CAPITOLO 4 Dimensionamento di massima del sistema 4.1 Equazione generalizzata del radar

CAPITOLO 4

Dimensionamento di massima del sistema

4.1 Equazione generalizzata del radar

Per quanto riguarda il dimensionamento di un qualunque sistema radar il presupposto di partenza è quindi la conoscenza dei parametri dell’equazione generalizzata del radar descritta, in una delle sue forme più classiche, dalla relazione 4.1 [16].

3 4 0 2 2 2 (4 ) ( / ) ( / 2) T i d S N R N L P T G PRF T π λ σ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4.1)

nella quale possiamo identificare: PT = Potenza trasmessa

(S/N) = Rapporto segnale rumore (in funzione della PFA e PD)

R = Range del Target

(N0/2) = Densità spettrale di potenza del rumore

L = Perdite nel sistema Ti = Durata dell’impulso

G = Guadagno d’antenna (siamo nella condizione di sistema monostatico) λ = lunghezza d’onda

σ = Radar Cross Section del bersaglio

PRF = 1/TR = Frequenza di ripetizione dell’impulso (Pulse Repetition Frequency)

Td = Tempo di illuminazione del bersaglio (Dwell Time)

Alcuni dei parametri dell’equazione sopra descritta sono stati già esaminati nei precedenti due capitoli; in maniera particolare sono state fatte delle considerazioni sulle zone di osservazione nella sfera celeste (ad esempio altitudine del Target), sulla frequenza ottima per la rivelazione dei bersagli (in base a quanto accennato sul

problema della Long Range Detection e sulle caratteristiche di assorbimento atmosferico) e alla RCS dei bersagli stessi. In questo capitolo quindi si andranno ad investigare le caratteristiche degli altri parametri presenti nell’equazione 4.1 e non ancora caratterizzati; infine si cercherà di avere una stima approssimata sui guadagni e le dimensioni di un elemento radiante1 , sulle potenze in gioco e sulle performance in range del sensore.

1 _{Lo studio è stato affrontato per un riflettore parabolico, il sistema più comunemente in uso per la}

rivelazione dei detriti spaziali. Esistono tuttavia alcuni sensori di tipo phased array come il Cobra Dane situato nell’isola di Shemya in Alaska.

4.2 Parametri del radar

Prima di andare a completare la lista dei parametri da inserire nell’equazione del radar è conveniente ricordare alcune considerazioni fatte sulla frequenza (e quindi sulla lunghezza d’onda λ), sulla RCS e sulla distanza dei bersagli.

Per quanto riguarda la frequenza si è partiti dal presupposto di dover osservare bersagli ad elevate distanze e quindi dalla necessità di sistemi che non avessero perdite eccessive dovute ad assorbimenti di tipo atmosferico. Bisogna comunque ricordare che, se da un lato la scelta di una bassa frequenza ci consentirà di avere basse perdite, d’altro canto condizionerà fortemente anche altri parametri; basti pensare che una bassa frequenza ci porterà ad avere valori di RCS abbastanza piccoli in termini di dBsm, e ad elementi radianti di dimensioni elevate.

Detto ciò la scelta della frequenza è dunque ricaduta su un range che va da 1 GHz a 5 GHz. Le simulazioni della RCS di alcuni bersagli hanno poi ulteriormente ristretto questo campo alle frequenza a cavallo di 1.8 GHz dove vengono a presentarsi, per tutte le curve, dei picchi consistenti di Radar Cross Section (tabella 4.1).

Bersaglio RCS (range da 1.5 GHz a 2 GHz)

Sfera (1 cm raggio) Da -46 dBsm a -43 dBsm

Sfera (3 m raggio) Da -21 dBsm a -20 dBsm

Piano (5 cm · 5 cm) Da -34 dBsm a -15 dBsm

Cilindro (raggio 1 cm e lunghezza 1 cm) Da -50 dBsm a -45 dBsm Cilindro (raggio 1 cm e lunghezza 5 cm) Da -28 dBsm a -19dBsm

Prisma (1 cm · 1 cm · 5 cm) Da -50 dBsm a -20 dBsm

Bullone Da -25 dBsm a -20 dBsm

Tabella 4.1

Per quanto riguarda invece la distanza dei Target si farà riferimento a bersagli nella zona LEO ovvero da 200 km a 2000 km e che sono, in base a quanto detto nei primi due capitoli, quelli sui quali ricade il maggior interesse.

4.2.1 Scelta della durata dell’impulso T

La scelta del parametro Ti influenzerà i valori della risoluzione in distanza del radar Δr

della potenza di picco in trasmissione PT e della distanza cieca Rc [17].

Lo scenario esaminato della popolazione degli space debris ci spingerà quindi ad usare “impulsi lunghi” ovvero della durata dei msec in modo da avere celle di risoluzione in range dell’ordine delle centinaia di km [18].

Ricordando che: 2 2 i R cT c B Δ = = (4.2)

Ad esempio la scelta di un Ti di 1.5 msec ci consentirà di avere un Δr di circa 225 km

mentre per un Ti di 1 msec avremo un Δr di circa 150 km.

Figura 4.1

D’altro canto però la scelta di impulsi di lunga durata ci permetterà di contenere i valori di potenza di picco in trasmissione che, considerando le notevoli distanze, saranno già estremamente elevati.

4.2.2 Scelta della PRF

La frequenza di ripetizione degli impulsi (PRF = 1/TR) ci consentirà di ricavare i valori

relativi della massima distanza non ambigua del radar descritta dall’equazione 4.3 [17].

2

2

c T

c

R

PRF

⋅

=

=

⋅

La massima distanza non ambigua va scelta inferiore alla portata del radar2 di modo da evitare di confondere gli echi di bersagli grandi ma lontani con echi di bersagli piccoli e vicini (echi di 2a traccia).

Un radar progettato per la rivelazione di oggetti in orbita è da considerarsi appartenente alla categoria dei radar a bassa PRF ovvero con ambiguità in doppler ma non in distanza [19]. Ovviamente ciò è da escludersi nel caso in cui il radar fosse di tipo FMCW (non si avrebbero problemi di ambiguità doppler e il problema relativo alla determinazione della distanza si risolverebbe con la modulazione di frequenza)

Se ad esempio considerassimo una massima distanza non ambigua di RMAX=3000 km si

otterrebbe una PRF di 50 Hz che corrisponde ad un tempo di ripetizione dell’impulso TR di 20 msec.

2 _{Dove con portata del radar si identifica la massima distanza alla quale con determinate caratteristiche di}

4.2.3 Dwell Time T

Il Tempo di illuminazione o di insistenza sul bersaglio (in inglese Dwell Time) rappresenta l’ampiezza dell’intervallo di tempo per il quale un Target rimane nel fascio a -3dB dell’antenna [20].

Dalla letteratura presente in materia e dalle considerazioni sulle velocità e sul moto intrinseco dei bersagli si evince che il valore del Dwell Time si può stimare considerando le fluttuazioni di valori della RCS al variare del tempo di osservazione dei bersagli. Le simulazioni sono state effettuate per le strutture elementari presentate nel terzo capitolo ma di seguito vengono solo riportati i grafici relativi ad un cilindro alla frequenza di 2 GHz e al bullone alla frequenza di 1.8 GHz. Nelle figure si può vedere l’istogramma relativo ai valori di RCS al variare del tempo t da 0.5 sec a 4 sec e sono anche presentati i valori medi massimi e minimi di RCS.

Come si può osservare l’istogramma per le varie figure tende ad avere una maggiore accuratezza all’aumentare del tempo di osservazione e si può affermare che un tempo TD dell’ordine di 1.5 sec o 2 sec è sufficiente per acquisire con correttezza tutte le

fluttuazioni del bersaglio [18].

Invertendo poi la relazione 4.4 siamo in grado di stabilire il valore dell’angolo a – 3dB in funzione della distanza del Target (altitudine) e della cella di risoluzione in azimuth Δθaz [20]. 180 az az R θ π θ ⋅ ⋅ Δ = (4.4)

I valori di tali aperture che poi useremo per stimare il guadagno e le dimensioni dell’antenna sono riportate nella tabella 4.2 a conclusione del paragrafo.

Figura 4.2

Figura 4.4

Figura 4.6

Figura 4.8

Δθaz Velocità Range θaz 22 km 11 km/sec 400 km 3.15° 16 km 7-8 km/sec 800 km 1.14° 16 km 7-8 km/sec 1400 km 0.65° 16 km 7-8 km/sec 2000 km 0.46° Tabella 4.2

La scelta di Dwell time anche inferiori a 2 sec è un ottimo compromesso se ci si riferisce ad oggetti di piccole dimensioni e con un moto veloce rispetto al loro asse di spin. Ciò ci permetterebbe di osservare tali detriti anche in modalità “Beam Parking”3 mentre non sarebbe possibile farlo completamente e con una buona accuratezza per oggetti più grandi, come ad esempio dei satelliti, dove è necessario il tracking del bersaglio oppure tempi di integrazione più lunghi [18].

3 _{Paragrafo 1.2.1}

4.2.4 Diametro e Guadagno d’antenna

La scelta di Dwell Time elevati e quindi Δθaz elevati corrisponderebbe anche ad un

angolo a metà potenza elevato e quindi ad un’antenna con basso guadagno. Questo però risulterebbe in disaccordo con le caratteristiche del radar in discussione che necessita di un elemento radiante con un forte guadagno in modo da equilibrare il link budget. Prima di discutere i risultati delle simulazioni si andranno a ricapitolare alcune nozioni elementari sulle antenne a grandi aperture (Large Aperture Reflectors Antennas) e in particolare quelle a riflettore parabolico che risultano essere l’oggetto di questo paragrafo [21] [22].

Questi tipi di antenne hanno la particolarità di avere: • Alto guadagno (40 dB – 60 dB)

• Fascio stretto per aumentare la risoluzione (BW-3dB ≈ 0.05° - 1.5°)

• SLL circa -20dB sotto rispetto al fascio principale

Le relazioni approssimate che ci permettono di dare una stima sulle dimensioni (in questo caso il diametro D del riflettore parabolico) e sul guadagno G sono:

3dB

BW k D

λ

− = (4.5)

dove con k si è indicata la costante di larghezza del fascio in relazione alla funzione di illuminazione dell’apertura. Nel nostro caso è stata considerato un valore di k ≈ 65° che garantisce una funzione di illuminazione con bassi lobi laterali.

az el k G θ θ = ⋅ (4.6)

θaz e θel4 ,rappresentano le aperture a -3dB nei due piani ortogonali mentre la costante k,

differente dalla precedente, dipende dall’efficienza dell’antenna (solitamente k ≈ 27000).

4 _{Nel caso di riflettore parabolico θ}

Le simulazioni sono state effettuate alle frequenze di 1.5 GHz, 1.8 GHz e 2GHz e per angoli a metà potenza compresi in un range da 0.05° a 3.5°.

Figura 4.10 (Caratteristica diametro guadagno)

La figura in alto evidenzia come per ottenere guadagni dell’ordine dei 55 dB occorre avere un’antenna di circa 45-50 metri di diametro che, se pur di frequente utilizzo come ad esempio nei ricevitori radioastronomici, risulta essere un vincolo forte relativamente anche ai costi che la costruzione di un tale sensore comporterebbe. La scelta di una frequenza più alta (curva in verde) ad esempio 5 GHz sicuramente ridurrebbe, a parità di guadagni, le dimensioni dell’elemento ma riporterebbe in primo piano il problema relativo agli assorbimenti atmosferici. Ciò evidenzia che, se si è vincolati dalle specifiche di sistema alla scelta di una bassa frequenza e ad un fascio stretto per ottenere un alto guadagno allora ci si dovrà certamente aspettare antenne di dimensioni elevate.

Nella figura 4.11 la caratteristica diametro guadagno è rappresentata per un’apertura da 0.5° a 3.5° sempre per le stesse frequenze illustrate in precedenza e si può vedere come allargando il fascio le dimensioni dell’antenna tendano a ridursi notevolmente fino ad arrivare ad una decina di metri di diametro a scapito però di un abbassamento del relativo guadagno anche sotto i 40 dB.

4.3 Analisi della potenza in trasmissione P

Per il calcolo della potenza in trasmissione PT restano ancora alcuni elementi da

discutere. In particolare osservando l’equazione introdotta nel paragrafo 4.1

3 4 0 2 2 2 (4 ) ( / ) ( / 2) T i d S N R N L P T G PRF T π λ σ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

si deduce che la trattazione va ancora affrontata per i termini (S/N), (N0/2) e L che

rappresentano rispettivamente il rapporto segnale rumore, il rumore ambientale e le perdite del sistema.

Per quanto riguarda il rapporto segnale-disturbo esso può essere ricavato dalle curve riportate in basso in funzione della probabilità di falso allarme (PFA) e della probabilità

di rivelazione (PD) [20] [23].

Figura 4.12 (SNR in funzione di PFA e PD)

Per il calcolo del rumore in ingresso al filtro adattato esso dipende dalla temperatura equivalente del ricevitore e dalla temperatura equivalente di antenna [23].

(

)

Per quanto riguarda la temperatura equivalente di rumore essa, considerando il ricevitore radar come un quadripolo rumoroso, è ricavabile dalla cifra di rumore F.

0

( 1)

rx

T = F− (4.8)

dove T0 rappresenta la temperatura ambiente.

La temperatura equivalente di antenna invece è data dalla somma di diversi contributi in particolare il contributo dovuto al rumore cosmico e quello dovuto al rumore atmosferico (figura 4.13).

Figura 4.13 (Temperatura equivalente d’antenna)

In figura 4.13 si può osservare che il contributo dovuto al rumore atmosferico per un angolo di elevazione di 0° alla frequenza di 1.5 GHz è di poco inferiore ai 100° K e il rumore cosmico a bassa frequenza non è da considerarsi ininfluente.

Anche le perdite di sistema sono la risultante di diversi elementi come ad esempio perdite per invecchiamento, per disadattamento, per effetto multipath ecc.[23].

Tutti questi contributi sono stati quindi inseriti nell’equazione 4.1 e si è potuto procedere al calcolo della potenza in funzione di alcuni parametri che sono stati opportunamente fatti variare.

In relazione a quanto detto si è calcolata la potenza di picco al variare della RCS egli oggetti, del rapporto segnale-disturbo e del guadagno d’antenna G e tali valori si possono apprezzare nelle curve riportate di seguito.

Ovviamente target con RCS piccole intorno ai -30 dBsm -40 dBsm necessitano di un potenza maggiore per essere rivelati con determinate PFA e PD ad una certa quota mentre

tale valore di potenza scende se il bersaglio è di dimensioni più consistenti e presenta una RCS, in relazione alla sua forma, ragionevolmente più alta come in figura 4.15. Ad esempio per rivelare un bersaglio con RCS=-30 dBsm (sfera 1-2 cm di raggio) ad una quota di circa 800 km (altitudine con la massima concentrazione di satelliti) saranno necessari circa 100 KW di potenza mentre scende a 20 KW se il bersaglio presenta una RCS di -20 dBsm.

Figura 4.15

Ovviamente questo suggerisce di poter costruire un grafico che visualizzi le performance in range (altitude,RCS) del sensore in funzione della potenza trasmessa PT

ed un esempio è rappresentato dalla figura 4.16.

Figura 4.17

La figura in alto ci mostra come sia necessario, come visto nel paragrafo 4.2.4, avere delle antenne con un elevato guadagno per contenere i valori di potenza in trasmissione a scapito di un sostanziale aumento delle dimensioni.

4.4 Conclusioni

In questo capitolo sono state discusse alcune delle caratteristiche fondamentali di un sistema dedicato alla rivelazione degli space debris, si è potuto vedere come i valori di RCS estremamente bassi e le lunghe distanze siano i principali fattori che influenzano notevolmente i valori di potenza in trasmissione.

La struttura dell’elemento radiante risulta essere un altro aspetto fondamentale scaturito dallo studio di questo sistema infatti la costruzione di un’antenna ad alti guadagni con conseguenti dimensioni elevate comporterebbe costi di costruzione e manutenzione elevati in relazione anche alla possibilità di poter effettuare tracking da parte del sensore e non semplicemente essere adoperato in modalità beam-parking.

Le valutazioni fatte negli anni in considerazione del basso numero di eventi di collisione o comunque di possibili eventi da monitorare e quindi il rapporto tra i costi di costruzione e i benefici ricavabili sfociarono in una sottovalutazione del fenomeno e quindi nell’abbandono dei progetti di realizzazione di tali sistemi.

Questo suggerisce quindi di poter strutturare il sistema in maniera più flessibile ovvero collocando una rete di sensori, dedicati e non, con caratteristiche differenti da quelle viste fin’ora ma che nel complesso rendano la rete altamente performante abbattendo i costi di costruzione delle apparecchiature e sfruttando il vantaggio di processi di rivelazione bistatica e multistatica di algoritmi di data fusion e di poter operare in configurazioni differenti come ad esempio la modalità sperimentale Piggy Back che ci consente di non interferire con le operazioni dei singoli sistemi aumentando così il tempo di osservazione.