Cap. 5 I segmenti
Cap. 5 I segmenti
Definizione Definizione
Dal vocabolario Dal vocabolario sappiamo che segmento significa sappiamo che segmento significa Porzione, Porzione, parte di un corpo, di un organo, di un oggetto
parte di un corpo, di un organo, di un oggetto
Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una parte di qualcosa che abbiamo già studiato.
parte di qualcosa che abbiamo già studiato.
Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B
I due punti individuano un parte di retta I due punti individuano un parte di retta
Si dice segmento una porzione di retta Si dice segmento una porzione di retta delimitata da due punti detti estremi del delimitata da due punti detti estremi del
segmento segmento
I segmenti si indicano con una lettera minuscola
Segmenti consecutivi Segmenti consecutivi
Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa significa consecutivo?
significa consecutivo?
Consecutivi sono degli eventi od elementi Consecutivi sono degli eventi od elementi che vengono uno dietro l’altro
che vengono uno dietro l’altro
Perciò anche i segmenti consecutivi debbono Perciò anche i segmenti consecutivi debbono venire uno dietro l’altro
venire uno dietro l’altro
Consideriamo i segmenti AB e CD sono Consideriamo i segmenti AB e CD sono consecutivi?
consecutivi?
Per rispondere facciamo la seguente Per rispondere facciamo la seguente
considerazione: una formica può andare a D considerazione: una formica può andare a D
ad A senza toccare il piano ad A senza toccare il piano
A
B C
D
La risposta è no perché c’è una discontinuità (un La risposta è no perché c’è una discontinuità (un
intervallo) fra i due segmenti
intervallo) fra i due segmenti
Per ripristinare questa continuità debbo far Per ripristinare questa continuità debbo far coincidere due estremi
coincidere due estremi
Come si vede gli estremi B e C vanno a Come si vede gli estremi B e C vanno a coincidere
coincidere
Definiamo consecutivi due segmenti che Definiamo consecutivi due segmenti che hanno un estremo in comune
hanno un estremo in comune
A
B C
D
Segmenti consecutivi
Spezzata Spezzata
A cosa vi fa pensare una spezzata? A cosa vi fa pensare una spezzata?
Qualcosa che si rompe in tanti pezzi Qualcosa che si rompe in tanti pezzi
A me dà l’idea di un spaghetto che si A me dà l’idea di un spaghetto che si rompe
rompe
Se noi rompiamo uno spaghetto e Se noi rompiamo uno spaghetto e manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzata punto abbiamo l’idea della spezzata
In pratica la spezzata è data In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti segmenti dall’unione di tanti segmenti
uno consecutivi all’altro uno consecutivi all’altro
D B
C
A E
F
Elementi di una pezzata Elementi di una pezzata
D B
C
A E
estremi F
vertici
I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata
I punti che uniscono i segmenti consecutivi
prendono il nome di vertici della spezzata
I segmenti consecutivi che formano la spezzata
prendono il nome di lati della spezzata
lati
Tipi di spezzata Tipi di spezzata
Spezzata aperta semplice Spezzata aperta semplice
Spezzata aperta intrecciata Spezzata aperta intrecciata
Spezzata chiusa semplice Spezzata chiusa semplice
Spezzata chiusa intrecciata Spezzata chiusa intrecciata
Spezzata aperta Spezzata aperta
Una spezzata si dice aperta semplice se i Una spezzata si dice aperta semplice se i suoi estremi non coincidono
suoi estremi non coincidono
Una spezzata aperta (con gli estremi che Una spezzata aperta (con gli estremi che non coincidono) si dice intrecciata quando non coincidono) si dice intrecciata quando
ha due o più lati che si intersecano ha due o più lati che si intersecano
Spezzata apertaSpezzata aperta intrecciata
Spezzata Chiusa Spezzata Chiusa
Una spezzata semplice si dice chiusa se i Una spezzata semplice si dice chiusa se i suoi estremi coincidono
suoi estremi coincidono
Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si intersecano
almeno due lati che si intersecano
Spezzata semplice chiusa
Spezzata chiusa intrecciata
p
Segmenti adiacenti Segmenti adiacenti
Due segmenti si dicono Due segmenti si dicono
adiacenti se sono adiacenti se sono
consecutivi e se giacciono consecutivi e se giacciono
sulla stessa retta sulla stessa retta
A B C r
Segmenti adiacenti
Contributo esterno
Confronto di segmenti Confronto di segmenti
Confrontare: Mettere di fronte persone o cose, Confrontare: Mettere di fronte persone o cose, per conoscerne la somiglianza, le affinità, le per conoscerne la somiglianza, le affinità, le
differenze differenze
Nel nostro caso, siccome i segmenti si Nel nostro caso, siccome i segmenti si
assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle
differenze di lunghezza differenze di lunghezza
Confrontare due segmenti si riduce quindi a Confrontare due segmenti si riduce quindi a vedere quale è maggiore, quale minore o
vedere quale è maggiore, quale minore o verificare se sono uguali
verificare se sono uguali
Segmento maggiore di un altro Segmento maggiore di un altro
Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere gli estremi di Facciamo coincidere gli estremi di inizio e vediamo cosa succede
inizio e vediamo cosa succede
Si vede che AB è maggiore di CD Si vede che AB è maggiore di CD
A B
C D
Un segmento è maggiore di Un segmento è maggiore di
un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo segmento l’estremo del secondo segmento
cade all’interno del primo
cade all’interno del primo
Segmento minore di un altro Segmento minore di un altro
Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD
Sovrapponiamoli e vediamo cosa succedeSovrapponiamoli e vediamo cosa succede
Si vede che AB è minore di CDSi vede che AB è minore di CD
A B
C D
Un segmento è minore di Un segmento è minore di
un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo segmento l’estremo del secondo segmento
cade all’esterno del primo
cade all’esterno del primo
Segmenti congruenti Segmenti congruenti
Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD
Sovrapponiamoli e vediamo cosa succedeSovrapponiamoli e vediamo cosa succede
Si vede che AB è uguale a CDSi vede che AB è uguale a CD
A B
C D
Un segmento è congruente ad Un segmento è congruente ad
un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti l’estremo l’inizio dei due segmenti l’estremo
del secondo coincide con del secondo coincide con
l’estremo del primo
l’estremo del primo
Somma di segmenti Somma di segmenti
Per sommare due segmenti occorre metterli uno Per sommare due segmenti occorre metterli uno dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti
due segmenti adiacenti
Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere B con CFacciamo coincidere B con C
Otteniamo il segmento ADOtteniamo il segmento AD
Tale segmento è la somma di AB + CDTale segmento è la somma di AB + CD
AD = AB + CD AD = AB + CD
A B
C D
Differenza di segmenti Differenza di segmenti
Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD con AB maggiore di CD
con AB maggiore di CD
Facciamo coincidere A con C Facciamo coincidere A con C
Otteniamo il segmento DB Otteniamo il segmento DB
Tale segmento è la differenza di Tale segmento è la differenza di AB – CD
AB – CD
DB = AB – CD DB = AB – CD
A B
C D
Per sottrarre due segmenti occorre far
coincidere l’inizio dei due segmenti, la
differenza sarà data da quel segmento
che sommato al secondo riproduce il
primo
Multiplo di un segmento Multiplo di un segmento
Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un numero intero di volte qualcos’altro
numero intero di volte qualcos’altro
Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di volte
lo contiene un numero intero di volte
Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC
AD = 4 x BC AD = 4 x BC
A D
C D
Sottomultiplo di un segmento Sottomultiplo di un segmento
Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è contenuta un numero intero di volte qualcos’altro
contenuta un numero intero di volte qualcos’altro
Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un altro se questo lo contiene un numero intero di altro se questo lo contiene un numero intero di
volte volte
Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC
BC = AD : 4 BC = AD : 4
A D
C D
Punto medio di un segmento Punto medio di un segmento
Medio significa ciò che è nel mezzo tra due Medio significa ciò che è nel mezzo tra due estremi
estremi
Riferito ad un segmento sarà quel punto che è Riferito ad un segmento sarà quel punto che è equidistante (cioè che ha la stessa distanza) equidistante (cioè che ha la stessa distanza)
dagli estremi dagli estremi
Il punto medio di un segmento è quel Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide in due parti
punto che lo divide in due parti congruenti
congruenti
A B
M
Problema 1 Problema 1
La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare i due segmenti differenza è 5 cm trovare i due segmenti
Differenza 5 cm
Cosa succede se elimino questa differenza?
Rimangono due segmenti uguali (a e b)
a b
La cui somma è
eliminato
Se a = b sarà anche a + b =
b + b = 2b Da cui
s
Ed infine
c
a = 15 cm e c = 5 cm perciò
La somma di due segmenti a e b è 65 cm la La somma di due segmenti a e b è 65 cm la loro differenza è di 15 cm trovare i due
loro differenza è di 15 cm trovare i due segmenti
segmenti
a + b = 65 cm a + b = 65 cm
a – b = 15 cm a – b = 15 cm
Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b
segmento b
2b = 65 cm – 15cm = 50 cm 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm
b = 50 cm : 2 = 25 cm b = 50 cm : 2 = 25 cm
a = 25 cm + 15 cm = 40 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cm
La somma di due segmenti a e b è 65 cm la La somma di due segmenti a e b è 65 cm la uno supera l’atro di 15 cm trovare i due
uno supera l’atro di 15 cm trovare i due
segmenti (problema uguale al precedente, se segmenti (problema uguale al precedente, se
uno supera l’altro significa che c’è una uno supera l’altro significa che c’è una
differenza fra i due) differenza fra i due)
a + b = 65 cm a + b = 65 cm
a = b + 15 cm a = b + 15 cm
Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del segmento b
segmento b
2b = 65 cm – 15cm = 50 cm 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm
b = 50 cm : 2 = 25 cm b = 50 cm : 2 = 25 cm
a = 25 cm + 15 cm = 40 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cm
La somma di due segmenti è 60 cm uno è il triplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmenti
Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u
L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u
La loro somma sarà CD + AB = 4u Il tutto con una lunghezza di 60 cm
Cioè 4u = 60 cm …. Cosa debbo fare per sapere quanto vale u (cioè uno dei due segmenti di cui si vuole conoscere il valore?)
u
u u u
A B
C 3u D
60 cm
AB = 15 cm
CD = 3 u = 3 x 15 cm = 45 cm
La somma di due segmenti è di 37,5 cm uno è il quadruplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmenti
AB = u CD = 4 u
AB + CD = u + 4 u = 5 u 5u = 37,5 cm
u = 37, 5 cm : 5 = 7,5 cm AB = 7,5 cm
CD = 7,5 cm x 4 =30 cm CD = 30 cm
È uguale a
perché
la differenza di due segmenti è 42 cm uno è il triplo dell’altro, trovare la lunghezza dei due segmenti
u
u u u
A B
C 3u D
42 cm
Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u
L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u
CA = CD – AB = 3u – u = 2u 2u = 42 cm
u = 42cm : 2 = 21 cm AB = 21 cm
CD = 3 x AB = 3 x 21 cm = 63 cm CD = 63 cm
2u
