Exercices de cours du chapitre IV
13
Exercice IV-4: Mode rigide, élimination de la singularité de K
Objectif : Traiter le cas d’une valeur propre nulle et mettre en œuvre le changement de variables qui permet d’éliminer cette singularité de la matrice raideur.
On s’intéresse aux vibrations de torsion d’un arbre supportant trois disques d’inertie. Les moments d’inertie par rapport à l’axe de rotation sont respectivement : I pour les disques (1) et (3), et 2I pour le disque (2). Les paramètres du mouvement sont les trois rotations θ
i.
Chaque portion d’arbre est assimilée à un ressort de torsion de raideur C.
c c
I 2I I
(1) (3)
(2)
Effectuez la mise en équations et déterminer les fréquences et modes propres du système.
La première fréquence propre est nulle. Pour éliminer la singularité de la matrice raideur associée à ce mode rigide, nous effectuons le changement de variables :
{ } { } θ = Z q
1 1+ { } Y
Tenez compte de la relation de M orthogonalité entre { } Z
1et { } Y pour déterminez la première composante de { } Y en fonctions des deux autres.
En déduire la matrice de changement de base, puis les matrices (2,2) du sous système matriciel régulier.
Vérifiez que vous retrouvez bien les deux pulsations propres non nulles pour ce sous système.
Corrigé de l’exercice IV-4: Mode rigide et élimination du mode rigide
On s’intéresse aux vibrations de torsion d’un arbre supportant trois disques d’inertie. Chaque portion d’arbre est assimilée à un ressort de torsion de raideur C. Les paramètres du mouvement sont les trois rotations θ
i.
On pose { }
1 2 3X
T=< θ θ θ > écriture matricielle
c c
I 2I I
(1) (3)
(2)
Mise en équations :
2 2 2
1 2 3
2 Ec = I ( θ + 2 θ + θ ) Î 2 Ec ≅ X MX
Tavec : [ ] 1 2
1 M I
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(
2 1 2 3 2 2)
2 Ep = C ( θ θ − ) + ( θ θ − ) Î 2 Ep ≅ X KX
Tavec : [ ] 1 1 2 1 0 1
0 1 1
K C
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ − − ⎥
⎢ − ⎥
⎣ ⎦
Valeurs propres : [ ] [ ] 2( ) 0
0
C I C
K M C C I C
C C I
λ
λ λ
λ
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− = ⎢ − − − ⎥
⎢ − − ⎥
⎣ ⎦
[ ] [ ]
( )
det K − λ M = 0 Î ( C − λ I ) ( ( 2 C − λ I )
2− C
2) − C2( C − λ I ) = 0
Î 2 λ I C ( − λ I )( 2 C − λ I ) = 0
D’où les 3 pulsations propres : ω
12= 0 ,
22C
ω = I ,
322 C ω = I
Recherche des modes propres :
Associé à λ
1= 0 Î
1112{ }
13
0
2 0
0
C C z
C C C z
C C z
⎡ − ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ − ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î z
11= z
12= z
13Toujours les classer dans l’ordre croissant.
Système de rang 2.
Exercices de cours du chapitre IV
14 Choix z
11=1 Î { } Z
1 T=< 1 1 1 >
Associé à λ
2= C I / Î
2122{ }
23
0 0
0 0
0 0
C z
C C z
C z
⎡ − ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥
⎢ − ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î z
22= 0 et z
21+ z
23= 0
Choix z
21=1 Î { } Z
2 T=< 1 0 − > 1
Associé à λ
3= 2 / C I Î
3231{ }
33
0
2 0
0
C C z
C C C z
C C z
− −
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥
⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î z
31+ z
32= 0 et z
33+ z
32= 0
Choix z
31=1 Î { } Z
2 T=< 1 − 1 1 >
Représentation des modes : 1
ermode
θ θ θ
2
ièmemode
θ 0 − θ
3
ièmemode
θ − θ θ
Le champ de déplacement du premier mode n’entraine aucune déformation des arbres, c’est un déplacement d’ensemble de la structure d’où la dénomination de mode rigide.
Pour ce premier mode vous pouvez vérifier que { } Z
1 T[ ] K { } Z
1= 0 , le déplacement s’effectue pour une énergie de déformation nulle, de la structure.
Les modes rigides sont associées à une singularité de la matrice raideur : det ( ) [ ] K = 0
Élimination de la singularité de K
Effectuons le changement de variables : { } { } θ = Z q
1 1+ { } Y
Soit { }
11 1 1
a q b c θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
On cherche { } Y [ ] M
⊥à { } Z
1soit { } Z
1 T[ ] M { } Y = 0 Î a + 2 b c + = 0 Exprimons a en fonction de ( , ) b c sous forme matricielle { }
2 1 1 0 0 1
a b
Y b
c c
− −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫
= ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎣ = ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎥ ⎦ ⎨ ⎬
Utilisons se changement de base pour exprimer l’équation matricielle sur { }
1Y b c
= ⎨ ⎬ ⎧ ⎫
⎩ ⎭
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]
1
1
6 2 3 1
2 2 2 1 1
10 2 5 1
2 2 2 1 1
T
T
