Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Systèmes à 1 DDL
Exercice VIB1-1 : Limite de l’hypothèse des petits mouvements
Étudions le mouvement d’un disque homogène de masse
m
de rayona
qui roule sans glisser dans une gouttière cylindrique de rayonA + a
.Le repère
( , O x y z G G G
o,
o,
o)
lié à la gouttière est supposé galiléen.
Le champ de pesanteur est défini par
g G = − g x G
o.
G y
ox G
oe G
re G
θO
P
θ
D Ig G
A l’instant initial le disque est lâché sans vitesse initiale depuis une position
θ
o< π / 2
Effectuez la mise en équations par le Principe Fondamental de la Dynamique.
Effectuer la mise en équations par le Principe des Travaux Virtuels.
a) En utilisant des déplacements virtuels compatibles.
b) En introduisant un multiplicateur de Lagrange pour la condition de roulement sans glissement.
Donnez l’équation régissant les petits mouvements en
θ
, en déduire la périodeT
o des petites oscillations.Comparaison avec la solution obtenue pour
θ
quelconque.Exprimer
θ
en fonction deθ
, en déduire l’intégrale donnant l’expression de la périodeT
.Pour exprimer cette intégrale sous forme d’une intégrale elliptique complète de première espèce, utilisez le changement de variable suivant:
sin( / 2) θ = sin( θ
o/ 2) sin( ) q
On donne :( )
/ 2 2
2
2 2
2 0
0
2 !
2 2 ( !)
1 sin
n n
n
dq n
n k k q
π
π
∞=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
− ∑
∫
En déduire la valeur de
