Exercices de cours du chapitre IV
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Exercice IV-4: Mode rigide, élimination de la singularité de K
Objectif : Traiter le cas d’une valeur propre nulle et mettre en œuvre le changement de variables qui permet d’éliminer cette singularité de la matrice raideur.
On s’intéresse aux vibrations de torsion d’un arbre supportant trois disques d’inertie. Les moments d’inertie par rapport à l’axe de rotation sont respectivement : I pour les disques (1) et (3), et 2I pour le disque (2). Les paramètres du mouvement sont les trois rotationsθi.
Chaque portion d’arbre est assimilée à un ressort de torsion de raideur C.
c c
I 2I I
(1) (3)
(2)
Effectuez la mise en équations et déterminer les fréquences et modes propres du système.
La première fréquence propre est nulle. Pour éliminer la singularité de la matrice raideur associée à ce mode rigide, nous effectuons le changement de variables :
{ } { }
θ = Z q1 1+{ }
YTenez compte de la relation de M orthogonalité entre
{ }
Z1 et{ }
Y pour déterminez la première composante de{ }
Y en fonctions des deux autres.En déduire la matrice de changement de base, puis les matrices (2,2) du sous système matriciel régulier.
Vérifiez que vous retrouvez bien les deux pulsations propres non nulles pour ce sous système.
