Tecniche di riduzione del
Peak-to-Average Power Ratio
3.1 INTRODUZIONE
Uno degli svantaggi delle modulazioni multiportanti è l’elevato PAPR
(Peak-to-Average Power Ratio). Il segnale multicarrier è una combinazione lineare di N
sottosegnali indipendenti tra loro e presenta, quindi, forti fluttuazioni nell’ampiezza. Se la potenza di picco trasmessa è imposta dalla particolare applicazione o da limitazioni hardware, la potenza media trasmessa con modulazioni multiportanti risulta essere inferiore a quella ottenibile con modulazioni a potenza costante: ciò si traduce in una riduzione dell’area di copertura della trasmissione multicarrier .
Per contenere le ampie fluttuazioni sono necessari amplificatori di potenza con dinamiche elevate e per prevenire l’allargamento spettrale dovuto a fenomeni di intermodulazione e di clipping è necessario far lavorare il PA nella regione lineare con alti valori di backoff. In questa regione la conversione di potenza è meno efficiente con
effetti deleteri sia sui terminali mobili (peso e dimensione delle batterie, valori di “talk-time”) sia sulla stazione base (maggiori dimensioni e consumi, sistemi di raffreddamento più spinti, complessi e costosi).
Un elevato PAPR vanifica anche i vantaggi derivanti dall’utilizzo di tecniche di linearizzazione. In presenza di un linearizzatore, per ottenere un abbattimento dell’interferenza da intermodulazione è necessario far lavorare il PA con valori di OBO dell’ordine del PAPR. In queste condizioni il segnale vede “in media” una caratteristica AM/AM sostanzialmente lineare ed una caratteristica di fase identicamente nulla. Per aumentare l’efficienza del PA si deve lavorare con valori di OBO inferiori al PAPR, ammettendo, quindi, il verificarsi di eventi di clipping che non possono essere compensati dalla tecnica di linearizzazione e che innalzano il livello dell’interferenza da canale adiacente.
Le tecniche proposte per ridurre il PAPR delle modulazioni multiportanti sono molteplici ed includono Clipping and Filtering (CF), Coding, Tone Reservation (TR),
Active Constellation Extension (ACE) e numerosi metodi di rappresentazione
alternativa del segnale come Partial Transmit Sequences (PTS), Selected Mapping (SLM) e Interleaving. La riduzione del PAPR è ottenuta nei vari casi a spese di un incremento della potenza del segnale trasmesso, di un aumento della BER, di una perdita di data rate, di un aumento dell’onere di calcolo [6].
3.2 DEFINIZIONE DI PAPR
Prima di focalizzare l’attenzione sulle varie tecniche di PAPR Reduction, è bene sottolineare la quasi assenza di documentazione riguardante la FMT; quanto proposto in letteratura è relativo alla sola modulazione OFDM. L’idea che accomuna i diversi metodi è quella di prevenire la comparsa di picchi sulle uscite della IFFT eliminando le forti fluttuazioni sui campioni del segnale trasmesso.
Diversamente dall’OFDM, nella FMT le uscite delle IFFT non sono i campioni del segnale trasmesso ma gli ingressi del banco di filtri polifase. Intuitivamente, la presenza in ingresso al banco di filtri digitali di un picco di segnale, dopo un opportuno ritardo, si traduce inevitabilmente in un picco sul segnale in uscita; a causa della sovrapposizione temporale delle code dei diversi impulsi, la mancanza di picchi in ingresso ai singoli filtri numerici, non assicura, tuttavia, l’assenza di picchi sul segnale trasmesso.
Il segnale FMT appartenendo alla famiglia delle modulazioni multiportante presenta forti fluttuazioni in ampiezza. Il segnale multicarrier è, infatti, costituito dalla somma di N segnali statisticamente indipendenti tra loro.
Se indichiamo con (0),..., (N 1)
n n n
A = A A − il blocco dati, la rappresentazione complessa
in banda base di un segnale multiportante costituito da N sottoportanti è dato da: 1 ( ) 2 / 0 ( ) n N k ( ) j k t T n n k s t A g t nT e π β =+∞ − =−∞ = =
∑ ∑
− (3.2.1) dove T βrappresenta la spaziatura tra le sottoportanti, T indica l’intervallo di segnalazione sulla singola sottoportante e g(t) è l’impulso di trasmissione a radice di coseno rialzato con rolloff α.
Il PAPR del segnale trasmesso è definito come:
{
}
2 2 max ( ) ( ) s t PAPR E s t (3.2.2)E’ noto che il PAPR di un segnale tempo continuo non può essere ottenuto precisamente attraverso un campionamento alla frequenza di Nyquist (M=1) ma si dimostra come già M=4 possa fornire dei PAPR accurati.
Il PAPR valutato sul segnale numerico sovracampionato è dato da: 2 0 1 2 max k k NM k s PAPR E s ≤ ≤ − = (3.2.2)
Poiché la misura stessa del PAPR secondo la definizione classica risulta poco significativa perché dipendente dalla particolare osservazione del processo di segnale e dalla durata del tempo di osservazione, si definisce:
{ }
2 2 k k s E s ρ (3.2.3)E, come detto in precedenza, si definisce il PAPR come il 99.8 percentile di ρ.
Per valutare le prestazioni delle tecniche di PAPR Reduction, in letteratura viene di solito utilizzata la CDF (Cumulative Distribution Function) o più comunemente la CCDF (Complementary CDF) di ρ[7].
3.2.1 Proprietà statistiche della potenza istantanea
Con riferimento al sistema OFDM, il vettore di N simboli che va a modulare le N sottoportanti in corrispondenza dell’n-esimo intervallo di segnalazione è:
(0),..., (N 1)
n n n
A = A A − (3.2.4)
dove gli ( )k n
A appartengono ad una costellazione con valor medio nullo e varianza σA2. Effettuando un’operazione di IDFT sul vettore An si ottiene la rappresentazione del
1 ( ) ( ) 2 0 1 , 0 1 N l k j k l N n n k a A e l N N π − = =
∑
≤ ≤ − (3.2.5)L’intervallo di campionamento T è legato all’intervallo di segnalazione sulla singola s
sottoportante T dalla seguente relazione:
s
T T
N
= (3.2.6)
Si può definire il PAPR associato all’n-esimo simbolo OFDM come:
{ }
2 ( ) 2 ( ) 0max1 l n n l l N n a E a χ ≤ ≤ − (3.2.7)dove la potenza media del segnale nel dominio del tempo è legata alla potenza dei simboli di costellazione dalla relazione:
{ }
22 ( )l 2
a E an A
σ =σ (3.2.8)
Applicando il teorema del limite centrale i campioni ( )l n
a si possono approssimare come
variabili aleatorie complesse con distribuzione gaussiana a valor medio nullo e varianza 2
a
σ .
Sotto tale ipotesi, la distribuzione dell’ampiezza del segnale OFDM trasmesso ( )l n a ρ = è di Rayleigh: 2 2 2 2 ( ) a ( ) a p e u ρ σ ρ ρ ρ ρ σ − = ⋅ (3.2.9)
La probabilità che l’ampiezza di un singolo campione del segnale non superi una certa soglia a , può essere calcolata come segue: 0
{
}
0 0 0 2 0 2 Pr ( ) 1 exp a a a a p d a ρ ρ ρ σ ≤ = = − − ∫
(3.2.10)Ammettendo che gli ( )l n
a siano statisticamente indipendenti, la probabilità che
l’ampiezza di almeno un campione del segnale superi la soglia è data da:
{
}
{
}
{
}
{
}
(
)
( ) ( ) 0 0 1 0 ( ) 0 2 0 2 Pr 0,1,...., 1 , 1 Pr max 1 Pr 1 1 exp l l n n l N N l n N a l N a a a a a a a σ ≤ ≤ − ∃ ∈ − > = − ≤ = − ≤ = − − (3.2.11)Infine, l’espressione teorica per la probabilità che il PAPR χn,associato all’n-esimo intervallo di segnalazione OFDM, superi la soglia
2 0 0 2 0 a χ σ
= si può approssimare con:
{
0}
(
(
0)
)
Pr χn>χ = −1 1 exp− −χ N (3.2.12)
È possibile notare come tale probabilità non dipenda dall’alfabeto dei simboli utilizzato, ma unicamente dalle IDFT di lunghezza N utilizzate in fase di trasmissione.
3.2.2 Limite teorico per il PAPR
Uno schema ideale di riduzione del PAPR introduce ridondanza per escludere dalla trasmissione i simboli con elevati valori di PAPR. Idealmente, Rap(antipeak) bit per
simbolo OFDM permettono di evitare una frazione di
(
1 2−Rap)
− dall’intero insieme di possibili simboli OFDM. Se, ad esempio,
{
0}
3 Pr 4 n χ >χ = , allora 1 4 dell’intero insieme dei possibili simboli OFDM generati hanno un PAPR inferiore a χ0. Sono
necessari solamente Rap=2bitper simbolo per distinguere i simboli con ridotto PAPR da tutto il resto. La relazione tra la ridondanza R e il minimo valore di PAPR ap
ottenibile è, dunque, 1 2 Pr
{
0}
ap R n χ χ − − = > .Incorporando la (3.2.13) e risolvendo perχ0si ottiene:
0 ln 1 2 ap R N χ = − − − (3.2.13)
che rappresenta il bound inferiore per χ0 quando Rap bit di ridondanza sono distribuiti
sulle N sottoportanti, indipendentemente dal tipo di modulazione utilizzata.
3.3 TECNICHE DI PAPR REDUCTION
In questo paragrafo viene fornita una visione d’insieme delle possibili tecniche di PAPR
reduction presenti in letteratura, focalizzando l’attenzione sulle tecniche oggetto della
presenta tesi [6].
3.3.1 Clipping and Filtering
L’approccio più semplice per la riduzione del PAPR in segnali OFDM è quello di forzare l’ampiezza massima del segnale ad un determinato valore tagliando i picchi che eccedono tale soglia.
In figura 3.1 viene mostrato il diagramma a blocchi dello schema di riduzione del PAPR.
Fig. 3.1 – Diagramma a blocchi della tecnica di PAPR Reduction Clipping and Filtering
All’n-esimo vettore di simboli in ingresso (0).... (N 1)
n n n
A = A A − si aggiungono N(M-1)
simboli di zero-padding e sul vettore risultante si effettua un’operazione di IFFT. Il segnale nel dominio del tempo (0)... (NM 1)
n n n
a =a a − , sovracampionato di un fattore M, viene successivamente limitato in ampiezza a formare (0)... (NM 1)
n n n
c =c c − . Nel caso di hard-clipping la relazione non lineare ingresso-uscita del limitatore è:
( ) ( ) (k) n ( ) (k) n se a se a k n k n k n j a a G c Ge∠ G ≤ = > (3.3.1)
dove G è il livello di clipping.
La distorsione prodotta dalla non linearità innalza il livello dell’ interferenza intersimbolica e causa un allargamento spettrale che accresce l’interferenza da canale adiacente. L’operazione di filtraggio, successiva al clipping, annulla la potenza fuori banda ma non può contrastare la distorsione in banda.
Il filtro è costituito da due blocchi di FFT. La FFT iniziale riporta il segnale tempo discreto limitato in ampiezza ( )k
n
c nel dominio frequenziale. Le componenti di Cn sulla
banda del segnale (0)... (N 1)
n n
C C − procedono inalterate in ingresso alla seconda IFFT
mentre le componenti fuori banda ( )N ... (NM 1)
n n
C C − vengono forzate a zero. Il filtro
Il filtraggio non provoca distorsione sul segnale multiportante e poiché opera simbolo su simbolo (è cioè senza memoria) non causa interferenza intersimbolica. All’uscita del filtro, può, tuttavia, ripresentarsi qualche fluttuazione del segnale ed il segnale può superare in alcuni punti il livello di clipping. L’iterazione del clipping and filtering (RCF: Recursive Clipping and Filtering) limita questo fenomeno.
È importante osservare una riduzione della potenza media in seguito alle operazioni di clipping and filtering che può essere stimata e compensata.
Le prestazioni di PAPR Reduction della tecnica migliorano al diminuire del Clipping Ratio (CR) definito come il rapporto tra il livello di clipping e il valore RMS del segnale non limitato, anche se aumenta la distorsione in banda.
Al posto del convenzionale hard-clipping si può utilizzare il soft-clipping:
(
)
( ) (k) n ( ) ( ) ( ) se a se k n k n k k n n a C c U C a C C C a L L C ≤ = − − + < ≤ − (3.3.2)dove L è l’ampiezza di picco del segnale in uscita alla IFFT, U e C sono i punti di inizio e fine della regione di clipping. Le prestazioni di soft-clipping si posizionano a metà strada tra i due casi di hard clipping con livelli pari a U e C.
3.3.2 Coding
Questa tecnica introduce l’utilizzo di un codice per ridurre il PAPR. Una semplice idea è quella di selezionare tra le possibili parole di codice quelle che minimizzano il PAPR. Questa idea può essere illustrata tramite un esempio. In tabella vengono riportati i valori di PAPR per tutti i possibili blocchi di dati per un segnale OFDM con 4 sottoportanti e modulazione BPSK. Si può notare come per quattro simboli OFDM il PAPR sia pari a 6dB mentre per altri quattro simboli sia 3.7dB. E’ chiaro che si potrebbe ridurre il PAPR evitando di trasmettere queste sequenze e ciò può essere fatto utilizzando un codice a blocchi con rate 3
codice quelle che danno un PAPR più elevato. Il PAPR del segnale risultante sarà 2.3dB, e la riduzione rispetto al PAPR del segnale originario sarà di 3.7dB.
Data block A PAPR
(dB) Data block A PAPR (dB)
[
1,1,1,1]
T 6.0[
1,1,1,1]
T − 2.3[
1,1,1, 1]
T − 2.3[
1,1,1, 1]
T − − 3.7[
1,1, 1,1]
T − 2.3[
1,1, 1,1]
T − − 6.0[
1,1, 1, 1]
T − − 3.7[
−1,1, 1, 1− −]
T 2.3[
1, 1,1,1]
T − 2.3[
1, 1,1,1]
T − − 3.7[
1, 1,1, 1]
T − − 6.0[
− −1, 1,1, 1−]
T 2.3[
1, 1, 1,1]
T − − 3.7[
1, 1, 1,1]
T − − − 2.3[
1, 1, 1, 1]
T − − − 2.3[
1, 1, 1, 1]
T − − − − 6.0Tabella. 3.1 – Valori di PAPR per tutti i possibili simboli OFDM per un segnale OFDM con 4 sottoportanti e modulazione BPSK
Questo approccio richiede una ricerca esaustiva del codice ottimo e necessita di lookup
table per memorizzare le corrispondenze biunivoche tra le parole di simboli e quelle di
del PAPR, non risolve il problema della correzione dell’errore. Sono stati proposti metodi più sofisticati che combinano nella scelta della parola di codice sia le proprietà di correzione dell’errore che di riduzione del PAPR.
La ricerca esaustiva di un buon codice non è praticabile per sistemi multiportante con un numero elevato di sottoportanti, ciò limita i benefici attuali del coding per la riduzione del PAPR.
3.3.3 Tone Reservation
Nella tecnica Tone Reservation (TR) alcune sottoportanti non trasportano informazione ma vengono modulate in modo da ridurre il PAPR.
Se si aggiunge un vettore nel dominio della frequenza
[
0, ,...1 1]
T NC C C −
=
C al simbolo
OFDM A, il nuovo segnale nel dominio del tempo diventa:
{
}
IDFT
+ = +
a c A C (3.3.3)
La tecnica TR impone al blocco dati A e al peak reduction vector C di occupare sottoportanti separate (i.e. An =0, n∈
{
i i1 2, ,...,iL}
, e Cn =0, n∉{
i i1 2, ,...iL}
). Le Lposizioni diverse da zero in C sono chiamate peak reduction carriers (PRCs).
Per trovare il valore dei Cnche minimizzano il PAPR si deve risolvere un problema di
ottimizzazione convessa; per ridurre la complessità computazionale in
[ ]
17 è stato proposto un semplice algoritmo del gradiente.La porzione di sottoportanti “riservate” deve essere abbastanza grande da ottenere una significativa riduzione del picco di potenza, ma tale da non sacrificare troppo la trasmissione dei dati; infatti, indicando con R il numero di sottoportanti riservate e con M i simboli della costellazione, la riduzione in termini di data-rate è pari a Rlog2M.
In applicazioni wired come nel caso DMT, ci sono tipicamente delle sottoportanti con un SNR troppo basso per inviare informazione; queste sottoportanti non vengono utilizzate e sono disponibili per la riduzione del PAPR. In sistemi wireless non esistono
portanti inutilizzate e per poter implementare la tecnica TR è necessario sacrificare una porzione di banda.
3.3.4 Tone Injection
L’idea che sta alla base della tecnica Tone Injection (TI) è quella di incrementare la dimensione della costellazione in modo tale che ciascun punto della costellazione originaria venga mappato su un insieme di punti della costellazione espansa. Questo grado di libertà può essere sfruttato per la PAPR Reduction. Questo metodo è chiamato Tone Injection perché la sostituzione di un punto della costellazione originaria con un nuovo punto della costellazione espansa equivale ad iniettare un tono ad un’opportuna frequenza e fase nel segnale multiportante. Si definisce con
[
0, ,....1 1]
TN
A A A −
=
A il
simbolo OFDM con An∈M-QAM i simboli di modulazione e si suppone che la minima distanza tra i punti della costellazione sia d. La tecnica TI si propone di ridurre il PAPR del segnale trasmesso modificando la parte reale e/o immaginaria di A di una n
quantità che dovrà poi essere stimata al ricevitore. Un semplice esempio è quello in cui si trasmette '
n n
A =A + pD+ jqD dove p e q sono valori interi e D è un numero reale positivo. Il valore di D deve essere non inferiore a
d M per non accrescere la BER al ricevitore. Generalmente questi punti equivalenti
sono spaziati di D=ρd M con ρ ≥ . Il parametro ρ, fattore di espansione della 1 costellazione, gioca un ruolo determinante in quanto l’incremento della potenza media dipende dal valore che esso assume.
La sola operazione che il ricevitore deve fare è un modulo D dopo la decisione sul simbolo. Il miglioramento nelle statistiche del PAPR dipende quindi dal valore di ρ e dal numero di simboli modificati nel blocco dati e si paga con un aumento del livello di potenza del segnale trasmesso. La tecnica TI può essere più problematica della TR poiché il segnale iniettato condivide la stessa posizione frequenziale del segnale informativo.
3.3.5 Active Constellation Extension (ACE)
Active constellation extension (ACE) è una tecnica di riduzione del PAPR simile alla
TI. In questa tecnica, alcuni dei punti più esterni della costellazione nel blocco dati, vengono estesi dinamicamente verso l’esterno rispetto alla costellazione originaria per ridurre il PAPR del simbolo OFDM. L’idea è facilmente spiegabile nel caso di un segnale multiportante con modulazione 4-QAM. Su ogni sottoportante ci sono quattro possibili punti della costellazione che occupano ciascun quadrante nel piano complesso e sono equidistanti dall’asse reale e immaginario. Ipotizzando rumore gaussiano bianco, le regioni di decisione a massima verosimiglianza sono i quattro quadranti; quindi, la decisione viene presa in base al quadrante nel quale viene osservato il simbolo ricevuto. Qualunque punto più distante dai limiti di decisione offre una maggiore robustezza nella rivelazione e garantisce un BER più bassa. Una combinazione di questi segnali aggiuntivi, scelti in maniera opportuna, può essere usata per cancellare parzialmente i picchi nel segnale trasmesso.
L’idea ACE può essere applicata anche ad altre costellazioni, come QAM e MPSK; i punti della costellazione più esterni hanno, infatti, libertà di movimento senza far degradare la probabilità di errore. Questo schema riduce simultaneamente la BER, anche se di poco, e il PAPR, non necessita di side information e non presenta perdite di data-rate, tuttavia, le modifiche introdotte, incrementano la potenza del segnale trasmesso.
3.3.6 Partial Transmit Sequences
In figura 3.2 è mostrato lo schema a blocchi della tecnica Partial Transmit Sequences (PTS):
Fig. 3.2 – Diagramma a blocchi della tecnica di PAPR Reduction PTS
Il blocco dati in ingresso Anviene suddiviso in U sottoblocchi disgiunti
(0) (1) ( 1) , , , ,..., , T N n u n u n u A A A − = n,u
A con u=1,2,....,U in modo tale che
1
U u=
=
∑
An,u An.Aggiungendo N(M-1) simboli di zero padding ad An,ued effettuando una IDFT di
dimensione NM si ottiene la Partial Transmit Sequence (0) (1) ( 1) , , , ,...., , T NM n u n u n u a a a − = an,u .
Le U PTS, dopo essere state ruotate per un opportuno phase factor ju u
b =eφ , vengono
combinate tra loro. Se si definisce con
[
1, ,....,2]
T U
b b b
=
b il vettore dei phase factor, il
1 U u u b = =
∑
' n n,u a (b) a (3.3.4) dove '(0)( ), '(1)( ),..., '(NM 1)( ) T n n n a a a − = ' n a (b) b b b .L’obiettivo della tecnica è trovare l’insieme dei phase factor che minimizza il PAPR e, poiché la potenza media rimane inalterata, ciò si traduce nel minimizzare la potenza di picco:
'
0 1
arg min max ( )
opt k k NM b a ≤ ≤ − = b b (3.3.5)
Per ridurre la complessità della ricerca, la scelta dei phase factor viene limitata ad un insieme finito di W elementi P=
{
ej2πk W k =0,1,....,W−1}
. Imponendo1 1
b = , senza alcuna degradazione della prestazioni, le combinazioni di phase factor possibili sono
1
U
W − . La complessità della ricerca esaustiva del vettore ottimo cresce in maniera
esponenziale con il numero di sottoblocchi U. la tecnica PTS necessita, inoltre, di U operazioni di IDFT per ciascun blocco dati e di 1
2 log U
W −
bit di side information (SI). Questa tecnica funzione con un numero arbitrario di sottoportanti e con qualunque schema di modulazione e la sua efficacia nella riduzione del PAPR dipende dal numero di sottoblocchi U e dal numero di phase factor permessi. Anche la suddivisione in sottoblocchi disgiunti, che può essere adjacent, interleaved, e pseudo-random, ha effetti sulle prestazioni. Fra queste, la suddivisione pseudo-random ha prestazioni migliori [6]. Per ridurre la complessità della ricerca del PTS convenzionale sono stati proposti numerosi metodi. In
[ ]
8 si presenta un efficiente algoritmo per ricavare i pesi ottimi delle PTS con una complessità più bassa della ricerca esaustiva; inoltre vengono proposti diversi approcci subottimi alla risoluzione del problema. L’algoritmo iterativeflipping ha una complessità che cresce linearmente con il numero di sottoblocchi con
una degradazione ridotta nelle prestazioni
[ ]
9 ; nel Threshold-Aided PTS si arresta la ricerca quando il PAPR rimane sotto una certa soglia riducendo così il numero medio di iterazioni[ ]
10 .3.3.7 Selected Mapping
Fig. 3.3 – Diagramma a blocchi della tecnica di PAPR Reduction SLM
In figura 3.3 è mostrato il diagramma a blocchi della tecnica Selected Mapping (SLM). Nella SLM il trasmettitore genera, a partire dal blocco dati A, U differenti blocchi
( ) 0 ,0, 1 ,1,..., 1 , 1 T u u u N u N A b A b A −b − =
A , moltiplicando il blocco dati originale A , per U
differenti phase sequence di lunghezza N, ( )
,0, ,1,..., , 1 T u u u u N b b b − = B con u=1,2,…,U.
Per includere il blocco dati OFDM originale nell’insieme di blocchi dati modificati, s’impone (1)
[
1,1,...1]
T=
B [6].
Aggiungendo N(M-1) simboli di zero padding ai blocchi dati ( )u
A ed effettuando U
operazioni di IDFT di dimensione NM, si ottiene la rappresentazione del segnale tempo discreto:
P/S
IDFT IDFT IDFT (1) B (1) (2) B ( )U BA
one with Selecta
minimum PAPR (1) A (2) A ( )U A (1) a (2) a ( )U a
1 ( ) 2 / , 0 1 ,con 1,2,..., e 0 1 N u j nl N l n u n n a A b e u U l N N π − = =
∑
⋅ = ≤ ≤ − (3.3.6)Tra i possibili candidati, viene selezionato per la trasmissione il segnale con PAPR minore:
( )
u u IDFT = a A (3.3.7) con( )
0 1 arg min u u U u χ ≤ ≤ − = a .La CCDF del segnale trasmesso u
a, Pr
(
{ }
0)
u
PAPR a > χ sarà più bassa rispetto a quella del segnale originale. È da notare come gli ( )u
a contengano tutti la stessa
informazione A, sono cioè rappresentazioni diverse dello stesso segnale; e come la
potenza media del segnale rimanga inalterata, essendo gli elementi di ( )u
B a modulo
unitario [11].
Se per ogni u=1,2,..., ,U le sequenze
{ }
( )1 N u l l a = e
{ }
( ) 1 N k l l a = sono mutuamente indipendenti per ogni u k≠ , allora la CCDF del segnale sarà:{
}
(
(
0)
)
0
Pr χu χ 1 1 e−χ N U
> = − − (3.3.8)
L’espressione (3.3.8) rappresenta la probabilità che si verifichi il superamento della soglia in tutte le U parole. Aumentando il numero di possibili candidati, teoricamente, si riesce a ridurre la probabilità che si verifichi il superamento di una certa soglia da parte del segnale in uscita alla IDFT; nel senso che la probabilità che vi sia almeno una parola in cui non si verifica il superamento aumenta (ed è proprio la parola che va trasmessa) ed è pari al complemento a uno della (3.3.8) [12].
Sono stati presentati diversi metodi per generare gli U blocchi dati; in [13] le phase
sequences B( )u,u=1,2,...,U sono definite ( )u jn( )u , ( )u
[
0,2)
, 1:n e n n N
ϕ ϕ π
= ∈ =
B ; quindi le
componenti degli U possibili candidati assumono la seguente forma:
( ) ( ) u n j u n n e ϕ = ⋅ A A (3.3.9)
In [12] viene dimostrato che la mutua indipendenza tra le sequenze
{ }
( ) 1 N u l l a = e{ }
( ) 1 N k l l a = con u k≠ si verifica sotto la seguente condizione:0
j
E e ϕ = (3.3.10)
Ci sono molte distribuzioni di ϕper le quali la suddetta relazione è soddisfatta:
• Se ϕ assume i valori 0,π 2, e 3 2π π con ugual probabilità cioè se 1, , 1,
j
eϕ = j − − , non è necessaria alcuna moltiplicazione per ottenere j
l’espressione 3.10
• Se ϕ assume i valori 0 e π con ugual probabilità, allora 0.5 1 0.5 ( 1) 0
j
E e ϕ = × + × − = . Con questa distribuzione binaria della fase, l’implementazione di 3.10 risulta molto semplice, infatti An =An se ϕ = e 0
n= − n
A A se ϕ =π
In [14] viene dimostrato che, calcolando il PAPR delle phase sequences, utilizzate come sequenze informative, si ottengono buone prestazioni in termini di PAPR Reduction, per quelle sequenze che presentano un PAPR con basso valor medio e varianza larga. In tabella vengono riportati valor medio e varianza del PAPR delle diverse tipologie di
phase sequences, nel caso di 8 sottoportanti e 32 candidati (U=32):
Valor medio[dB] Varianza [dB]
P_Random 6.2 1.2
Hadamard 10.83 2.12
Golay 3.01 0.0
Shapiro-Rudin 4.1 0.66
OVSF 10.83 2.12
Tabella. 3.2 –Valor medio e varianza del PAPR delle
Come possiamo notare, le sequenze di Walsh-Hadamard e OVSF presentano PAPR con varianze larghe e valor medi alti; le sequenze random e di Shapiro-Rudin hanno PAPR con varianze relativamente larghe e valor medi relativamente bassi; infine le sequenze di Golay presentano il minimo valor medio per il PAPR, ma la varianza è 0 dB. Attraverso simulazioni viene mostrato come le prestazioni migliori si abbiano, in effetti, nel caso di sequenze random e come le sequenze di Golay siano i candidati peggiori per ridurre il PAPR.
In [11] vengono proposti due criteri per la scelta delle phase sequences; le phase
sequences devono essere ortogonali tra loro, e il prodotto, elemento per elemento, di
due qualsiasi phase sequences non deve generare una sequenza periodica. Definendo
, ( ),0 1
i j
R k ≤k≤N − , il valore della cross-correlazione deterministica tra due phase
sequences, viene mostrato, attraverso simulazioni, come le prestazioni in termini di PAPR reduction peggiorino all’aumentare diRi j, ( )k . Questi due criteri non sono,
comunque, condizioni sufficienti per la scelta delle phase sequences ; infatti, le prestazioni ottenute con le sequenze di Sylvester Hadamard non sono buone come quelle ottenute con le sequenze di Hadamard o pseudo-random, nonostante sia rispettata la condizione di ortogonalità (o quasi ortogonalità per le pseudo random) in tutti e tre i casi.
La tecnica SLM richiede un alto onere di calcolo in quanto necessita di U operazioni di IDFT, anche se sono state proposte tecniche subottime con implementazioni a bassa complessità. Inoltre il ricevitore deve effettuare l’operazione inversa rispetto a quella fatta in trasmissione per recuperare il blocco dati originario, e per questo ha bisogno della side information; il numero di bit di side information richiesti è pari a log U2 per ciascun blocco dati.
La side information deve essere trasmessa in maniera affidabile al ricevitore per il corretto recupero del blocco dati originale. Un modo è quello di trasmettere i bit di SI su un canale separato dal canale dati, riservando alcune sottoportanti per la trasmissione della SI. Tuttavia, se la SI non viene considerata nel processo di ottimizzazione, le statistiche del PAPR potrebbero peggiorare [6]. Sono stati proposti diversi metodi per
trasmettere la SI; in
[ ]
15 viene analizzato uno schema per inviare la SI del simbolo OFDM corrente in quello successivo, il simbolo corrente può essere ottimizzato con la SI del simbolo precedente senza degradazione delle prestazioni. In[ ]
16 si presenta un decoder a massima verosimiglianza per SLM (o PTS) che opera senza SI. Questo decoder utilizza la conoscenza a priori della costellazione a cui i simboli di modulazione appartengono e sfrutta la diversità nel senso di Hamming dei differenti segnali generati dalla SLM.3.3.8 Interleaving
La tecnica interleaving è molto simile alla SLM e utilizza un insieme di interleaver per ridurre il PAPR al posto delle phase sequences.
Un interleaver è un dispositivo che opera su un blocco di N simboli permutandoli, dunque il blocco dati
[
0, ,...,1 1]
TN
A A A −
=
A diventa A'= Aπ( )0,Aπ( )1,...,Aπ(N−1)Tdove
{ }
n ↔{
π( )
n}
è una mappa uno-uno con π( ) {
n ∈ 0,1,...,N−1}
per tutti gli n. Sul simbolo OFDM originale e su U-1 versioni permutate ottenute da altrettanti interleaver, si effettuano U operazioni di IDFT ottenendo U sequenze nel dominio del tempo. Si seleziona per la trasmissione la sequenza temporale con PAPR più basso [17].L’interleaving riordina la sequenza d’ingresso, sia a livello di simboli che di bit, e genera quindi delle nuove sequenze. Il processo di interleaving non richiede calcoli logici o matematici.
Tra le varie tipologie di interleaving, quello che dà prestazioni migliori in termini di
PAPR Reduction è lo pseudo random interleaving, che riordina la sequenza d’ingresso
in modo casuale cosicché le sequenze di uscita abbiano statisticamente la minima correlazione.
In [18] viene utilizzato uno specifico algoritmo per generare le possibili permutazioni. All’n-esimo passo, viene generato ripetutamente (se necessario) un numero casuale R ,
fino a che RmodN non è uguale ad ognuno degli indici di permutazione
( ) ( )
0 , 1 ,...,( )
nπ π π e quindi π
( )
n viene posto uguale a modR N . Questo passo vieneripetuto per n=0,1,...,N − . L’intera procedura viene ripetuta U-1 volte in modo da 1 generare le varie leggi di permutazione.
In [18] per ridurre la complessità dell’implementazione dovuta alle operazioni di IDFT e al numero di interleaver, è stato proposto un interleaving ricorsivo che necessita di un solo interleaver, di un buffer e di un blocco per selezionare la sequenza con PAPR minore.
Fig.3.4 – Schema a blocchi di un interleaver ricorsivo
Con riferimento alla figura, per un sistema con N sottoportanti, vengono descritte di seguito le operazioni necessarie:
1) I bit d’ingresso sono i bit in uscita al codificatore di canale del sistema, che vengono segmentati in blocchi.
2) Il blocco dei bit d’ingresso viene mappato nei simboli e contemporaneamente memorizzato nel buffer.
Interleaver Buffer Constellation map IDFT Selecting on PAPR & SI adding Input bits
3) Al blocco di simboli viene applicata una IDFT di lunghezza MN, dove M rappresenta il fattore di sovracampionamento; viene quindi misurato il PAPR all’uscita della IDFT.
4) Il blocco di bit memorizzato nel buffer subisce un’operazione di interleaving 5) L’uscita dell’interleaver viene memorizzata nel buffer e contemporaneamente
viene mappata e subisce l’operazione di IDFT. L’uscita dell’IDFT rappresenta la seconda sequenza.
6) Il PAPR delle due sequenze viene confrontato e la sequenza con il PAPR minore, insieme ad un indice che identifica la particolare sequenza, viene memorizzata; l’altra viene scartata.
7) Si ripetono quindi le operazioni da (4) a (6) per (U-1) volte, cioè per quante sono le leggi d’interleaving e si seleziona la sequenza con PAPR minore.
8) La sequenza selezionata viene trasmessa insieme alla side information che contiene l’indice della sequenza stessa.
È da notare come questo interleaving debba essere implementato attraverso più stadi; per produrre U differenti sequenze che contengono la stessa informazione, il periodo dell’interleaver non può essere minore di U-1.
Per ridurre la complessità di calcolo, in [18] viene anche proposta una versione modificata, nella quale viene utilizzata un’informazione di controllo e il PAPR all’uscita dell’IDFT viene confrontato con una soglia; in questo modo viene ridotto il numero di operazioni necessarie per generare le leggi di permutazione e il numero delle IDFT.
In ricezione, per recuperare il blocco dati originale, il ricevitore ha bisogno di conoscere solamente quale interleaver è stato utilizzato in trasmissione; dunque il numero di bit di
side information richiesta è log U2 .
Gli indici di permutazione
{
π( )
n}
possono essere memorizzati sia in trasmissione sia in ricezione rendendo immediate le operazioni di interleaving e deinterleaving.Le prestazioni della tecnica dipendono dal numero di interleaver utilizzati e dal loro progetto.
3.4 CRITERI PER LA SCELTA DI UNA TECNICA DI PAPR
REDUCTION
Nella scelta di una tecnica di PAPR Reduction adatta ad una particolare applicazione è necessario considerare, oltre alla capacità di contenere le fluttuazioni del segnale anche alcuni fattori negativi come l’aumento del livello di potenza trasmessa, l’incremento della BER al ricevitore, la perdita in data rate ed il maggior onere di calcolo.
Nel seguito verranno brevemente descritti questi fattori:
• Capacità di PAPR Reduction: rappresenta l’elemento più importante nella scelta di una tecnica di PAPR Reduction. È bene osservare che il miglioramento nelle statistiche del PAPR ha comunque un costo sulle prestazioni del sistema di trasmissione, che deve essere valutato e tenuto in conto nella scelta.
• Incremento di potenza nel segnale trasmesso: alcune tecniche richiedono un aumento della potenza nel segnale trasmesso. Per esempio, nella TR una parte della potenza trasmessa deve essere usata per le PRC, nella TI i punti della costellazione equivalente necessitano di una potenza maggiore rispetto ai punti della costellazione originaria.
• Aumento della BER al ricevitore: l’incremento della probabilità di errore al ricevitore è strettamente correlato all’aumento del livello di potenza trasmessa. Per esempio, a parità di potenza trasmessa, dopo l’applicazione della TI o dell’ACE, le prestazioni in termini di BER subiranno una degradazione rispetto al caso in cui non si utilizzino tecniche di riduzione del PAPR. In alcune tecniche come SLM, PTS e interleaving, se la side information è corrotta da errore, l’intero blocco dati può essere perso.
• Perdita di data rate: alcune tecniche richiedono una riduzione di data rate. Ad esempio, utilizzando un codice a blocchi (come nel caso del Coding) uno dei quattro simboli trasmessi è impiegato per il controllo del PAPR. In SLM, PTS e interleaving il data rate si riduce a causa della side information che deve essere protetta da una qualche codifica di canale e trasmessa al ricevitore.
• Complessità computazionale: un altro elemento chiave per il PAPR Reduction è l’onere di calcolo richiesto. Ad esempio tecniche come PTS necessitano di numerose iterazioni per trovare la soluzione ottima; PTS, SLM e interleaving richiedono diverse operazioni di IDFT. In generale, tecniche più complesse hanno prestazioni di PAPR Reduction migliori.
In tabella 3.3 viene fatto un confronto delle tecniche di PAPR Reduction presentate.
Assenza di distorsioni Incremento di Potenza Side Information Perdita di Data rate Operazioni richieste al TX e al RX Clipping and Filtering No No No No Tx: Clipping e filtraggio Rx: No Coding Si No No Si Tx: codifica o ricerca sul look up table Rx: Decodifica o ricerca
sul look up table
PTS Si No Si Si
Tx: U IDFT, WU−1somme di vettori complessi Rx: Recupero della Side Information,
PTS inversa
SLM Si No Si Si
Tx: U IDFT
Rx: Recupero della Side Information, SLM inversa
Interleaving Si No Si Si
Tx: U IDFT, (U-1) interleaving Rx: Recupero della Side Information,
Deinterleaving
TR Si Si No Si
Tx: IDFT, calcolo delle PRC Rx: Ignora le sottoportanti che non
trasportano dati
TI Si Si No No
Tx: IDFT, ricerca dei toni da modificare e dei valori di p e q Rx: Operazione modulo D
ACE Si Si No No
Tx: IDFT, estensione dei punti più esterni
Rx: No
Vengono di seguito evidenziate le caratteristiche delle varie tecniche di PAPR
Reduction:
• La tecnica TR necessita di sacrificare una porzione di banda che, dato il numero non elevato di sottoportanti, è fortemente penalizzante.
• L’utilizzo di un codice per ridurre il PAPR richiede una perdita in data rate che può essere paragonabile a quella necessaria per la TR. La presenza di una codifica di canale sul sistema impedisce, inoltre, di effettuare congiuntamente la correzione dell’errore e la riduzione del PAPR.
• Le TI e ACE richiederebbero una ridefinizione del modo in cui si valuta il RMSVE (Root Mean Square Vector Error) ed è difficile prevedere se la codifica turbo possa funzionare correttamente in seguito alle modifiche sui simboli di costellazione.
• Il CF con una solo iterazione è in assoluto la tecnica più semplice, non richiede Side Information e non necessita di modifiche del segnale. La non linearità introdotta, tuttavia, innalza il livello di distorsione in banda e rende più critico il rispetto delle specifiche di RMSVE.
• Le tecniche PTS, SLM e interleaving, oggetto di questa tesi, richiedono Side
Information ed un maggiore onere di calcolo al trasmettitore anche se esistono
tecniche subottime e implementazioni a bassa complessità.
Per questo tipo di tecniche le prestazioni in termini di RMSVE non peggiorano dal momento che non introducono distorsioni. Rimane comunque da risolvere il problema relativo al numero di bit di Side Information che si possono sacrificare e il modo con cui l’informazione deve essere trasmessa al ricevitore [6].
