CAP.3 METODO DI ACCOPPIAMENTO DEL FLUSSO VISCOSO E POTENZIALE

CAP.3 METODO DI ACCOPPIAMENTO DEL FLUSSO VISCOSO E POTENZIALE 3.1 Schematizzazione dei profili in schiera

Ciascun profilo della schiera in esame viene approssimato, come già accennato, con una poligonale composta da N segmenti: il contorno del profilo viene quindi descritto da N+1 punti il primo e l’ultimo dei quali coincidono col bordo d’uscita.

Considerando un corpo cilindrico palettato e sviluppando su un piano la sezione cilindrica eseguita ad un raggio prestabilito si ottiene una schiera di profili come illustrato in figura.

In tale figura si è indicato con: βs: angolo di calettamento;

d: passo relativo lungo la schiera; L: lunghezza di riferimento;

3.2 Schematizzazione della scia.

Lo scheletro della scia viscosa viene schematizzato con una spezzata, composta da Nw segmenti, che approssima la linea di corrente a flusso potenziale fluente dal bordo d’uscita dei profili. Il numero dei segmenti caratterizzanti la scia non è in genere molto elevato, essendo sufficienti 10-15 da essi.

Bisogna anche fissare l’estensione della scia che si vuol considerare, Lw; un valore che viene spesso usato è quello ottenuto dividendo per due la lunghezza di riferimento del profilo, infatti si può vedere sperimentalmente come a tale distanza dal bordo d’uscita il flusso, nella maggior parte dei casi sia diventato praticamente uniforme.

Fig.3.2.1

Indicando con λw una distanza opportunamente scelta in funzione di Lw si ha: θ= Nw dθ e anche       λ = θ − w Lw tg 1

Una volta che dθ è noto risulta semplice il calcolo delle lunghezze dei vari segmenti componenti la scia:

[

]

[

(

)

]

{

tgd j tgd j 1

}

w ) j ( lw _w =λ θ⋅ _w − θ _w − per 1≤ j_w ≤ Nw

Devono ora essere calcolate le coordinate degli estremi dei segmenti ora visti. Il primo nodo coincide con il bordo d’uscita del profilo, inoltre il primo segmento formante lo scheletro della scia deve avere la stessa pendenza della bisettrice dell’angolo formato dai segmenti 1 ed N della poligonale formante il profilo.

Fig.3.2.2

Si può quindi definire completamente il primo tratto; per il successivo si ipotizza, inizialmente, che abbia la stessa pendenza del precedente, vengono così calcolate le coordinate del nodo seguente. Possiamo adesso calcolare le componenti della velocità, sfruttando la soluzione potenziale nota, nei punti medi dei segmenti così definiti; la velocità effettiva del nodo in esame viene così calcolata come una media delle velocità ricavate in corrispondenza dei punti medi, tenendo anche conto delle diverse lunghezze dei segmenti formanti lo scheletro. Nota la velocità nel nodo considerato si può calcolare la lunghezza effettiva del segmento. Ripetendo questo procedimento per tutti i segmenti si definiscono le coordinate dei nodi.

Per maggiore chiarezza vediamo come si applica nella pratica questo metodo. Dall’esame della figura precedente risulta che:

) j ( lw 2 ) j ( lw ) j ( lw U U U U _{w 1} w 1 w sx dx sx eff − − + − + = ) j ( lw 2 ) j ( lw ) j ( lw V V V V _{w 1} w 1 w sx dx sx eff − − + − + = da cui la pendenza effettiva risulta:

( )

_      = Ψ − eff eff 1 w U V tg j (3.2.1)

e quindi si può anche scrivere che

     Ψ + = Ψ + = + + ) j ( sen ) j ( lw ) j ( Yw ) j ( Yw ) j ( cos ) j ( lw ) j ( Xw ) j ( Xw w w w 1 w w w w 1 w

Si ammette che lo scheletro della scia rimanga invariato per i calcoli successivi, in quanto le probabili variazioni sono di entità trascurabile.

3.3 Distribuzione delle singolarità.

Come visto in precedenza, per tener conto delle perturbazioni del flusso potenziale dovute agli effetti viscosi, si distribuisce lungo il profilo e la sua scia una velocità normale che da luogo allo stesso effetto dello spessore di spostamento dello strato limite.

Questa disposizione di velocità normale attorno al profilo e alla scia corrisponde ad una distribuzione lineare di sorgenti, q e qw, lungo gli stessi; essa si viene a sommare a quella

preesistente di vorticità γ(s); quindi adesso la situazione in esame si può così schematizzare:

Fig.3.3.1

dove con il pedice “w” si indicano i valori relativi alla scia.

Vediamo adesso come si determina l’intensità delle sorgenti disposte nei nodi della poligonale.

Il profilo delle velocità all’interno dello strato limite, di spessore δ, è all’incirca il seguente

Se si considera l’equazione della continuità scritta nella forma 0 n v s u = ∂ ∂ + ∂ ∂

dove con s si è indicata l’ascissa curvilinea che corre lungo il profilo e con n l’asse ad essa normale; integrando tra 0 e δ otteniamo:

∫

δ =−

∫

δ∂_∂ ∂ ∂ 0 0 sds u dn n v

da cui risolvendo l’integrale a primo membro e portando fuori da quello a secondo membro la derivata parziale rispetto ad s, si ha:

( ) ( )

( )

u

( )

0 0 ds d u udn s 0 v v 0 + ⋅ δ δ + ∂ ∂ − = − δ

∫

δ Indicando con:      = δ = δ = v(0) V ) v( Ve ) ( u Ue 0 si può scrivere:       _{⋅ −} δ ∂ ∂ − =

∫

δ ds d Ue dn u s V Ve 0 0 (3.3.1)

Considerando che vale la seguente relazione, com’è facile verificare,

∫

δ ⋅ =−

∫

δ

(

−

)

+

∫

δ ⋅ 0 0 0u dn Ue u dn Ue dn (3.3.2) ed essendo

(

)

∫

δ − = δ 0 * _{Ue u dn} Ue 1

si ha:

∫

δ ⋅ =−δ + δ 0 *_{Ue Ue} dn u

e quindi la (1) si può scrivere come:

(

)

(

)

ds d Ue ds Ue d ds Ue d V Ve * 0 δ + δ − δ + = (3.3.3)

Svolgendo le derivate a secondo membro risulta:

= +

(

δ

)

− δ ds dUe ds Ue d V Ve * 0 (3.3.4)

e sviluppando in serie di Taylor la velocità V(n) si ottiene:

(

−δ

)

∂ ∂ + = n n Ve Ve ) n ( V

e quindi per l’equazione di continuità si ha:

( )

(

)

n s Ue ds Ue d n V * ∂ ∂ − δ =

e per n=0 si ottiene appunto il valore da assegnare alla sorgente considerata:

(

)

_q ds Ue d ) 0 ( V * = δ =

Fig.3.3.3

In definitiva nel nodo j-esimo della poligonale costituente il contorno del profilo si trova una sorgente d’intensità pari a :

(

)

ds Ue d q * δ = (3.3.5)

L’effetto di spostamento della scia è del tutto analogo a quello dello strato limite attorno al profilo, quindi può essere benissimo rappresentato attraverso una distribuzione di sorgenti su di una superficie infinitamente sottile, conducendo ad una discontinuità della velocità normale, su questa superficie data da:

(

)

w * w w w ds Ue d q = δ (3.3.6)

Viene richiesta un ulteriore condizione per fissare la posizione della scia, questo può farsi considerando due livelli di approssimazione.

In prima approssimazione, trascurando la curvatura della scia, si ha semplicemente la condizione che la pressione non vari lungo la scia, cioè p=cost oppure Cpd= Cpv dove “d” e “v” si riferiscono rispettivamente al dorso e al ventre; tutto questo è valido quando la scia viene considerata come sottile foglio di sorgenti.

Dato che la curvatura, nella regione prossima al bordo d’uscita, tende a valori relativamente elevati, in accordo con quanto riferito da Lock (vedi bibliografia[17]), è preferibile utilizzare un’approssimazione di ordine superiore che tenga conto della variazione di pressione attraverso la scia nel flusso reale.

Si schematizza un tratto di scia nel seguente modo:

Fig.3.3.4

si tiene conto del fatto che nel flusso potenziale ed approssimativamente nel flusso viscoso vale la seguente relazione kw u2w n P _{=− ⋅ρ⋅} ∂ ∂ (3.3.7)

Infatti se si considera un elemento di scia scrivendo l’equazione di equilibrio tra le forze di pressione e la forza centrifuga, si ottiene:

(

Ps Pi

)

Rw d 0 Rw u d Rw 2 w _{+ − ⋅ θ=} ∆ ⋅ θ ⋅ ⋅ ρ

Dividendo questa relazione per ∆ ed esprimendola in forma differenziale si ottiene l’equazione (3.3.7), dove con Kw si è indicata la curvatura della scia.

Integrando la (3.3.7) attraverso la scia, si ha che nel flusso reale viscoso

∫

⋅ρ⋅ − = − 6 1 2 w 1 6 P kw u dn P

Ricordando le seguenti relazioni si può scrivere:

∫

_ − _ = θ dn Ue u 1 Ue u w w w w w

∫

      − = δ dn Ue u 1 w w * w e quindi         +       − − θ − ⋅ ρ ⋅ − = −

_∫

dn

_∫

dn Ue u 1 Ue kw P P w w w 2 w 1 6 da cui

(

)

[

w

]

* w w 2 w 1 6 kw Ue P =− ⋅ρ⋅ δ − δ +θ ∆ ₋

Si ottiene quindi un salto di pressione attraverso la superficie rappresentante la scia dato da:

(

w

)

* w 2 w 3 4 kw Ue P = ⋅ρ⋅ δ +θ ∆ ₋

Fintanto che questo salto è piccolo, esso equivale ad una discontinuità nella velocità tangenziale data da:

(

w

)

* w w w kw Ue u =− ⋅ δ +θ ∆ e quindi

( )

(

w

)

* w w w w s =−kw⋅Ue δ +θ γ (3.3.8)

dove kw si ricava considerando il raggio di curvatura della scia Rw dato dalla relazione:

w

ds d Rw

con Ψ data dalla (3.2.1).

Calcolando la stessa per il nodo j-esimo risulta:

kw 2 ) j ( lw ) j ( lw ) j ( ) j ( ds d 1 w w w 1 w jw w = ⋅ + Ψ − Ψ = Ψ + +

Mediante questa distribuzione di vorticità lungo la scia si tiene appunto conto dell’effetto dovuto alla curvatura della stessa.

In corrispondenza del bordo d’uscita, in analogia con quanto già visto in precedenza, bisogna imporre che sia soddisfatta la condizione di Kutta e dato che nello stesso punto la curvatura può essere molto elevata, lungo ogni profilo si distribuisce la vorticità incrementale

* 1 N 1 N j * 1 1 N j * j s s s s 1 ₊ + + γ + γ ⋅       − = γ (3.3.9) in cui le quantità * 1 γ e * 1 N+

γ , intensità in corrispondenza del bordo d’uscita, rispettivamente sul ventre e sul dorso di esso, devono verificare l’equazione (3.3.8) in tale punto.

Con riferimento alla seguente figura si può scrivere:

            γ ⋅ + γ ⋅ + = γ ⋅ + γ ⋅ + = γ ⋅ + γ ⋅ + = γ ⋅ + γ ⋅ + = + + + + + + + + + + + + * 1 1 N * 1 N 1 N 1 N 0 1 N * 1 1 N * 1 N 1 N 1 N 0 1 N * 1 1 * 1 N 1 01 1 * 1 1 * 1 N 1 01 1 h d v v e c u u h d v v e c u u (3.3.10)

dove uj, vj, cj, dj, ej, h (per j=1 e j=N+1) sono funzioni note e con uj, v0j (per j=1 e j=N+1) sono

state indicate le velocità calcolate per * 0

1 N *

1 =γ =

γ ₊ .

Le velocità tangenti al lembo esterno dello strato limite al bordo d’uscita valgono rispettivamente:      α ⋅ + α ⋅ = α ⋅ + α ⋅ = + + + + + N 1 *N 1 * 1 N 1 N 1 eN * 1 1 * 1 1 1 e sen v cos u u sen v co u u (3.3.11)

Considerando inoltre che al bordo d’uscita valga la seguente relazione 0 * 1 N * 1+γ = γ ₊

l’equazione (3.3.8) si può scrivere come

(

(1) (1)

)

2 Ue Ue ) 1 ( kw * _w w 1 1 N * 1 N * 1 δ +θ      − − = γ + γ + + (3.3.12) da cui risulta Ue1=UeN+1

Risolvendo il sistema formato dalle (3.3.10) e dalle (3.3.11) e dalla relazione ora ricavata, si ottiene in definitiva la seguente espressione

2 1 * 1 N ⋅k =k γ ₊ dove k1 e k2 sono delle costanti date da:

     α ⋅ + α ⋅ + α ⋅ − α ⋅ − = α ⋅ − α ⋅ − α ⋅ + α ⋅ = + + + + + + + + * 1 01 * 1 01 * 1 N 1 N 0 * 1 N 1 N 0 2 * 1 1 * 1 1 * 1 N 1 N * 1 N 1 N 1 sen v cos u sen v cos u k sen b cos a sen b cs q k con        = = = = + + + + + + 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 1 1 1 1 1 h -d b e -c a h -d b e -c a Risulta pertanto 1 2 * 1 N k k = γ ₊ 1 2 * 1 k k = γ

Mediante la relazione (3.3.9) la distribuzione di vorticità incrementale è quindi ora nota.

Le distribuzioni di singolarità ora viste hanno l’effetto di modificare l’espressione di velocità totale. La distribuzione di sorgenti, q, lungo la poligonale che compone il contorno del profilo, ha l’effetto di indurre in un punto ζ, una velocità complessa coniugata data da:

(

)

[

1

]

j 1 j 1 j 0 j j ' j q I I q I 2 1 ) ( w − + ₊ π − = ζ ∆

Analogamente le sorgenti qw distribuite lungo lo scheletro della scia danno luogo a:

(

)

[

1

]

j 1 wj 1 j 0 j wj '' j q I I q I 2 1 ) ( w − + ₊ π = ζ ∆ e le vorticità γw a

(

)

[

1

]

j 1 wj 1 j 0 j wj '' ' j I I I i 2 1 ) ( w γ − +γ ₊ π − = ζ ∆

ed ancora le vorticità incrementali γ* a

(

)

[

1

]

j * 1 j 1 j 0 j * j * j I I I i 2 1 ) ( w γ − +γ ₊ π − = ζ ∆

In definitiva si ha che la velocità indotta dall’i-esimo segmento vale:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + = N 1 J N 1 j N 1 j N 1 j N 1 j N 1 j * j '' ' j '' j '' j ' j j 0 i w w w w w w w w (3.3.13)

Per la nota condizione di tangenza del flusso nel punto medio di ogni segmento costituente la poligonale, deve risultare:

2 v n w n i ⋅ = (3.3.14)

dove con vn si è indicato la velocità normale nel punto considerato [sulla parete si ha

La quantità vn/2 rappresenta la discontinuità della velocità normale calcolata nel punto

medio suddetto, dove vale

2 q q v i i 1 n + + = Fig.3.3.7

Le sorgenti inducono all’infinito a monte una velocità data da i d 2 Q_tot − quindi si ha la seguente situazione Fig.3.3.8 Da cui j d 2 ' i d 2 ' Q w w₀ = ₁+ − Γ (3.3.15)

dove con Q’ e Γ’ si sono indicati gli integrali delle sorgenti e delle vorticità disposte lungo il profilo e la scia.

Sostituendo la (3.3.15) nella (3.3.13) e quanto si ottiene nella (3.3.14), è possibile risolvere la (3.3.14’) così ottenuta per γ(s) che ci permette di conoscere la velocità del flusso in ogni punto del piano, e quindi anche la velocità tangente al lembo esterno dello strato limite necessaria per il calcolo successivo dello stesso.