ANALISI DI UN CSTR IN REGIME TRANSITORIO NON ADIABATICO CHE SCAMBIA CON ARIA A TEMPERATURA AMBIENTE

ANALISI DI UN CSTR IN REGIME TRANSITORIO NON ADIABATICO CHE SCAMBIA CON ARIA A TEMPERATURA AMBIENTE

Si consideri un CSTR nel quale ha luogo la reazione irreversibile esotermica del primo ordine:

A B r(C, T) = - k(T)CA

Il sistema nella forma adimensionale che descrive la dinamica delle variabili di stato è il seguente:

{ ^{dxdt=( x¿−}x )+(1−x) Dae⁽

γβθ 1+ βθ)

dθ

dt=(θ_¿−θ)−Da ϕ_o(θ−θ_∞)+(1−x )Da e⁽

γβθ 1+ βθ)

In cui:

β = Entalpia di reazione adimensionale = ^C_C^{rif(-∆ Hr)}

totC_pT_rif ;

γ = Energia di attivazione adimensionale = ^E_{R T}^a

rif ; Da = numero di Damköhler = τkoe^-γ = τkrif ;

ϕo= coefficiente di scambio termico adimensionale = _k ^US

rifV C_totC_p ;

θ_∞ = temperatura dell’aria esterna;

θ_in = temperatura del fluido della corrente di alimentazione del CSTR;

x_in = concentrazione adimensionale nella corrente di alimentazione al CSTR.

Lo scopo di quest’analisi è quello di osservare la dinamica nell’intorno del punto di regime che si ha per valori di:

β ^{= 0.81};

γ = 16;

Da = 0.16;

ϕo= 13;

θ_∞ = 0;

θ_in = 0;

x_in = 0.

Si è visto che per tali parametri nasce un regime oscillante, il che mostra la presenza di un ciclo limite. Utilizzando il codice “pplane8” implementato in Matlab è stato ricavato il diagramma delle fasi e le serie temporali delle variabili di stato del sistema per diversi set di condizioni iniziali.

Fig. 1: Diagramma delle fasi

Da questo diagramma si evince la presenza di un ciclo limite e di un punto di regime.

Tale punto compare per valori di:

{^{x =0.536}θ=0.174

Gli autovalori della matrice jacobiana sono complessi e coniugati con parte reale maggiore di 0, ciò indica che questo punto è un fuoco instabile.

Il ciclo limite, che ha un periodo di oscillazione 5.25τ, è invece un attrattore. Ciò si può vedere anche analizzando le traiettorie ottenute sul diagramma delle fasi per diverse condizioni iniziali.

Fig. 2: Traiettorie sul diagramma delle fasi

Notiamo come tutte le traiettorie convergano al ciclo limite, il che conferma la sua stabilità. Questo può essere apprezzato meglio rappresentando le serie temporali. In particolare, notiamo che se il punto iniziale è preso fuori da ciclo limite allora l’ampiezza delle oscillazioni si smorza durante il transitorio fino a raggiungere l’ampiezza del ciclo limite stesso. Se il punto è invece scelto all’interno del ciclo allora l’ampiezza delle oscillazioni si amplifica fino al valore di regime.

Fig. 3: Serie temporale variabili di stato con condizioni iniziali esterne al ciclo

Fig. 4: Serie temporale variabili di stato con condizioni iniziali interne al ciclo