Interpretazione economica delle variabili duali

(1)

Interpretazione economica della dualit` a

I

Interpretazione economica delle variabili duali

I

Interpretazione economica del problema duale

BT 4.3; Fi 4.4

(2)

Interpretazione economica delle variabili duali

Consideriamo un problema {min c

^T

x : Ax = b, x ≥ 0} e sia x

^∗

una soluzione ottima non degenere, associata alla base B.

Supponiamo di perturbare il vettore dei termini noti sostituendo b con b + d. Allora:

I

essendo B non degenere si ha x

B

= B

⁻¹

b > 0, ma allora anche x

_B

= B

⁻¹

(b + d) > 0 per d ”piccolo”; quindi, per d sufficientemente piccolo B ` e ancora una base ammissibile

I

essendo B ottima si ha c

^T

− c

^T_B

B

⁻¹

A ≥ 0 e ci` o non cambia

dopo la perturbazione; quindi B ` e ancora una base ottima

(3)

Interpretazione economica delle variabili duali

I

quindi, il costo ottimo del problema perturbato ` e c

^T_B

B

⁻¹

(b + d) = p

^T

(b + d) in cui p ` e una soluzione ottima duale

I

di conseguenza, se l’i-mo requisito varia di d

_i

, il costo

complessivo varia di p

i

d

i

, quindi p

i

pu` o essere interpretato

come il suo costo marginale

(4)

Il problema della dieta

Un nutrizionista deve programmare la dieta per una squadra sportiva, in modo da garantire un certo apporto b

i

di ciascuno dei nutrienti fondamentali (zuccheri, grassi, proteine, etc.).

Per ciascun alimento j sul mercato ` e noto

I

il costo unitario c

_j

I

la qtit` a a

_ij

di nutriente i contenuta in una unit` a di j Determinare una dieta (qtit` a x

_j

di alimento ∀j) di costo minimo

z

^∗

= min

n

X

j=1

c

_j

x

_j

n

X

j=1

a

_ij

x

_j

≥ b

_i

, i = 1, . . . , m x

_j

≥ 0, j = 1, . . . , n

(1)

(5)

Esempio

Alimento Eur/Kg Zuccheri Grassi Proteine Vitamine

g/Kg g/Kg g/Kg g/Kg

pasta 2 300 0 1 12

carne 18 0 110 400 30

uova 5 0 300 280 50

latte 6 70 360 10 4

dose giornaliera 90 70 50 7

(6)

Il problema del produttore di integratori alimentari

Un’azienda farmaceutica produce ”direttamente” i nutrienti e deve decidere il loro prezzo di immissione sul mercato. I suoi prodotti rappresentano alternative per il nutrizionista agli alimenti tradizionali.

Possiamo stimare il ricavo massimo dell’azienda?

Se i prezzi p

i

dei nutrienti fossero troppo elevati, il nutrizionista non sarebbe incentivato ad acquistarli: se il prezzo di ”sintesi” di un alimento j attraverso i suoi nutrienti fosse superiore al suo prezzo di acquisto, il nutrizionista preferirebbe acquistare l’alimento stesso

quindi, l’azienda ha il seguente vincolo:

m

X

i=1

a

_ij

p

_i

≤ c

_j

, j = 1, . . . , n

(7)

Esempio (cont.)

siano p

_Z

, p

_G

, p

_P

, p

_V

i prezzi risp. di zuccheri, grassi, proteine, vitamine

ad es. per ”sintetizzare” 1 Kg di pasta (che costa 2 Eur) occorrono 300 g di zuccheri, 1 g di proteine e 12 g di vitamine, quindi:

300p

Z

+ p

P

+ 12p

V

≤ 2

(8)

Il produttore di integratori alimentari risolve il duale!

w

^∗

= max

m

X

i=1

b

i

p

i m

X

i=1

a

_ij

p

_i

≤ c

_j

, j = 1, . . . , n p

i

≥ 0, i = 1, . . . , m

(2)

I

per qualunque scelta ammissibile dei prezzi si ha P

m

i=1

u

i

b

i

≤ P

n

j=1

c

j

x

j

: il nutrizionista preferir` a gli integratori

I

per il teorema della dualit` a forte, z

^∗

= w

^∗