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COGNOME E NOME ________________________________________

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Academic year: 2021

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(1)

CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA Scienze dell’Informazione

esame scritto giugno 1994

COGNOME E NOME ________________________________________

ESERCIZIO 1

Un tale vuole prendere una bibita del valore di 800 lire a un distributore automatico ed ha solo tre monete : una da 500, una da 200 e una da 100. Il distributore automatico e’ difettoso e puo’

incassare una moneta senza riconoscere il credito relativo.

Precisamente riconosce il credito:

• della moneta da 500 lire con probabilita’ 0.95

• della moneta da 200 lire con probabilita’ 0.90

• della moneta da 100 lire con probabilita’ 0.85.

1. Calcolare la probabilita’ che il tale ottenga la bibita.

2. Calcolare la speranza della variabile aleatoria che descive la perdita subita se si introducono le monete secondo le due seguenti sequenze :

• sequenza 1 : 100-200-500;

• sequenza 2 : 500-200-100.

nota: si intende che il tale non introduce le monete successive alla prima rifiutata.

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CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA Scienze dell’Informazione

esame scritto giugno 1994

COGNOME E NOME ________________________________________

ESERCIZIO 2

Un tale aspetta l’autobus alla fermata per andare alla stazione centrale. Puo’ prendere due autobus : l’autobus numero 1 e l’autobus numero 2 e ovviamente prende il primo dei due che passa.

Il tempo di attesa del bus 1 segue una legge esponenziale di parametro 1 e quello del bus 2 una legge esponenziale di parametro 0.5. Gli autobus passano in modo indipendente uno dall’altro.

1) Calcolare la probabilita’ che il tale vada in stazione con il bus numero 1.

2) Calcolare la probabilita’ che il tale vada in stazione con il bus numero 2.

3) Calcolare il tempo medio di attesa .

4) Se la durata del percorso e’ di 10 minuti e il tale arriva alla fermata 15 minuti prima della partenza

del treno con quale probabilita’ riesce a prendere il treno ? ( si trascuri il tempo necessario al trasbordo

tra i due mezzi).

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CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA Scienze dell’Informazione

esame scritto giugno 1994

COGNOME E NOME ________________________________________

ESERCIZIO 3

Sia f

X

( ) x la funzione reale cosi’ definita :

f x c x x c

altrimenti

X

( ) sen( )

= R − ≤ ≤ >

S | T |

π π

2 2 0

0 Tracciare il grafico di f

X

( ) x e determinare :

a) il valore di c che rende f

X

( ) x una densita’ di probabilita’ di una variabile aleatoria X;

b) la funzione di distribuzione di X [ F

X

( ) x = P X ( ≤ x ) ];

c) la probabilita’ che il valore della variabile aleatoria Y=|X| non superi il valore π 3 ; d) la densita’ e la funzione di distribuzione di Z=X2 ;

e) P Z ( ≤ π

2

)

9

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CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA Scienze dell’Informazione

esame scritto giugno 1994

COGNOME E NOME ________________________________________

ESERCIZIO 4 ( sostitutivo della prova di laboratorio)

Si supponga di non sapere se una moneta e’ equilibrata, cioe’ se la probabilita’ p di ottenere in un singolo lancio Testa o Croce sia uguale a 0.5 . Si eseguono 100 lanci della moneta e si calcola il numero medio X

n

di successi (successo = e’ uscita Testa). Fissato il valore k =0.01 si maggiori

P X d

n

− > p k i [si osservi che p ( - ) p 1 se p

1 ≤ 4 0 ≤ ≤ 1 ] .

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