% PP1R2-0 299553 310227 297116 3.56% -0.82% PP2R2-0 400671 405695 396120 1.25% -1.15% PP3R2-0 654313 646406 639807 -1.22% -2.27% P1R2-0 231111 243694 229270 5.44% -0.80% P2R2-0 324565 332041 320646 2.30% -1.22% PP1R1-0 475977 485041 472304 1.90% -0.78% PP2R1-0 640744 647627 633138 1.07% -1.20% PP3R1-0 827770 823050 814363 -0.57% -1.65%

Come si può riscontrare leggendo la colonna (4) della Tabella 3.2, in cui sono riportati gli errori percentuali tra il modello semplificato (colonna (1)) ed il modello trave non lineare (colonna (2)), i due modelli sembrano dare gli stessi risultati anche se ci sono dei casi in cui lo scostamento è più marcato. Questo può essere attribuito al fatto che il modello semplificato adotta, per l’armatura ed il cavo, il legame elastico – perfettamente plastico mentre il modello trave non lineare utilizza il legame elastico – incrudente. Introducendo, infatti, nel modello trave non lineare i legami adottati per l’armatura ed il cavo nel modello semplificato, e calcolando nuovamente i momenti ultimi delle travi, si ottengono i valori riportati nella colonna (3) i cui scostamenti percentuali rispetto ai risultati ottenuti con il modello semplificato sono riportati in colonna (5). Confrontando i valori degli errori percentuali riportati nelle colonne (4) e (5) di Tabella 3.2, si nota che lo scostamento tra i due modelli si è ridotto entro limiti più che accettabili rafforzando, così, l’idea che le differenze rilevate precedentemente siano legate ai

iversi legami costitutivi adottati dai modelli per l’armatura ed il cavo. d

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Tabella 3.3. La tensione del cavo a rottura valutata con il modello semplificato ed il modello trave non lineare per cavi aderenti.

TRAVE (1) ps f fps fps MODELLO SEMPLIFICATO (2) MODELLO TRAVE NON LINEARE (3) MODELLO TRAVE NON LINEARE 1 (4) ERRORE % TRA (1) E (2) (5) ERRORE % TRA (1) E (3) PP3R3-0 13250 13337 0,66% PP2R3 - 0 12900 13706 12900 6,25% 0,00% P1R3-0 14000 15778 14000 12,70% 0,00% P2R3 - 0 13250 13523 2,06% P3R3 - 0 13250 13410 1,21% PP1R2-0 12900 13565 12900 5,16% 0,00% PP2R2-0 12900 13260 2,79% PP3R2-0 12900 13051 12900 1,17% 0,00% P1R2-0 12900 13755 12900 6,63% 0,00% P2R2-0 12900 13389 12900 3,79% 0,00% PP1R1-0 13250 13527 2,09% PP2R1-0 12900 13267 2,85% PP3R1-0 12900 13072 1,33%

I risultati sembrerebbero meno confortanti se si valutano le tensione ultime nel cavo: ci sono più travi per le quali gli scostamenti sono maggiori del 4%. Anche in questo caso la colonna (5) di Tabella 3.3 dimostra che i risultati convergono se si utilizzano, nei due modelli, gli stessi legami per l’armatura ed il cavo (si confrontino le colonne (3) e (1) della tabella 3.3).

3.1.1.2 CAVI NON ADERENTI

La medesima analisi è stata condotta per le stesse travi considerando, questa volta, i cavi non aderenti. In questo caso è stato possibile effettuare il confronto anche a livello sperimentale avendo a disposizione i risultati riportati in [29].

Nel caso dei cavi non aderenti è stato inizialmente condotto uno studio per comprendere quale fosse l’inerzia più appropriata da utilizzare nel modello semplificato. Infatti, se si osserva l’equazione (2.41) del capitolo 2, si deduce che la formulazione adimensionale è stata ottenuta considerando l’inerzia dell’intera sezione. Per lo schema di Figura 3.1, ci si aspetta che a rottura le sezioni a ridosso della zona centrale (ovvero le sezioni che si trovano nella zona maggiormente sollecitata) siano fessurate e che le zone a ridosso degli appoggi siano non fessurate. Decidere di adottare, nelle valutazioni del momento e della tensione del cavo a rottura, l’inerzia dell’intera sezione potrebbe portare a risultati non corretti perché si trascurerebbe la presenza delle zone in cui il calcestruzzo si fessura.

Lo studio condotto sulle inerzie è illustrato nelle Tabelle 3.4 e 3.5. Nelle Tabelle si riportano i valori del momento ultimo e della tensione del cavo a rottura, valutati con il modello semplificato, assegnando all’inerzia media diverse percentuali dell’inerzia dell’intera sezione, con il modello trave non lineare ed i risultati delle prove sperimentali.

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Le tabelle dimostrano che minore è l’inerzia considerata e minore è l’errore che si commette con il modello semplificato nella valutazione del momento ultimo e della tensione del cavo a rottura rispetto ai valori che si ottengono con il modello trave non lineare ed ai risultati sperimentali.

Tabella 3.4. Valori del momento ultimo valutato con la formulazione adimensionale (modello semplificato) al variare dell’inerzia (unità di misura in Kgxcm).

Im=0,5xIg Im=0,667xIg Im=0,7xIg

TRAVE Mu modello sempl. errore rispetto non lin. errore rispetto sper. Mu modello sempl errore rispetto non lin. Errore rispetto sper. Mu modello sempl errore rispetto non lin. errore rispetto sper. PP3R3-0 312934 -0,19% -15.63% 310810 -0,88% -16.42% 302076 -3,80% -19.78% PP2R3 - 0 138429 -3,49% -33.55% 137186 -4,42% -34.76% 137008 -4,56% -34.94% P1R3-0 54736 -10,49% -34.18% 54266 -11,45% -35.34% 54198 -11,59% -35.51% P2R3 - 0 131827 -1,46% -21.06% 130041 -2,85% -22.72% 129785 -3,06% -22.97% P3R3 - 0 179381 -0,50% -26% 176665 -2,04% -27.94% 176275 -2,27% -28.22% PP1R2-0 274164 -4,24% 272156 -5,01% --- 271867 -5,12% ---PP2R2-0 360912 -0,91% 356931 -2,04% --- 356357 -2,20% ---PP3R2-0 610743 0,63% 604695 -0,37% --- 603822 -0,51% ---P1R2-0 172458 -0,66% 169305 -2,54% --- 168851 -2,81% ---P2R2-0 245135 0,34% 240345 -1,64% --- 239655 -1,94% ---PP1R1-0 453206 -2,68% 450415 -3,32% --- 450014 -3,41% ---PP2R1-0 599579 -0,74% 593527 -1,77% --- 592655 -1,92% ---PP3R1-0 770873 0,69% 762698 -0,38% --- 761517 -0,53% ---Im=0,75*Ig Im=Ig TRAVE Mu modello sempl errore rispetto non lin. errore rispetto sper. Mu modello sempl errore rispetto non lin. errore rispetto sper. Mu non lineare Mu Sperim. PP3R3-0 301670 -3,93% -19.95% 300241 -0,88% -20.52% 313540 361840 PP2R3 - 0 136771 -4,74% -35.17% 135939 -4,42% -36% 143253 184875 P1R3-0 54109 -11,77% -35.74% 53795 -11,45% -36.53% 60477 73446 P2R3 - 0 129444 -3,33% -23.29% 128246 -2,85% -24.44% 133750 159593 P3R3 - 0 175756 -2,57% -28.6% 173930 -2,04% -29.95% 180278 226026 PP1R2-0 271484 -5,27% --- 270139 -5,01% --- 285781 PP2R2-0 355596 -2,42% --- 352914 -2,04% --- 364213 PP3R2-0 602662 -0,71% --- 598571 -0,37% --- 606925 P1R2-0 168249 -3,18% --- 166132 -2,54% --- 173599 P2R2-0 238739 -2,33% --- 235515 -1,64% --- 244296 PP1R1-0 449482 -3,53% --- 447611 -3,32% --- 465358 PP2R1-0 591497 -2,12% --- 587418 -1,77% --- 604031 PP3R1-0 759947 -0,74% --- 7544035 -0,38% --- 765565

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Tabella 3.5. Valori della tensione del cavo a rottura valutata con la formulazione adimensionale (modello semplificato) al variare dell’inerzia (unità di misura in Kg/cm2).

Im=0,5xIg Im=0,667xIg TRAVE fps modello semplific. errore rispetto al mod. non lineare errore rispetto allo sper. (S.G) errore rispetto allo sper. (T.E) ps f modello semplific. errore rispetto al mod. non lineare errore rispetto allo sper. (S.G) errore rispetto allo sper. (T.E) PP3R3-0 9880 -3.45% -8.17% -15.15% 9643 -5.99% -10.82% -17.97% PP2R3 - 0 10266 -0.57% -21.30% -21.64% 10044 -2.78% -23.97% -24.32% P1R3-0 10564 -3.71% -27.92% -21.92% 10406 -5.30% -29.87% -23.78% P2R3 - 0 9409 -1.25% -28.24% -32.49% 9247 -3.03% -30.49% -34.82% P3R3 - 0 9169 -1.22% -22.95% -31.60% 8998 -3.14% -25.29% -34.10% PP1R2-0 9383 -5.71% -31.01% -35.94% 9107 -8.91% -34.99% -40.06% PP2R2-0 9937 -0.48% -26.70% -28.09% 9644 -3.52% -30.54% -31.97% PP3R2-0 10497 -1.98% -10.22% -10.35% 10170 -5.26% -13.77% -13.90% P1R2-0 8974 0.85% -34.31% ---- 8766 -1.51% -37.49% ---- P2R2-0 9220 0.42% -28.62% -33.71% 9003 -1.99% -31.73% -36.94% PP1R1-0 10604 -4.54% -20.81% -21.13% 10282 -7.81% -24.59% -24.93% PP2R1-0 10421 -0.49% -13.53% -19.09% 10060 -4.10% -17.60% -23.36% PP3R1-0 10353 0.25% -4.23% -16.22% 9994 -3.33% -7.97% -20.39% Im=0,7xIg Im=0,75xIg TRAVE fps modello semplific errore rispetto al mod. non lineare errore rispetto allo sper. (S.G) errore rispetto allo sper. (T.E) ps f modello semplific. errore rispetto al mod. non lineare errore rispetto allo sper. (S.G) errore rispetto allo sper. (T.E) PP3R3-0 9619 -6.25% -11.10% -18.27% 9576 -6.73% -11.60% -18.80% PP2R3 - 0 10012 -3.11% -24.37% -24.71% 9970 -3.55% -24.89% -25.24% P1R3-0 10383 -5.53% -30.16% -24.05% 10353 -5.83% -30.54% -24.41% P2R3 - 0 9224 -3.29% -30.82% -35.16% 9193 -3.63% -31.26% -35.61% P3R3 - 0 8973 -3.42% -25.63% -34.47% 8941 -3.80% -26.09% -34.96% PP1R2-0 9068 -9.39% -35.58% -40.67% 9015 -10.03% -36.37% -41.49% PP2R2-0 9602 -3.98% -31.12% -32.55% 9547 -4.58% -31.88% -33.33% PP3R2-0 10122 -5.75% -14.30% -14.43% 10060 -6.41% -15.01% -15.15% P1R2-0 8736 -1.85% -37.96% ---- 8696 -2.32% -38.59% ----P2R2-0 8972 -2.35% -32.19% -37.41% 8930 -2.82% -32.80% -38.05% PP1R1-0 10236 -8.30% -25.16% -25.49% 10174 -8.95% -25.91% -26.25% PP2R1-0 10008 -4.64% -18.21% -24.00% 9939 -5.36% -19.03% -24.86% PP3R1-0 9942 -3.87% -8.54% -21.02% 9873 -4.60% -9.29% -21.86%

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Im=Ig TRAVE fps ps f fps f_ps MODELLO SEMPLIFIC. errore rispetto al mod. non lineare errore rispetto allo sper. (S.G) errore rispetto allo sper. (T.E) MODELLO TRAVE NON LINEARE SPERIMENTALE (S.G.) sperimentale (T.E.) PP3R3-0 9424 -8.46% -13.41% -20.72% 10221 10687 11377 PP2R3 - 0 9822 -5.11% -26.77% -27.13% 10324 12452 12487 P1R3-0 10247 -6.93% -31.89% -25.69% 10957 13514 12880 P2R3 - 0 9084 -4.87% -32.83% -37.23% 9527 12066 12466 P3R3 - 0 8826 -5.15% -27.72% -36.71% 9280 11273 12066 PP1R2-0 8830 -12.33% -39.22% -44.45% 9919 12294 12756 PP2R2-0 9350 -6.78% -34.65% -36.12% 9984 12590 12728 PP3R2-0 9839 -8.80% -17.59% -17.73% 10704 11570 1158 P1R2-0 8557 -3.99% -40.85% ---- 8898 12052 ---P2R2-0 8784 -4.53% -35.01% -40.34% 9182 11859 12328 PP1R1-0 9959 -11.32% -28.64% -28.99% 11085 12811 12845 PP2R1-0 9697 -7.99% -22.01% -27.99% 10472 11831 12411 PP3R1-0 9631 -7.23% -12.04% -24.93% 10327 10790 12032

Adottare come valore dell’inerzia media della trave la metà dell’inerzia dell’intera sezione sembra un buon compromesso per cogliere il momento ultimo così come dimostrano le Tabelle 3.4 e 3.5: le applicazioni del modello semplificato allo schema 1 verranno effettuate considerando nella formulazione adimensionale un’inerzia media pari alla metà dell’inerzia dell’intera sezione. La Tabella 3.6 riporta i confronti, in termini di momento ultimo, tra i due modelli analitici ed i risultati delle prove sperimentali.

Tabella 3.6. Confronti dei momenti ultimi ed errori percentuali nel caso dei cavi non aderenti (unità di misura in Kgxcm). TRAVI (1) Mu MODELLO SEMPLIFICATO (2) Mu MODELLO TRAVE NON LINEARE (3) Mu

SPERIMENTALE TRA (1) E ( 2)ERRORE %

ERRORE % TRA (2) E (3) ERRORE % TRA (1) E (3) PP3R3-0 312934 313540 361840 0,19% -15.4% -15.63% PP2R3-0 138428 143253 184875 3,49% -29.05% -33.55% P1R3-0 54736 60477 73446 10,49% -21.44% -34.18% P2R3-0 131827 133750 159593 1,46% -19.32% -21.06% P3R3-0 179381 180278 226026 0,50% -25.38% -26% PP1R2-0 274164 285781 4,24% PP2R2-0 360912 364213 0,91% PP3R2-0 610742 606925 -0,63% P1R2-0 172458 173599 0,66% P2R2-0 245135 244296 -0,34% PP1R1-0 453206 465358 2,68% PP2R1-0 599579 604031 0,74% PP3R1-0 770873 765565 -0,69%

(8)

Si deduce che c’è un ottimo accordo tra il modello trave non lineare ed il modello semplificato. Maggiori scostamenti si rilevano, invece, rispetto ai risultati sperimentali. Analogamente accade per le tensioni del cavo. Con riferimento alla Tabella 3.7, si può dire che, mediamente, anche rispetto alla valutazione della tensione del cavo, il modello semplificato ed il modello trave non lineare sono in buon accordo; i due modelli analitici si scostano in maniera più marcata dai risultati sperimentali; in particolare il modello semplificato sembra dare risultati più lontani e restituire scarti maggiori.

abella 3.7. Confronti per le tensioni del cavo a rottura per i cavi non aderenti (kg/cm2). T TRAVI (1) ps f mod. fps fps fps semplificato (2) mod. non lineare (3) sperim (S.G.) (4) sperim (T.E.) Errore % tra (1) e (2) Errore % tra (2) e (3) Errore % tra (1) e (3) PP3R3-0 9880 10221 10687 11377 3,45% -4,56% -8,17% PP2R3-0 10266 10324 12452 12487 0,57% -20,62% -21,30% P1R3-0 10564 10957 13514 12880 3,71% -23,34% -27,92% P2R3-0 9409 9527 12066 12466 1,25% -26,66% -28,24% P3R3-0 9169 9280 11273 12066 1,22% -21,47% -22,55% PP1R2-0 9384 9919 12294 12756 5,71% -23,94% -31,01% PP2R2-0 9937 9984 12590 12728 0,48% -26,10% -26,70% PP3R2-0 10497 10705 11570 11584 1,98% -8,08% -10,22% P1R2-0 8974 8898 12052 --- -0,85% -35,45% -34,31% P2R2-0 9220 9182 11859 12328 -0,42% -29,16% -28,62% PP1R1-0 10604 11086 12811 12845 4,54% -15,56% -20,81% PP2R1-0 10421 10472 11831 12411 0,49% -12,97% -13,53% PP3R1-0 10353 10327 10791 12032 -0,25% -4,48% -4,22%

3.1.2 ANALISI DELLO SCHEMA 2

Lo stesso studio è stato effettuato per lo schema 2 di Figura 3.2 (trave appoggiata caricata con due forze concentrate). Anche per questo schema sono disponibili i risultati delle prove sperimentali condotte da Harajli & Kanj illustrati in [29] (PP3R3-3, PP2R3, P2R3-3, P3R3-3); inoltre, per avere un maggior riscontro, sono stati presi in considerazione le prove sperimentali condotte da Campell & Chouinard [31] (BEAM 2, BEAM 3, BEAM 4, BEAM 5). La Tabella 3.8 riporta le caratteristiche geometriche e meccaniche delle travi. Per le travi testate da Harajli & Kanj, non essendo specificata in [29] il valore della deformazione di compressione del calcestruzzo a rottura, si è assunto ε_cu =0.0033.

Tabella 3. 8. Caratteristiche geometriche delle travi testate in [29] e [31] per lo schema di Figura 3.2.

TRAVE b H d_ps d_s A_ps A_s f_pe εcu ' c f fy fpu L PP3R3-3 0.77 2.26 8825.6 432 4454 14272 PP2R3-3 0.387 1.55 9515.1 432 3613 14824 P2R3-3 0.77 0.565 8618.75 467 2758 14824 P3R3-3 12.7 22.86 16 20.32 305 1.16 0.565 8825.6 465 2758 14272 BEAM 2 1.484 2 10650 0.0039 324 4977 17600 BEAM 3 1.484 4 10490 0.0033 316 4951 17600 BEAM 4 1.484 6 10960 0.0036 371 4939 17600 BEAM 5 16 28 22 25.6 330 1.484 8 10810 0.0034 374 4940 17600

(9)

3.1.2.1 CAVI ADERENTI

In Tabella 3.9 sono riportati i momenti ultimi valutati con i due modelli analitici.

Tabella 3.9. Risultati e confronti sui momenti ultimi nel caso di cavi aderenti. (unità di misura in Kgxcm).

PROVE TRAVE (1) Mu MODELLO SEMPLIFICATO (2) Mu MODELLO TRAVE NON LINEARE (3) Mu MODELLO TRAVE NON LINEARE 1 (4) ERRORE % tra (1) E (2) (5) ERRORE % tra (1) e (3) PP3R3-3 322427 320927 316303 -0,47% PP2R3-3 174918 181340 173255 3,67% -0,96% P2R3-3 171846 176919 169618 2,95% -1,31% HARAJLI & KANY (1991) P3R3-3 245148 243658 -0,61% BEAM2 629205 625795 -0,55% BEAM3 806467 789429 790339 -2,16% -2,04% BEAM4 1006244 970136 969438 -3.72% -3.80% CAMPBELL & CHOUINARD (1991) BEAM5 1162913 1121913 1124967 -3,66% -3.37%

Come si può notare la Tabella 3.9 mostra il buon accordo tra i risultati ottenuti applicando il modello semplificato (riportati in colonna (1)) e quelli ottenuti utilizzando il modello trave non lineare (riportati in colonna (2)). Inoltre, per quelle travi che mostrano scostamenti più rilevanti tra i due modelli analitici (si veda PP2R3-3, P2R3-3, BEAM 3, BEAM 4, BEAM 5) sono stati calcolati nuovamente i momenti con il modello trave non lineare introducendo in esso il legame elastico - perfettamente plastico utilizzato per il cavo e l’armatura nel modello semplificato. I risultati sono riportati nella colonna (3) della Tabella 3.9. Anche in questo caso si ha la convergenza dei risultati come mostra l’ultima colonna della Tabella 3.9. Analogamente è stato fatto per la tensione del cavo . I risultati sono riportati nella Tabella 3.10. Si riscontra in questo caso il perfetto accordo tra i due modelli.

ps

f

Tabella 3.10. Risultati e confronti per la tensione del cavo nel caso di cavi aderenti (unità di misura Kg/cm2). PROVE TRAVE (1) ps f fps fps MODELLO SEMPLIFICATO (2) MODELLO TRAVE NON LINEARE (3) MODELLO TRAVE NON LINEARE 1 ERRORE % tra (1) e (3) ERRORE % tra (1) e (3) PP3R3-3 13250 13359 0,83% PP2R3-3 12900 13508 12900 4,71% 0,00% P2R3-3 12900 13466 12900 4,39% 0,00% HARAJLI & KANY (1991) P3R3-3 13250 13419 1,28% BEAM2 15000 15093 0,62% BEAM3 15000 15060 0,40% BEAM4 15000 15041 0,27% CAMPBELL & CHOUINARD (1991) BEAM5 14747 14733 -0,10%

(10)

3.1.2.2 CAVI NON ADERENTI

Nel caso del confronto dei modelli per i cavi non aderenti, applicati allo schema di Figura 3.2, lo studio delle inerzie ha dato i risultati riportati nelle Tabelle 3.11 e 3.12.

Tabella 3.11.Valori del momento ultimo valutato con la formulazione adimensionale (modello semplificato) al variare dell’inerzia (unità di misura in Kgxcm).

Im=0,5xIg Im=0,6667 Ig Im=0,7xIg

TRAVE Mu mod. semplific. errore rispetto non lin. errore rispetto sper. Mu mod. semplific. errore rispetto non lin. errore rispetto sper. Mu mod. semplific. errore rispetto non lin. errore rispetto sper. PP3R3-3 291912 -4,12% -16.27% 288781 -5,25% -17.53% 288332 -5,41% -17.72% PP2R3-3 162843 -9,11% -15,65% 161192 -10,23% -16,83% 160962 -10,39% -17% P2R3 – 3 134655 -17,52% -27.02% 132086 -19,80% -29.49% 131719 -20,14% -29.85% P3R3 – 3 190854 -13,88% -13.05% 187031 -16,21% -15.36% 186483 -16,55% -15.7% BEAM 2 566306 -4.54% -11.78% 555827 -5.54% -13.88% 554315 -5.83% -14.19% BEAM 3 749458 -0.19% -8.21% 739996 -1.47% -9.60% 738629 -1.66% -9.80% BEAM 4 965339 2.42% -1.52% 955236 1.35% -2.59% 953777 1.19% -2.75% BEAM 5 1127667 2.80% 6.89% 1118888 2.00% 6.06% 1117620 1.89% 5.94% Im=0,75xIg Im=Ig TRAVE _M_{u mod.} semplific. errore rispetto non lineare errore rispetto sper. Mu mod. semplific. errore rispetto non lineare errore rispetto sper. Mu non lineare Mu Sperim. PP3R3-3 287732 -5,6% -38,7% 277198 -9,6% -43,94% 303941 339411 PP2R3 - 3 160654 -10,6% -17,2% 159576 -11,3% -18,02% 177683 188939 P2R3 - 3 131228 -20,6% -29,7% 129507 -22,2% -31,44% 158246 171043 P3R3 - 3 185752 -17% -16,9% 183187 -18,6% -18,56% 217341 215752 BEAM 2 552284 -6.21% -14.61% 545166 -7.60% -16.11% 592024 633000 BEAM 3 736801 -1.91% -10.07% 730348 -2.81% -11.04% 750861 811000 BEAM 4 951826 0.98% -2.96% 944938 0.25% -3.71% 942542 980000 EAM 5 1115923 1.73% 5.77% 1109935 1.19% 5.21% 1096912 1055000 B

Tabella 3.12. Valori della tensione del cavo a rottura valutata con la formulazione adimensionale (modello semplificato) al variare dell’inerzia (unità di misura Kg/cm2).

Im=0,5xIg Im=0,6667xIg Im=0,7xIg TRAVE ps f fps ps f errore rispetto non lin. errore rispetto sper. (S.G) errore rispetto sper. (T.E) errore rispetto non lin. errore rispetto sper. (S.G) errore rispetto sper. (T.E) Errore rispetto non lin. errore rispetto sper. (S.G) errore rispetto sper. (T.E) PP3R3-3 10101 -13,4% -9,5% -14,7% 9784 -17,1% -13,1% -18,4% 9738 -18% -13% -19% PP2R3-3 10694 -19,2% -18% -20,1% 10395 -22,7% -21,4% -23,6% 10353 -23% -22% -24% P2R3-3 9536 -22,3% -27,1% -30,7% 9307 -25,3% -30,2% -33,9% 9274 -26% -31% -34% P3R3-3 9780 -18,6% -18,6% -22,3% 9542 -21,6% -21,6% -25,3% 9508 -22% -22% -26% BEAM 2 12377 -13.6% -18.5% 11952 -11.9% -22.7% 11890 -12.5% -23.3% BEAM 3 12272 -6.2% -12.5% 11833 -10.1% -16.7% 11770 -10.7% -17.3%

(11)

BEAM 5 12764 -2.8% 0.19% 12283 -6.81% -3.7% 12214 -7.42% -4.3% Im=0,75xIg Im=Ig TRAVE ps f rispetto errore non lin. errore rispetto sper. (S.G) errore rispetto sper. (T.E) ps f errore rispetto non lin. errore rispetto sper. (S.G) errore rispetto sper. (T.E) ps f modello non lin. ps f sperim. (S.G.) ps f sperim. (T.E.) PP3R3-3 9678 -18% -14% -20% 9466 -21,% -17% -22% 11461 11066 11583 PP2R3-3 10298 -24% -22% -24% 10102 -26% -25% -27% 12752 12618 12845 P2R3-3 9231 -26% -31% -35% 9078 -28% -33% -37% 11667 12121 12466 P3R3-3 9463 -22% -22% -26% 9304 -24% -24% -28% 11604 11604 11963 BEAM 2 11809 -13.3% -24% 11522 -16.1% -27.3% 14063 14670 BEAM 3 11686 -11.5% -18% 11390 -14.4% -21.2% 13034 13810 BEAM 4 12303 -9.4% -9.6% 11970 -12.4% -12.6% 13460 13480 BEAM 5 12121 -8.2% -5.1% 11797 -11.2% -7.99% 13120 12740

Dallo studio delle inerzie si deduce, anche in questo caso, che il miglior valore da assegnare all’inerzia media è la metà dell’inerzia dell’intera sezione. Le Tabelle 3.13 e 3.14 mostrano i confronti tra i due modelli analitici (modello semplificato e modello trave non lineare) ed i risultati sperimentali.

Tabella 3.13. Confronti tra modelli analitici e le prove sperimentali in termini di momento ultimo.

TRAVI (1) Mu modello semplificato (Kgxcm) (2) Mu modello trave non lineare (Kgxcm) (3) Mu Sperimentale (Kgxcm) Errore % tra (1) e (2) Errore % tra (2) e (3) Errore % tra (1) e (3) PP3R3-3 291912 303941 339411 4,12% -11.67% -16.27% PP2R3-3 162843 177683 188939 9,11% -15,65% P2R3-3 134655 158246 171043 17,52% -8.09% -27.0% P3R3-3 190854 217341 215752 13,88% -0.74% -13.05% BEAM 2 566306 592024 633000 4.54% -6.92% -11,78% BEAM 3 749458 750861 811000 0,19% -8.01% -8,21% BEAM 4 965339 942542 980000 -2.42% -3.97% -1,52% BEAM 5 1127667 1096912 1055000 -2,80% 3.97% 6,89% -6%

Tabella 3.14. Confronti tra modelli analitici e le prove sperimentali in termini di tensione del cavo.

TRAVI (1) ps f modello fps fps semplificato (2) modello trave non lineare

(3) sper. (S.G.) Errore % tra (1) e (2) Errore% tra (2) e (3) Errore % tra (1) e (3) PP3R3-3 10101 11461 11066 13,4% 3.57% -9,5% PP2R3-3 10694 12752 12618 19,2% 1.07% -18% P2R3-3 9536 11667 12121 22,3% -3.89% -27,1% P3R3-3 9780 11604 11604 18,6% 0% -18,6% BEAM 2 12377 14063 14670 13.62% -4.31% -18.52% BEAM 3 12272 13034 13810 6,2% -5.95% -12,5%

(12)

BEAM 4 12960 13460 13480 3,86% -0.15% -4%

BEAM 5 12764 13120 12740 2,79% 2.98% 0,19%

Come si può vedere per lo schema in esame, nel caso dei cavi non aderenti, si ha una situazione non omogenea: in particolare esistono casi in cui le formulazioni analitiche restituiscono risultati accettabili, altri, invece, in cui i risultati sono in disaccordo sia in termini di momento ultimo che di tensione del cavo (si vedano le travi P2R3-3 e P3R3-3).

L’osservazione che può essere fatta è la seguente: le travi P2R3-3 e P3R3-3 hanno a rottura un rapporto tra la lunghezza della zona in cui il momento è maggiore del momento di fessurazione e la lunghezza complessiva della trave compreso tra il 54 ed il 56 % mentre per le altre travi questo rapporto risulta maggiore del 60%.

Facendo, inoltre, ulteriori valutazioni si è visto che a rottura queste due travi hanno il rapporto tra l’inerzia della sezione fessurata e l’inerzia della sezione intera compreso tra 1/3 ed 1/4, ovvero inferiore a quello utilizzato nei confronti effettuati.

Tali considerazioni dimostrano che in questi due casi il valore scelto per l’inerzia media da adottare nella formulazione adimensionale del modello semplificato (I =1/5Ig) si è rivelato penalizzante mentre in altri casi è stato una buona approssimazione.

Nel caso dello schema 2 questo comportamento è più evidente in quanto la zona della trave sottoposta al momento massimo è maggiore e più estesa rispetto allo schema 1.

3.2 CONFRONTO TRA IL MODELLO TRAVE NON LINEARE ED IL MODELLO NUMERICO.

Il confronto effettuato ha come scopo quello di testare il modello trave non lineare non solo nella fase di rottura ma seguendo un intero processo di carico assegnato sia nel caso di cavi aderenti sia nel caso di cavi non aderenti.

Tra le 21 travi testate nel paragrafo 3.1 ne sono state scelte 4: due con lo schema di figura 3.1 (PP3R3-0 e P3R3-0) e due con lo schema di figura 3.2 (PP3R3-3 e BEAM3) i cui dati geometrici sono riportati rispettivamente nelle Tabella 3.1 e Tabella 3.8.

E’ stato applicato il modello trave non lineare illustrato nel Capitolo 2 mentre per la simulazione numerica si è usato il programma agli elementi finiti Atena. In particolare con Atena si è utilizzata una modellazione piana bidimensionale trascurando gli effetti torsionali e di flessione trasversale.

Il programma esegue analisi statiche non lineari con caricamento incrementale fino al passo di rottura. La modellazione ha utilizzato una mesh costituita da elementi piani bidimensionali che giacciono nel piano medio verticale della trave: in particolare, la mesh adottata utilizza elementi quadrilateri, che suddividono la struttura sia orizzontalmente che verticalmente.

(13)

Il confronto è stato eseguito analizzando il comportamento globale della struttura monitorando il processo di carico ed il corrispondente abbassamento della sezione di mezzeria. In figura 3.4 sono riportate le curve carico – spostamento per le travi monitorate nel caso dei cavi aderenti, sia per l’analisi effettuata applicando il modello trave non lineare sia nel caso della simulazione numerica con Atena; la figura 3.5 illustra, invece, le stesse curve nel caso dei cavi non aderenti.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 v (cm ) F (K g)

PP3R3-0 analitico cavi aderenti PP3R3-0 atena cavi aderenti P3R3-0 analitico cavi aderenti P3R3-0 atena cavi aderenti PP3R3-3 analitico cavi aderenti PP3R3-3 atena cavi aderenti BEAM 3 analitico cavi aderenti beam 3 atena cavi aderenti

Figura 3.4. Curve carico – spostamento nel caso di cavi aderenti (confronto modello trave non lineare – modello numerico). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 -0,2 0,2 0,6 1 _{v (cm)} 1,4 1,8 2,2 2,6 F ( K g)

PP3R3-0 analitico cavi non aderenti PP3R3-0 Atena cavi non aderenti P3R3-0 analitico cavi non aderenti P3R3-0 Atena cavi non aderenti PP3R3-3 analitico cavi non aderenti PP3R3-3 Atena cavi non aderenti BEAM 3 analitico cavi non aderenti BEAM 3 atena cavi non aderenti

Figura 3.5. Curve carico – spostamento nel caso di cavi non aderenti (confronto modello trave non lineare – modello numerico).

(14)

In tutti i casi si osserva che il modello trave non lineare ed il modello numerico si sovrappongono perfettamente nel tratto iniziale lineare. Aumentando il carico, ed arrivando a rottura, le due curve si mantengono sostanzialmente vicine e raggiungono lo stesso livello di carico ultimo sia nel caso dei cavi aderenti sia nel caso dei cavi non aderenti, come si può verificare dalla Tabella 3.15. In termini di spostamenti, i cavi non aderenti evidenziano un maggior scostamento tra il modello trave non lineare e quello numerico: in particolare quest’ultimo risulta più deformabile.

Il confronto sul carico ultimo mostra che lo scostamento tra i due modelli è modesto. I cavi non aderenti sembrano determinare un carico ultimo più basso e questa differenza si riscontra sia nel modello trave non lineare che nel modello numerico.

Tabella 3.15. Confronto dei carichi e spostamenti ultimi per le travi monitorate sia nel caso di cavi aderenti che di cavi non aderenti.

CAVI ADERENTI CAVI NON ADERENTI

TRAVE MODELLO

F (Kg) v (cm) F (Kg) v (cm)

Modello trave non lineare 4462 1.442 4114 1.273

PP3R3-0

Numerico 4586 1.607 4116 1.641

P3R3-0

Numerico 3212 1.403 2259 1

PP3R3-3

Numerico 3200 2.25 2724 2.5

BEAM3

Numerico 6941 2 6822 2.5

3.3 CONFRONTO TRA I MODELLI ANALITICI E LE ALTRE FORMULAZIONI. In questo paragrafo si intende confrontare le formulazioni illustrate nel Capitolo 1 e i due modelli analitici finora sviluppati: in particolare viene calcolata la tensione del cavo a rottura secondo le differenti formulazioni per alcune travi di cui si hanno a disposizione anche i risultati sperimentali. Tra le travi testate in [29] e [31] sono state scelte: PP3R3-0, P3R3-0, PP2R2-0, PP3R2-0, PP3R1-0 per lo schema 1 e PP3R3-3, BEAM3, BEAM4, BEAM5 per lo schema 2. Nella Tabella 3.16 si riassumono le caratteristiche delle travi scelte. Le tabelle 3.17 - 3.25 e le figure 3.6 – 3.13 riportano i risultati ottenuti.

ps

f

Tabella 3.16. Le caratteristiche delle travi.

TRAVE b H dps ds L S Aps As fpe ' c f fy fpy fpu PP3R3-0 0.77 2.26 8963 390 5164 13250 14272 P3R3-0 12.7 22.86 16 20.32 305 325 1.161 0.565 8481 412 2758 13250 14272 PP2R2-0 0.77 2.26 8756 381 4109 12900 14824 PP3R2-0 12.7 27.94 21.08 25.4 254 279.4 1.161 3.1 9170 444 5564 1.161 3.1 PP3R1-0 _{12.7 33.02 26.16 30.48 203.2 223.5 1.161 4}8894 363 4612 12900 14824 PP3R3-3 12.7 22.86 16 20.32 305 325 0.77 2.26 8825.6 432 4454 13250 14272 BEAM 3 1.484 4 10490 316 4951 15000 17600 BEAM 4 1.484 6 10960 371 4939 15000 17600 BEAM 5 16 28 22 25.6 330 360 1.484 8 10810 374 4940 15000 17600

(15)

TRAVE PP3R3-0 FORMULAZIONE (1) ps f Errore tra (1) e sperimentale (S.G) Errore tra (1) e sperimentale (T.E.)

1 Warwaruck, Sozen Siess 10569 1.11% 7.64%

2 Mattock,Yamazaki, Kettola 11093 3.80% 2.56% 3 Tam &Pannell 11164 4.46% 1.90% 4 ACI 318 - (1983 - 1989) 10681 0.05% 6.51% 5 Du & Tao 13280 24.26% 16.73% 6 Naaman, Alkhajri 9955 7.35% 14.28% 7 Harajli e Kanj 9993 6.94% 13.84% 8 Chakrabarti 11333 6.04% 0.39%

9 Lee, Moon, Lim 9783 9.24% 16.29%

10 Chenn - Khoon Ng 9027 18.38% 26.02%

11 Modello semplificato 9880 8.17% 15.15%

12 Modello trave non lineare 10221 4.56% 11.31%

13 Sperimentale Harajli & Kanj (strain gage) 10687 14 Sperimentale Harajli & Kanj (tendon elongation) 11377

Tabella 3.17. I valori di fps per le differenti formulazioni per la trave PP3R3-0.

F TRAVE PP3R3 - 0 9000 9800 10600 11400 12200 13000 13800 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

Warwaruck, Sozen, Siess Mattock, Yamanazi,Kettola Tam & Pannell ACI 318 (1983-89) Du & Tao Naaman Alkhajri Harajli & Kanj Chakrabarti Lee, Moon, Lim

Chenn-Khoon Ng Modello semplificato Modello trave non lineare sperimentale (S.G.) sperimentale (T.E.)

(16)

TRAVE P3R3-0 FORMULAZIONE (1) ps f Errore tra (1) e sperimentale (S.G) Errore tra (1) e sperimentale (T.E.)

9 Lee, Moon, Lim 9840 14.20% 22.62%

10 Chenn - Khoon Ng 8609 30.52% 40.15%

Tabella 3.18. I valori di fps per le differenti formulazioni per la trave P3R3-0.

TRAVE P3R3 - 0 8500 9300 10100 10900 11700 12500 13300 14100 14900 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

Warwaruck, Sozen, Siess Mattock, Yamanazi,Kettola Tam & Pannell ACI 318 (1983-89) Du & Tao Naaman Alkhajri Harajli & Kanj Chakrabarti Lee, Moon, Lim Chenn-Khoon Ng Modello semplificato Modello trave non lineare sperimentale (S.G.) sperimentale (T.E.)

(17)

TRAVE PP2R2-0 FORMULAZIONE (1) ps f Errore tra (1) e sper. (S.G) Errore tra (1) e sper. (T.E.)

9 Lee, Moon, Lim 10405 21.00% 22.32%

10 Chenn - Khoon Ng 9704 29.74% 31.16%

12 Modello non lineare 9984 26.10% 27.48%

Fi TRAVE PP2R2 - 0 9000 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000 14500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

(18)

9 Lee, Moon, Lim 10125 14.26% 14.40%

10 Chenn - Khoon Ng 9691 19.38% 19.53%

Fi ura 3.9. Confronto formulazioni per la trave PP3R2-0. g

TRAVE PP3R2 - 0 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

Warwaruck, Sozen, Siess Mattock, Yamanazi,Kettola Tam & Pannell ACI 318 (1983-89) Du & Tao Naaman Alkhajri Harajli & Kanj Chakrabarti Lee, Moon, Lim Chenn-Khoon Ng Modello semplificato Modello trave non lineare sperimentale (S.G.) sperimentale (T.E.)

(19)

9 Lee, Moon, Lim 10150 6.31% 18.54%

10 Chenn - Khoon Ng 10033 7.54% 19.91%

TRAVE PP3R1-0 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

(20)

9 Lee, Moon, Lim 11822 6.83% 2.06%

10 Chenn - Khoon Ng 11277 1.91% 2.72%

12 Analitico non lineare 11461 3.57% 1.07%

f

Figura 3.11. Confronto formulazioni per la trave PP3R3-3.

TRAVE PP3R3-3 8500 9300 10100 10900 11700 12500 13300 14100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione ps

(21)

BEAM 3 FORMULAZIONE (1) ps f Errore tra (1) e sperimentale

1 Warwaruck, Sozen Siess 11923 15.82%

2 Mattock,Yamazaki, Kettola 12228 12.94% 3 Tam &Pannell 12667 9.02% 4 ACI 318 - (1983 - 1989) 11928 15.78% 5 Du & Tao 13103 5.39% 6 Naaman, Alkhajri 11981 15.26% 7 Harajli e Kanj 10711 28.93% 8 Chakrabarti 12387 11.49%

9 Lee, Moon, Lim 12088 14.25%

10 Chenn - Khoon Ng 11996 15.12%

11 Modello semplificato 12272 12.53%

12 Modello non lineare 13034 5.95%

14 Sperimentale Campbell & Chouinard 13810 Tabella 3.23. I valori di fps per le differenti formulazioni per la trave BEAM 3.

BEAM3 10600 11200 11800 12400 13000 13600 14200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 formulazione fps 5 Warwaruck, Sozen, Siess Mattock, Yamanazi,Kettola Tam & Pannell

ACI 318 (1983-89) Du & Tao Naaman Alkhajri Harajli & Kanj Chakrabarti Lee, Moon, Lim

Chenn-Khoon Ng Modello semplificato Modello trave non lineare sperimentale

(22)

9 Lee, Moon, Lim 12348 9.17%

10 Chenn - Khoon Ng 12317 9.44%

14 Sperimentale Campbell & Chouinard 13480 7.95%

Tabella 3.24. I valori di fps per le differenti formulazioni per la trave BEAM 4.

f BEAM 4 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione ps

(23)

9 Lee, Moon, Lim 11801 7.96%

10 Chenn - Khoon Ng 11687 9.01%

14 Sperimentale Campbell & Chouinard 12740 Tabella 3.25. I valori di f_ps per le differenti formulazioni per la trave BEAM 5.

BEAM 5 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 formulazione fps

(24)

In generale i grafici 3.6 – 3.14 mostrano che nella maggior parte dei casi le formulazioni proposte si rivelano conservative rispetto ai risultati delle prove sperimentali ovvero tendono generalmente a sottostimare fps.

Dall’analisi dei grafici si possono fare le seguenti osservazioni:

a. Il modello semplificato ed il modello trave non lineare, presentati in questa tesi, sono in linea con le formulazioni finora proposte per la valutazione della tensione dei cavi non aderenti a rottura. In particolare si nota come i due modelli analitici si attestino sempre su valori sostanzialmente vicini fra loro ma il modello trave non lineare rimane leggermente più alto rispetto al modello semplificato, ovvero restituisce valori di tensione nel cavo maggiori, e pertanto segue meglio i risultati sperimentali.

b. nella maggior parte dei casi considerati, la formulazione di Du & Tao (equazioni 1.13a, 1.13b) risulta poco conservativa e spesso lontana sia dai risultati sperimentali sia dalle altre formulazioni analitiche. In particolare questa “lontananza” è più evidente per le prove di Harajli e Kanj e meno evidente per le travi testate da Campbell & Chouinard per le quali la formulazione di Du & Tao si allinea con le altre. Questo deriva dal fatto che i coefficienti della (1.13a) e (1.13b) sono di tipo sperimentale e derivano da prove effettuate su travi caricate con due forze concentrate.

c. Si premette che nello studio effettuato è stata considerata la formulazione (1.20), (1.20a), (1.20b) di Naaman Alkhajri che risulta più conservativa rispetto alla (1.16) perché utilizza valori del coefficiente dati da (1.19a) e (1.19b). Questi ultimi risultano infatti maggiori di (1.20a) e (1.20b). Il confronto tra la formulazione di Naaman Alkhajri (1.20) [32] e la formulazione di Ng [37] mostra che la (1.20) sembra seguire meglio i risultati delle prove sperimentali per le travi che hanno lo schema 1 (Figura 3.1) mentre per le travi con schema 2 le due formulazioni risultano sostanzialmente identiche perché, in questo caso, il coefficiente calcolato secondo Naaman Alkhajri e secondo Ng è molto simile.

u Ω

d. La formulazione di Chakrabarti sembra sempre rivelarsi una buona formulazione perché spesso è la più vicina ai risultati sperimentali.

3.4 CONFRONTO TRA CAVI ADERENTI E CAVI NON ADERENTI.

In questo paragrafo si intende effettuare un confronto a rottura tra cavi aderenti e cavi non aderenti. In particolare sono stati valutati, sia con il modello semplificato sia con il modello trave non lineare, i momenti ultimi delle travi considerate nei paragrafi precedenti per lo schema 1 e 2 di figure 3.1 e 3.2 . Le Tabelle 3.26 e 3.27 riportano i risultati di questo confronto.

Analizzando le tabelle 3.26 e 3.27 nel loro insieme, si osserva che i cavi aderenti conferiscono maggior capacità ultima alla trave e su questo risultato i due modelli analitici convergono. Emerge, inoltre, un risultato che richiama l’analisi svolta nel Capitolo 2 per il parametro η: maggiore è ρ_ps e minore è η: in altre parole un aumento di ρ_ps determina un maggiore incremento di momento per i cavi aderenti equesto causa la diminuzione del parametro η. Sembrerebbe quindi che nella progettazione di un elemento precompresso a cavi non aderenti bisogna cercare di non avere un alto quantitativo di cavi per ottenere prestazioni, in termini di momento ultimo, simili a quelle degli elementi con cavi aderenti.

(25)

MODELLO SEMPLIFICATO MODELLO TRAVE NON LINEARE TRAVE tpe _aderenteMu Mu non aderente η Mu aderente Mu non aderente η PP3R3-0 0,00265 0,00778 0,06092 343674 312934 0,91 339956 313540 0,92 PP2R3 - 0 0,00133 0,00533 0,02856 153113 138428 0,9 160393 143253 0,89 P1R3-0 0,00067 0,00195 0,0159 64882 54736 0,84 74182 60477 0,82 P2R3 - 0 0,00267 0,00195 0,06046 173137 131827 0,76 174986 133750 0,76 P3R3 - 0 0,004 0,00195 0,08227 242020 179381 0,74 241253 180278 0,75 PP1R2-0 0,00109 0,00436 0,02153 299553 274164 0,92 310227 285781 0,92 PP2R2-0 0,00218 0,00636 0,0502 400671 360912 0,9 405695 364213 0,9 PP3R2-0 0,00327 0,00873 0,06759 654313 610742 0,93 646406 606925 0,94 P1R2-0 0,00218 0,00159 0,0401 231111 172458 0,75 243694 173599 0,71 P2R2-0 0,00327 0,00159 0,06 324565 245135 0,76 332041 244296 0,74 PP1R1-0 0,00036 0,00538 0,00981 475977 453206 0,95 485041 465358 0,96 PP2R1-0 0,00185 0,00738 0,04188 640744 599579 0,94 647627 604031 0,93 PP3R1-0 0,00277 0,00954 0,06779 827770 770873 0,93 823050 765565 0,93 MODELLO SEMPLIFICATO MODELLO TRAVE NON LINEARE TRAVE tpe Mu aderente Mu non aderente η Mu aderente Mu non aderente η PP3R3-3 0,002652 0,007778 0,054231 322427 291912 0,91 320927 303941 0,95 PP2R3-3 0,001333 0,005333 0,029393 174918 162843 0,93 181340 177683 0,98 P2R3-3 0,002667 0,001947 0,04902 171846 134655 0,78 176919 158246 0,89 P3R3-3 0,004 0,001947 0,075852 245148 ₁₉₀₈₅₄ _0,78 243658 ₂₁₇₃₄₁ _0,89 BEAM2 0,003313 0,004464 0,108883 629205 566306 0,9 625795 592024 0,95 BEAM3 0,003313 0,008929 0,109962 806467 749458 0,93 789429 750861 0,95 BEAM4 0,003313 0,013393 0,097857 1006244 965339 0,96 970136 942542 0,97 BEAM5 0,003313 0,017857 0,095744 1162913 1127667 0,97 1121913 1096912 0,98

Il valore di η, per i casi studiati, risulta compreso tra 0.71 e 0.98 ovvero i cavi non aderenti sembrano determinare una riduzione di capacità ultima compresa tra il 2% ed il 29%.

Tabella 3.26. Valori del rapporto η (equazione 2.63) per lo schema 1 (Figura 3.1).

ps

ρ ρ_s

Tabella 3.27. Valori del rapporto η (equazione 2.63) per lo schema 2 (Figura 3.2).

ps

ρ ρ_s

Le tabelle 3.26 e 3.27 confermano, ovviamente, il buon accordo tra il modello semplificato ed il modello trave non lineare anche se la tabella 3.27 evidenzia alcuni scostamenti tra i due modelli analitici. Tali scostamenti derivano da quelli già evidenziati nella Tabella 3.14 del capitolo 3 in cui le differenze sui momenti ultimi venivano attribuite alla scelta dell’inerzia adottata nel modello semplificato che in alcuni casi poteva risultare penalizzante.