Sulla trasformazione degli integrali doppi.

(1)

Sulla trasformazione degli integrali doppi.

~M~emoria di T~IBERTO CESAR~ (a Bologna).

S n n t o . - Applicsndo .~ozioni .(lid utilizzate i~ l~receden~i lsvo~'i detlo stesso A. sul problema dells q u s d r s t u r a delle su~erficie, si d a ~ o formule generali di trssfo~'mszio~e degli i~tegrali doppi.

INTRODUZIONE

In precedenti lavori mi sono occupato del problema della quadratura delle superficie continue in forma parametrica assumendo come nozi~ine di area quella proposta da H. L]CBESGUE (~). Introdotte (s) ]e nozioni di trasformazione piana continua a variazione limitata ed assolutamente continua, nonchb quel]a di Jacobiano generalizzato (a~soluto e re]ativo), ho potuto comp]etamente ca- rattcrizuare le superficie continue in forma parametrica che hanno area finita secondo L~BESGUE (~I, come pure quelle superficie per le quali detta area, supposta finita, ~ data. da]l' integra]e classico (4).

Nel presente lavoro mi occupo del problema, strettamente connesso al preeedente, della trasformazione degli integrali doppi. Io mostrerb come, utilizzando le stesse nozioni di trasformazione piana continua a variazione limi.

tara e assolutamente continua nonchb quella di Jacobiano generalizzato da me utilizzate nel problema del]e quadratura delle superficie, si possono otte- nere, con la massima semplicitk e naturalezza, formule del tutto generali per il cambiamento delle variabili negli integrali doppi.

Molti autori iW. H. YouI~G, R. CACCIOPPOLI, C. B. M o n ~ Y , J. SC~AUD~, T. RAP0, P. R~CH~DEnFrm) si sono gik occupati del problema t h e 'forma l' oggetto del presente lavoro.

(t) H, LEBESGUE, Integrale, longueur, aira. • An•ali di ~ I a t e m a t i e a ~, Ser. 3, Vo]. 7

(190~), pp. 281.a59.

(~) I miei p r e c e d e n t i l a v o r i ehe q u i i n t e r e s s a n o s o n o : A ) Cart~tterizza~io~e a ~ a l i t i c s delle superficie conti~tue di area f i n i t s secondo Lebesgue, • A n n a l i della I~. Seuola ~ o r m a l e Sup. di P i s a ~, Ser. I I , Vol. X (1942)), pp. "253.295, ~rol. X I (1943), pp. 1.42; B) 5ui fonda.

men~i geometrici dell'iq~tegrale classico per l ' s r e s delle superflcie i n f o r m s pa~'ametrica, ,¢ M e m o r i e della R e a l e A c e a d e m i a d' I t a l i a , . Vo]. X I I I (1942), pp. 1323.1483; C) Sulla qua.

d r a t u r a delle superficie i n forma p s r a m e t r i e s , • Boll. U . M . I . ,, Ser. I I , ¥ o l . I V (1942), pp. 109.117; D) Una proprietd ea~'atteristies deIle trasformazio~i a variszione l i m i t s t a , id. id.~ pp. 224.235 ; E) S u l concerto di trssforms~ione s s s o l u t s m e n t e coat~nus, id. id., A n n o ~"

(1942)~ pp. 5-10.

(3) I~oc. cit. in (~), A).

(4) Loe. eit. in (s), B).

Annali di Matemtztiea. ,~,erio IN ~ . Tomo ~t~VIT. 41

(2)

322 L. CES~m: S~d~a trasfo'rm(~zio~e degli i~ltcgr(tli dopp~

Mi l i m i t o a d a c e e n n a r e s o l t a n t o a l l e r i c e r c h e di C. I),. Mo]anEY e d a q u e l l e r e c e f i t i di T. R.~D0 e P . R]~mHELD]~nFEn.

N e l l e p r i m e I'A. (~}, in c o n n e s s i o n e c o n le p r o p r i e r i c e r c h e s u l l e s u p e r - f i c i e di a r e a f i n i t a s e c o n d o LEBESGUE., si l i m i t a a c o n s i d e r a t e il c a s o i n cui le f u n z i o n i c h e e f f e t t u a n o il c a m b i a m e n t o d e l l e v a r i a b i ] i s i a n o a s s o l u t a m e n t e c o n t i n u e s e c o n d o TOZ, TELLI e r a p p r e s e n t i n o u n a t r a s f o r m a z i o n e di c l a s s e L , s e c o n d o la s u a n o m e n c l a t u r a [in p a r t i c o l a r e d o t a t e q u a s i o v u n q u e di d c r i ~ a i e p a r z i a l i p r i m e i n t e g r a b i l i

is].

5Telle s e c o n d e gli AA. (~), in c o n n e s s i o n e c o n p r e c e d e n l i r i c e r c h e di S. BA-

~TACH (7) e T. RADO (s) s u l p r o b l e m a d e l l a q u a d r a t u r a d e l l e s u p e r f i c i e oiten- g o n o f o r m u l e di t r a s f o r m a z i o n e d e g l i i n t e g r a l i d o p p i , c h e h a n n o g e n e r a l i t h p a r i a q u e l l a de1 p r e s e n t e l a v o r o , R i t e n g o t u t l a v i a u g u a l m e n t e i n t e r e s s a n t e la p r e s e n t e t r a t t a z i o n e cosi p r o f o n d a m e n t e d i v e r s a da q u e l l a degli AA. citati ('~).

S i a A i l q u a d r a t o c h i u s o (0, 1, 0, 1) del p i a n o (u, v), s i a n o x ( u , v), y t u , v), f a n z i o n i c o n t i n u e e a d u n v a l o r e d e f i n i t e in A, sia

: x = x ( u , v ) , y = y ( u ,

v), (u, v)~A,

l a t r a s f o r m a z i o n e p i a n a c o n t i n u a d c f i n i t a d a t l e f u n z i o n i x ( u , v), y(u~ v), sia B - ~ ¢ ( A } l ' i n s i e m e l i m i t a f o e c h i u s o del p i a n o (x, y} nel q u a l e (]) t r a - s f o r m a A. Sia H ( u , v} lo J a c o b i a n o g e n e r a l i z z a t o r e l a t i v o d e l l a t r a s f e r m a - zione" • e • {x, y, <P) e n ( x , y, (I)) le f u n z i o n i c a r a t l e r i s l i c h e as.~oluta ~: r c l a - t i v a d e l l a t r a s f o r m a z i o n e (D (.he v e r r ~ n n o i n t r o d o t t e nel testo.

S i a f ( x , y) u n a f u n z i o n e d e f i n i t a in B e d o v u n q n e f i n i l a e s i a F ( u , v ) ~

== f i x ( u , v), y{u, v)] ]a c o r r i s p o n d e n t e f u n z i o n e d e f i n i t a in A.

('~) C. B. MOm~,EY~ ]. A class of ~'ep~'ese~tations o f ~u(~q~ifolds, ,, A m e r . J o m n . of Math. >,.

Vo]. L ¥ {1933}, pp. 683-707; If..id. id., Vo]. LV] (1934), pp. 275-293; l I l . The topoloe/y of (path) surfaces; id. id., Vol. IJV:II (1935), pp. 17-50.; IV. An a~alytic clta~'octer,zat(on of swrfaces of fi~tite Lebe,~que area, id. id, I~p. 6.92-792; ~. id. id., Vo]. L Y I I I (19.,()~ pp. 313-3o_8.

t '~'} T. RA~):) e P. ]]E~(;(ii::Lm.:V, FEm A theory o~f absolutely co~tinuo~s t~'a~sfovmettio~s i~

the tfl:*~e., ~, Trans. Am:~v. ,\bdb. Soc. >>~ Vol. 49 {19~f1), pp. _05~-307.

I:) S. ]~.aNA(m, Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est fi~ie, ,. Fund. Math ~.

Tom. V I I ~t925), p)?. 225.236.

l ~) T. t~D6, Uber d~,s J,'Mche~mass ~'ektifizierbarer Fldche~b ¢ Math. Ann. )>~ Bd. 190 (1,q28), ])p. £15-:t7.q. Si ~-ed~m~ inoll~'(: i seguenti ]a~-ori: J. SCnAUDF, n~ l']'ber stetige Abbildunge~,,

Fm~d. 5lath. ,,: Vol. t2 (1928), l)p. 47.74: T, ]),~D('~ On continuous tra~sfor~nr~ti~s in t h e p l a n e Fun,]. Maih. >>, Vol. 27 (19361~ pp. '201-211; T. RA~('); On absol~dely cont i ~ o u s t~'ansforma.

tions in the pl(tne~ ,, ]t~]~e Malh. gornal % Yol. 4 (1938)~ pp. 189-2")1. ]noltre T. l:Ih~)% Le~gth and are, a, ,( Amer. Malh. Soc. Col]o(~tuium Publications ,,, Vo]. X X X (1948).

(:') I1 presenie scri|to fu redatlo e presentato per ]a stampa n(,gli anni di'.guerra non ave, ado a disposizione il ]avoro cir. in (~'). Si deve solt'mto n diffico]ill ccmtingenti se questo ]a~'oro redo, ]a ]u(.e con lanto ritardo. :Per un confronio fra i conccqti usati no] pre- scale lavoro e quelli di T. ]tA~)6 e P. ~EI('IIELDER]~'ER 9] v e d a T. ~ ] ) ( ' ) . T~co.dime~,sio~,al concepts of bou~ded va~'ialion. (~nd absol~de conti~,uity, (, Duke 5lalh. J. ,,. Vo]. 14 (1.q47), pp. 587-GOS. ]n~Alre, J. CF.Ce,'ON~. SU alcune defl~izioni delle ~wltepliritdt ~'eh~ti.ce p~r le t~a-

(3)

L. ('~s.u¢I:

S.]la h'asform~lzio~c dcgli i~tcgroli doppi

323 Nel presente lavoro dimostrerb i seguenti t e o r e m i :

T~,OR~,~A A. -

Se la trasformazione 49 ~ a variazione limilata allora / 1 H ( u , v) I dudv ~Sf I tI'(x, y" ~l l dxdy

A B

e condizione necessaria e sufficiente perch~ in quesla relazione valga il segno --- che dp sia assolutamente continua.

TEORE~IA B. - Se

la trasformazione (I) ~ assolutamente continua allora f f F(u, v) ! H{u, v ) l d u d v - - j l f f(x , y)W(x, y; O)dxdy,

.I B

vldudv = f(x, , ; d))dxdy,

A B

ogni qualvolla ahueuo una delle due funzioni

F(u,

v}It(u, v), flx, y)lF(x, y; ¢), ffuasi continua e integrabile L.

§ 1. T r a s f o r m a z i o n i c o n t i n u e a v a r i a z i o n e l i m i t a t a e a s s o l u t a m e n t e c o n t i n u e .

t. Geaeralit~ suile t r a s f o r m a z i o n i continue (i.).

Siano

x, tu, v), y(u, v)

funzioni continue e a d un valore nel quadrato chiuso A - ~ ~0, 1, 0, 1} del piano

~u, v) e

sia 4) la trasformazione continua

(1) qb: x--x~(u,

v), y-~-y(u, v), (u, v)~A.

Ad ogni punto P ~ (u, v) di A la trasformazione q5 fa corrispondere un 1)unto Q-~ (x,, y) del piano Ix, y} che dircmo @(Pj i m m a g i n e del punto P.

Sia B l' insieme dei p u n t i del piano (x, y) ehe corrispondono a qualehe l)unto di A. Se Q 5 un punto di B o g n i punto di

A,

la eui immagine coin.

cide con Q verr'~ detto un

modello

del punto Q. Diremo (I)-i(Q} l' insieme dei modelli del p u n t o Q.

Se I ~ un insieme di punti di A diremo ¢(1) l ' i n s i e m e dei p u n t i di B t h e sono immagini di punti di L Se J b un insieme di punti B, diremo dp-ltJ ) l ' i n s i e m e dei punti di A t h e sono modelli di punti di J. Se I ~ ehiuso, anehe (P(I) ~ ehiuso. Se J b chiuso anehe (I)-i(J) 6 chiuso. L' insieme B (ehiuso) e limitato. Sia K u n quadrato (aperto) a lati paralleli agli assi

(lo) Cfr. loe. eit. ill (~), A) o B).

(4)

324 b. ,CESA~I:

StdIa, trasformaz~o~c degli i~dcgrali doppi

ed y che c q n t e n g a nel suo interno l' insieme B. P e r ogni n u m e r o reale 0 ~ ~ ~ V 2 diciamo ¢o(~) il massimo delF espressione

l

(2)

I[x(u, v ) - - x ( u ' ,

v')] ~ -~-[y(u,

v ) - - y ( u ' , v')] ~ '~.

per tutte le coppie

(u, v) e (u', v')

di p u n t , di A tali t h e

i

[(u - - u T ÷ (v - - v')~]~ ~ ~.

La funzione ¢o(~) ~ c o n t i n u a e tende a zero quando ~ - . 0.

La funzicme ¢o(8) dices, il modulo di continuit~ della trasformazione (I).

Se I ~ u n insieme di p u n t , di A diciamo ~(/) l ' e s t r e m o super,ore della (2) p e r tutte le c o p p i e

(u, v), (u', v')

di p u n t , di /. L a quantith ~(I) dices,

l'oscil.

lazione

della trasformazione ffP nell' insieme 1. Se [ e I ~ indieano rispettiva- m e n t e la c h i u s u r a e la f r o n t , e r a di u n insieme I e ~(1) ~ il diametro di I si ha

, f l * ) ~ ~([) = ,~(I 1 ~ ,~[~(X)].

La trasformazione (1) pub essere considerata come u n a superfici e piatta.

Diremo L((I)) la sua area secondo LEBES~UE.

2. L' i n d i t e di K r o n e c k e r . - - Se r ~ una regione a p e r t a di JORDAN, tutta costituita di p u n t , di A i n d i c h e r e m o sempre con r* la c u r v a c o n t i n u a chiusa e sempliee costituente la f r o n t , e r a di r e con r la regione ehiusa di JORDAN

La trasformazione (I) fa corrispondere alla c u r v a r ~ u n a c u r v a c o n t i n u a e c h i u s a v (non n e c e s s a r i a m e n t e sempliee) che diremo 1' i m m a g i n e di r*. Indi- c h e r e m o sempre con c a n c h e l ' i n s i e m e c : qb(r*)occupato dai p u n t , d i c sul piano (x, y}. Fissato sul piano (u, v) un verso positivo p e r le rotazi0ni, la c u r v a r* risulta n a t u r a l m e n t e orientata. Fissiamo ora a n c h e sul piano (x, y) u n verso positivo p e r le rotazioni (indipendente dal precedente). Sia Q.o ~ (xo, Y0) u n punto del pian O (~v, y) fuori di c. Quando un punto P descrive i n t e r a m e n t e

r*

nel verso positivo, il punto Q ---- (I)(P) i m m a g i n e di P, descrive i n t e r a m e n t e la c u r v a o e l ' a n o m a l i a del vettore (mai hullo)

QoQ

risulterk m u t a t a di u n multiplo i n t e r , ) ( 5 0 ) di 2r: che verrh indicato con

2uO(xo, Yo; c).

P e r ogni punto Q0 ~: (w,, Y0) del piano

(x, y)

a p p a r t e n e n t e a c poniamo O(xo, yo; c) = O.

La funzione

O(x, y ; c)

r i s u l t a cosi definita in tutto il piano e dices, 1' indice topologico (o di KnO- I~ECKEI~) della c u r v a v (l~).

L a funzione 0Ix, y ; c) a s s u m e soltanto valor, inter, (~0), ~ n u l l a fuori di B, ~ costante su ogni c o m p o n e n t e dell' insieme aperto K - - c , ~ u n a fun-

(,1) B. V. KEREKJARTO, Vorlesungen i~ber Topologie, I, Berlin, Springer~ 1923.

(5)

I~. 'C,~,_~ ,~i~.I :

Sulla tr~sform~tzio,t~e degli .integrali. doppi

³²⁵ zione di BAII~E s e m p r e finita. ~'Ii o c c o r r e r a n n o in seguito le seguenti ben note proposizioni :

LEM~IA t. - Se r ~ u n a regione di JORDAN di

A, v

la c u r v a c o n t i n u a e chiusa i m m a g i n e di r*, Q un punto di K tale t h e

O(x, y; o):~= O,

allora nel- l ' i n t e r n o di r esiste a b h e n o u n punto P la cui i m m a g i n e eade in Q.

LEMMA 2. - S e r ~ u n a regione di JOI~DAN di A, ~r~, i - - 1, 2 , . . . h i u n a suddivisione di r in regioni di JOI~DAN, e, c~, i---l, 2 , . . . , n , le c u r v e con.

tinue e chiuse i m m a g i n i n e l piano (x, y) delle due curve di JORDA~

r, r~,

i - - - 1 , 2, ..., n , E 1' insieme ricoperto dalle c u r v e

c, c~, i - - l , 2, ...,n, Q(x, y)

un punto di K - - E , a l l o r a :

0(~, y; ~ ) - ~. 0(~, y ; ~).

i = l

3. L o f u n z i o n i

z(r), t(r), g(r).

Sia r u n a regionc di JORDAN di A, c la c u r v a c o n t i n u a c c h i u s a im- m a g i n e di

r, Otx, y; e)*

l' i n d i t e di K~ONEC]~E~ r e l a t i v e alla c u r v a e. La funzione 0(~, y ; c) ~ di BAIRE e percib quasi c o n t i n u a in K.

P o n i a m o

/ /j

~(r) = / O(x, y; c)dxdy, t(r) = I~(r)], g(r)---- l O(x~, y; v l d z d y ,

J K

eve si i n t e n d a

1 I = t(r) = g ( r ) = + o o

[z(r) i n d e t e r m i n a t e n e l segno] se 0(~a; y ; c) non ~ integrabile L.

M a n i f e s t a m e n t e 0 -<

t(r) ~ g(r) ~ t- co.

4. Le t r a s f o r m a z i o n i a v a r i a z i o n e i i m i t a t a .

Sia

Ir~, i = l ,

2, ..., n} u n a suddivisione di A in regioni di JORDAN e siano

ci, i - - l , 2 , . . . , n ,

le c u r v e c o n t i n u e e ehiuse i m m a g i n i di

r~, i = l , 2, v. , n .*

P o n i a m o :

T((I)) --" extr. sup. E

t(r~),

G((I)) -- extr. sup. ~.

g(ril

t : - t i = l

e per ogni punto (~, y) di K,

f t

W(~, y; (I))= extr. sup. 2] ]0(~, y ; e~)[

i---1

per tutte le possibili suddivisioni

l r ~ l d i A

in regioni di JORDAN. M a n i f e s t a m e n t c 0 ~ T((1)) ~ G(~) ~ + oo ^e,p e r ogni punto (x, y) di K, 0 ~ W(~, y ; (I)) ~ + oo.

Io he dimostrato altrove ehe la funzione W(x, y ; (I)) ~ s e m i e o n t i n u a infe.

r i o r m e n t e in K (i~) e quindi quasi c o n t i n u a (trascurando l ' e v e n t u a l e insieme dei punti (~, y) di K nei quali W non ~ finita).

(i~) Loc. cir. in (~), A).

(6)

326 b. ,('~"~,x~ : S~tll,a lras.formazio~tv degli ,i~dcgrali doppi P o n i a m o .

W(O} ~--- ] ] W(x, y; ~P)dxdy

K

o v e si in~enda W ( ( I ) ) ~ - I - ~ , se la f u n z i o n e W(x, y; (b~ n o n 5 i n t e g r a b i l c L.

D i r e m o e h e W(x, y, 4p) ~ la f u n z i o n e e a r a t t e r i s t i c a a s s o l u t a e IV(O) la var~a- zione totale d e l l a t r a s f o r m a z i o n e qb. D i r e m o c h e la t r a s f o r m a z i o n e (I) 6 a v a r i a z i o n e l i m i t a t a se W(O} ~ + cx~, ossia se la f u n z i o n e q~'~x, y ; (I)} 5 int~,- g r a b i l e L (~).

I o ho d i m o s t r a t o il s e g u e n t e

TEOI~EM~ I (~). - P e r o g n i t r a s f o r m a z i o n e continua~ si h a T((I)) ~ G(O) ~ - W(O) ~-~ L((])) ~ +

p e r ogni t r a s f o r m a z i o n e a v a r i a z i o n e l i m i t a t a

T(O) -_-- G((P) .-~ W ( O ) - - L(~} < + c<~.

5. Le f u n z i o n i

T(r), G(r).

S i a r u n a r e g i o n e di JOtiDAN di A c sia lr~, i : 1 , 2 , . . . , n t u n a qualsiasi s u d d i v i s i o n e di r in r e g i o n i di JORDAn.

P o n i a m o

T(r) : e x i t . sup. E t(ri), G(r) : e x t r . sup. E g(r~)

i : - I i : - I

p e r t u t t e le p o s s i b i l i s u d d i v i s i o n i l r ~ t di r in r e g i o n i di J o m ) A ~ . M a n i f c s t a - m e n t e 0 ~ Tir} ~ G(r) ~ + c,o e i n o l t r e T(A) ~ T(~p), GA) -- G(~).

Se r ~ u n a r e g i o n e di J O n D ~ " di A ~e t r~, i - ~ 1, 2 , . . . , n l u n a s u d d i v i - s i o n e di r in r e g i o n i di JORDA~ si h a

T ( r ~ Z T(r~), G t r ) ~ E Gtr~l.

i=:l i.=l

I n o l t r e p e r ogni t r a s f o r m a z i o n e c o n t i n u ~ (I) si lm T ( r ) ~ G(r} ~ t - ~ ~, p e r ogni t r a s f o r m a z i o n e a v a r i a z i o n e limitat~ T ( r t ~ G(r) ~ -~ ~.~.

6. Le t r a s f o r m a z i o n i a s s o l l x t a m e n t e e e n t i n u e (i:~)°

D i r e m o c h e l a t r a s f o r m a z i o n e d) 6 a.~solutamcnt(~ c o n t i n u a sc

a) ad ogni n u m e r o e ~ 0 . a r b i t r a r i o pub f a r s i e o r r i s l ) o n d c r c u n a u m e r o

> 0 tale c h e p e r ogni g r u p p o f i n i t o I r~. i - - 1, 2 , . . . , n I di p o l i g o n i semplici di A a d u e a d u e s e n z a p u n t i i n t e r n i in c o m u n e c tall c h e Z lu~] ~. ~,

i=1

~i h a : Z g ( v : ~ ) ~ e ;

(13~ Loc. cir. i n {2~, A b 0 4 ) Loc. cit. in (~), A), B), D).

(t~) Loc. cit. in (e), B).

(7)

l:. ('~ESAR.I:

SMI<~ tro.sfm'mozio~e degli 4ntegrali doppi

³²⁷

b) per ogni suddivisione 1 7 : ~ , i ~ 1 , 2 , . . . , n . / di A in lmligoni semplici si ha

G(A) : E G(~:~).

~=1

OSS]~RVAZm~I: 1) Se (I) ~ u n a trasformazione a s s o l u t a m e n t e continua, allora ad ogni s > 0 arbitrario e o r r i s p o n d e un n u m e r o ~ ~ 0 tale che per ogni gruppo di regioni a p e r t e di JO~DA~ try, i : l , 2 , . . . , n f di

A,

a due a

~t

d u e senza p u n t i (interni) in c o m u n e e tali t h e ~ f r e t < ~ si ha ~

g ( r ~ ) ~ ,

i=-1 i=l

i=~1 i = I i--1

2) Se ^(I)b una trasformazione a s s o l u t a m e n t e continua, allora, per ogni poligono sempliee r: di A e per' ogni suddh, isione I=~, i ~ 1 ,

2,...nl

in poll.

goni semplici si har

G(rc) = E G(=,).

b-1

3) 0 g n i trasfornmzione a s s o l u t a m e n t e c o n t i n u a 5 anehe a variazione limitata {~').

4) Se <I) b u u a trasformazione a s s o l u t a m e n t e continua, allora, p e r ogni suddivisione I ui, i ~--: 1, 2, ..., n I di A in poligoni semplici a due a due senza punli interni in c o m u n e si ha T ( < [ ) ~ x2

T(~i) e,

analogamente, T ( r : ) ~ E

T(~i)

i=- 1 i=1

per ogni poligono sempliee r: di A e per ogni suddivisione Iraqi di 7: in poligoni scmplici ('v).

5) Le condizioni a) e b) che definiseono le trasformazioni a s s o l u t a m e n t e (:onlinue sono indipendenti.

7. J a c o b i a n o genera]izzato di una t r a s f o r m a z i o n e .

Sia P ~ (u, v) un punto interne ad A, sin, q un q u a d r a t e a lati paralleli agli assi u e v c o n t e n e n t e P e sin. ~(q) il diametro di q. Consideriamo il quo.

ziente

T(q}/I ql.

Sc esistc finite il limite

lira

T !q-) - - g(u, v),

~(+--+ ~ J q I - -

diremo

J(u, v)

il

Jacobi~+~o generalizzato

{assoluto) della trasformazione (I) he]

punto

P - - P ( u , v).

%o he dimostrato i s e g u e n t i :

TEOnE~A ] I {~s). _ Se (I) ~ una trasformazione a variazione limitata, il J a c o b i a n o generalizzato

J{u, v)

esiste quasi o v u n q u e in A, r a p p r e s e n t a u n a

(~) :Loc. cir. in (~), C) D) (iv) Lo(,. t i t . in (:), E).

(is) L e e . eit. in {~), E), |}).

(8)

328 L. CESA]¢:: ~ d l ~ trasformaz~one degli ~nIeqral~ doppl funzione inte.grabile L in A e inoltre

-'- - - L(¢) > J ( . , v)dudv.

T(¢) G(¢) W(¢)=

Condizione n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n t e affinchb si abbia

L ( ~ ) - - j / J(u, v)dudv.

A

b t h e la trasformazione (I) sia a s s o l u t a m e n t e continua.

TEOREMA I I I (~9). _ Se x(u, v), y(u, v) sono funzioni c o n t i n u e in A, dotate quasi ovunque in A di differenziale asintotico regolare, se la trasformazione ¢ : x..= ~(u, v), y = y ( u , v), (u, v)sA, 6 a variazione limitata, allora, quasi o v u n q u e in A, si h a J(u, v) "-- I w~,yv - - xvyu t eve ~,~, x~v, Yu, Yv sono le derivate asintotiche regolari delle funzioni x(u, v), y(u, v).

8. Un teorema di approssimazione.

In u n p r e c e d e n t e lavoro io ho dimostrato il s e g u e n t e :

TEORE•A IV (~o). _ Sia • u n a trasformazione a variazione l i m i t a t a e 7:

un. poligono semplice di A. Ad ogni n u m e r o s > 0 arbitrario si pub f a r corrispondere u n gruppo di poligoni semplici ! ~ , i - - 1 , 2, ..., n l e o m p l e t a m e n t e i n t e r n i a :~ a d u e a due senza punti i n t e r n i in c o m u n e e tali che, se c~, i .-~ 1, 2, ... n, sono le c u r v e c o n t i n u e e chiuse i m m a g i n i delle poligonali 7:~*

si ha :

] E l < e , i = l , 2,...,n,

i = 1

i=l t=1

9. Un t e o r e m a di c o p e r t u r a .

Diremo nel seguito campo poligonale R l ' i n s i e m e aperto costituito dai p u n t i ehe sono interni ad un poligono semplice 7:0 e che sono esterni ad l poligoni semplici ~:~, 7 ~ , . . . , 7:t c o m p l e t a m e n | e i n t e r n i a r o e a due a due esterni 1' uno all' altro. L a f r o n t i e r a R* di R ~ costituita delle l + 1 poligonali T:~, 7:~ , ..., ~:~.

TEOREMA V (~l). _ Sia (I) u n a t r a s f o r m a z i o n e continua. R u n campo poligonale di punti di A, H u n insieme ehiuso e c o m p l e t a m e n t e disc0nnesso di p u n t i di B tale che, posto b - - ( I ) - l ( H ) si abbia bR* = 0. k l l o r a ad ogni n u m e r o ~ > 0 a r b i t r a r i o si pub far corrispondere u n a suddivisione fli R in

(t9) laoc. eit. in (~}, B).

(~0) Iaoe. tit. in (~), B).

(21) Loe. eit. in (~)~ B).

(9)

L. 'CESARI: Sulla trasformazio~e dcgli intcgrali doppi ²⁹ poligoni semplici q,, q~, ..., q,, e in campi poligonali R , , R.~,..., R,, tale che, indicate con q*', i - - 1, 2, ..., n, R~* ~ ( p ~ , ..., Pa*.), i - - 1, 2, ..., m, le frontiere

dei poligoni qt e dei campi poligonali R~, si h a :

a) b q * ' - 0 , i = l , 2 , . . . n , b R * ' - 0 , i---l, 2 , . . . , n ; b) ~ ( q ~ ) ~ s , i - - l , 2,...n, ~q(R~)<s, i - - 1 , 2 , . . . , n ; c) ~ Y. ~ ( E * ) < ~ .

i = 1 s ~ l

10. A n c o r a sui concetto di Jacobiano generalizzato.

Sia P - - ( u , v) un punto inferno ad A, sia q u n q u a d r a t o a lati paralleli agli assi u e v c o n t e n e n t e P e sia ~ - - ~(q) il d i a m e t r o di q. Sia 1 z:~, i - - 1, 2, ..., n f un qualsiasi g r u p p o di potigoni semplici c o m p l e t a m e n t e i n t e r n i a q a d u e a due senza punti interni in comune. Siano c~, i ' - 1, 2 , . . . , n , le c u r v e continue e ehiuse immargini delle poligonali 7:* e sia

= I E I , E ci, = i-q-I q ) -

M a n i f e s t a m e n t e m ~ 0, ~t ~ 0 e, in forza del t e o r e m a IV, esistono quanti si vogliono gruppi di poligoni l zbf verificanti le condizioni dette e p e r i quati m e ~ sono pifi piccoti di una quantit~t prefissata. Consideriamo il quo-

1

_"

/ /

ziente ~ - ] fi-1 ~(~') eve, come sappiamo, ":(.':i) - - O(x, y ; @dxdy, i = 1, 2, ..., n.

K

Io ho dimostrato in un p r e c e d e n t e lavoro i seguenfi t e o r e m i :

TEOI:tE~IA VI (2~)._ Se (I) b u n a trasformazione a variazione limitata allora, quasi o v u n q u e in A, esiste finito il limite s e g u e n t e e si h a :

(2) lira - ~ = t

V'

eve, q u a s i ovunque in A, la r u n , t o n e ~(U, v) assume soltanto i valori A-1 e - - 1 .

T]gom~)JA V I I 4:3). - Se ~(u, v), y(u, v) sono funzioni c o n t i n u e in A, do- tare quasi o v u n q u e in A di differenziale asintotico regolare, se la trasformazione

q) : x -~. x(u, v), y - - y(u, v), (u, v)~A, /~ a variazione limitata, allora quasi o v u n q u e in A, si ha

~(u, v ) J ( u , v) = ~,,y,, - - x , , y , ,

(22)

Loe. cir. in

(2), ]3).

(23) Loc. eit. in (-2), B).

A u r a l 4 di M a t e m a t i c a , S e r i e I Y , T o m o X X V I I r, 42

(10)

330 L. ,CEshm: S~dl, a trasformazione degli integ,rali doppl

o r e x~u, ~.v, Yu, Yr sono le derivate parziali asintotiche regolari delle funzioni

v), y(u, v).

P o n i a m o H ( u , v ) - - ¢ ( u , v)J(u, v ) . o v e J(u, v) e s(u, v) sono definite ed a l t r i m e n t i H(u, v) = O.

La funzione H ( P ) ~ H(u, v) sostituisce~ nelle presenti ricerehe, in valore ed in segno il J a e o b i a n o classico ed essa si r i d u c e a questo per ogni trasformazione definita d a funzioni dotate quasi o v u n q u e in A di differenziale asin.

totieo regolare e, in particolare, dotate, quasi o v u n q u e in A, di derivate parziali p r i m e ordinarie. I n o l t r e p e r ogni trasformazione a variazione limi- tata, quasi o v u n q u e in A, si h a

[ H(u, v)[ = g(u, v).

Da questa osservazione e dal t e o r e m a I I n. 7, segue il t e o r e m a A del- l' introduzione.

§ 2. A l c u n l l e m m i s u i g r u p p i di p o l i g o n i .

1. - - Sia {~:~, i - - 1 , 2,...,v} un gruppo di poligoni sempliei di A a due a due senza p u n t i i n t e r n i in comune. Siano ci, i---1, 2,..., v, le curve con- t i n u e e chiuse i m m a g i n i delle poligonali ~*. Sia E l ' i n s i e m e dei punti di B occupati dalle v curve c~, sia cio~ E - - - ~] c,. P o n i a m o

t ~ 1

m = I i, = T i e ) - = G ( e ) -

i : l i = 1

Vale il seguente

LEMMA 1. - Se la lrasformazione • ~ a variazione limitata allora, per ogni gruppo { us, i - - 1, 2, ..., v ! di Foligoni semplici di A a due a due seaza p u n t i inlerni i n comune, si hn

0 . ~ o ~ . Infatfi dalle relazioni

t ( ~ i ) ~ g ( ~ ) , i--" 1, 2, ..., v, T(~p)-- G(e) ~Teor. I, § 1, n. 4) segue

0 ~ ~, = G ( ¢ ) - - E g(~,)<_ T ( e ) - - ~ t ( , , ) = ~.

i ~ 1 i = 1

2. - - Lv4IMA 2. - Se • ~ u n a trasformazione a variazione limitata, se I us, i --" 1, 2, ..., v I $ u n gruppo di poligoni semplici di A a due a due senza p u n t i interni in comune, allora esiste u n insieme I di p u n l i di K di m i s u r a ( l~o tale che, Fer ogni .poligono • senza p u n l i interni in commie con i Foli- goni 7:i, i - - 1, 2, ..., v, e per ogni punto (x, y) di K - - I si ha

t0{~, y; ci) I = W(x, y ; O), O{x, y; c ) = O .

i:--1

(11)

L. CEsAnI : Sulla trasformazione degli integral4 doppi 331 O s s e r v i a m o a n z i t u t t o t h e (Teor. 1, § 1, n. 4)

~ t o - - G ( @ ) - ~lg(=, ) = W(~c, y; ¢P)dx~dy- Z I O(x~, y; cd lda:dy =

i = I K

La funzione entro parentesi quadra assume solo valori interi 2 O, L' in- s i e m e I dei p u n t i di K in eui si ha

• v; ¢ ) -

I v;

o

i = 1

ha e v i d e n t e m e n t e m i s u r a ~ t~0. Se ora ¢: i~ u n qua,lsiasi p o l i g o n o s e m p l i c e senza p u n t i i n t e r n i in c o m u n e con i poligoni Tzi, i - - - l , 2,...,V, a l l o r a in ogni p u n t o di K si ha,

i = 1

e q u i n d i , in tutti i p u n t i di K - - I , O(x, y; c ) - - 0 . 3. - - D i m o s t r e r e m o nei nn. 4-6 il s e g u e n t e :

LEMMA 3. - Se @ ~ u n a trasformazione a variazione limitata, se I~:~, i - - - l , 2 . . . , v l , I ~ : f , j = l , 2 , . . . , v ' l

sono due g r u p p i di poligoni semplici di A, se i poligoni ~ , i - - 1 , 2 , . . . , v , sono a due a due senza p u n t i interni in comune, ed analoga propriet& h a n n o i poligoni ~/, j --~ 1, 2, ..., v', se

~ ( 7 : j ) < e , i - - 1 , 2 , . . . , v ' ,

se E, E', 1, I' sono gli insiemi dianzi introdotti, relativi ai g r u p p i di poligoni I v:~ 1 ~, l r~j' I, allora i n quasi tutti i p u n t i Q - - (x, y) di K ~ E ~ E ' -- I - - I' the distano da E non meno di ~ si ha

V !

(1) ~ O(x, y; e~)-- ~ O(x, y; o f ) .

i=l i=I

4. - - I n t a n t o c o m e ~ b e n e v i d e n t e la (1) ~ v'erificata in t u t t i i p u n t i di di K - - B . D i c i a m o o r a Ep 1' i n s i e m e dei p u n t i di K la cui d i s t a n z a d a E

< ~ . M a n i f e s t a m e n t e E C E<..

Se u n p o l i g o n o ~j', ( j - - 1, 2 , . . . , v ' ) c o n t i e n e i n t e r a m e n t e u n p o l i g o n o ui, i - - 1, 2, ..., v, a l l o r a ~(~i) ~ ~(7:[) < t~ e t a n t o la e u r v a qs' q u a n t o la e u r v a c~ sono c o m p l e t a m e n t e c o n t e n u t e in u n c e r e h i o a v e n t e il e e n t r o in u n p u n t o di E e r a g g i o < ~. N e s e g u e ehe in tutti i p u n t i di K - - E e si h a

O(x, y; cd = O, O(x, y; ~;) = O.

(12)

332 12. (!ES,~n~: Sttlh, lrasform, ado~e deglt ~ *~tcgr~di doppi

Siano r~i, i - " I, 2 , . . . , v i , quei soli poligoni ':i che non sono c o n t e n u t i in l)oligoni 7: " .j e siano , t ' j ,

j

~ 1, _ 9, .. , v , quei soli poligoni 7:¢' -' che non conten- gono i n t e r a m e n t e poligoni ui, i - - 1 , 2, ...,v. M a n i f e s t a m e n t e in tutti i p u n t i

di K - - E e si ha,

(2) ~ O(x, y; c i ) - - ~ O(x, y; c~), Y~ O(x, y; c/~ = v. O(x, y; ~/).

i=t i=1 j=l /::~

Se un poligono ~:~', j - - 1 , 2, ..., v', eontiene come p u n i c interno o sul suo contorno u n punto di u n a poligonale ~*, i - - 1 , ') v, allora la c u r v a c ' c o m p l e t a m e n t e i n t e r n a ad un cerchio avente il eentro in un punto di E e raggio ~. p. :Ne segue che in tutti i pu~ti di K - - E t . si ha

o(x, y, ~/} ---- O.

Di pifi l ' i n s i e m e dei punti di ui t h e appartengono a ,:j' risulta spez- zato in poligoni semplici ~% tali che, se dieiamo Fis le curve c o n t i n u e e chiuse immagini della p e r i f e r i a "f~* dei poligoni -f~s, Pis i~ i n t e r a m e n t e e o n t e n u t a in in u n cerchio avente il centro in u n punto di E e raggio < ~ e quindi in tutti i punti di K - - E e si ha p u r e

0(~, y; r~,) -- 0.

Se un poligono ~:j' ~ e o m p l e t a m e n t e esterno ai poligoni ui, i---1, 2,..., v, allora in tutti i punti di K - - I si h a

O(x, y; el) = O.

' Ve'

Ne segue ehe se ~j, j--= 1, 2, , v " < V < v', sono i soli poligoni u ' ehe sono c o m p l e t a m e n t e i n t e r n i a poligoni ui, i ~ - l , 2,..., v, in tutti i punti di K - - E ~ - - I si ha

(3) ~. o(x, y; ~ / ) = ~ o(~, y;

~/).

/=1 /=1

P e r ogni poligono u~ dieiamo ~ , ~ s - - - 1 , 2, ..., ~ , quei poligoni r~,' j, ---- 1, 2, ..., v", ehe sono e o m p l e t a m e n t e e o n t e n u t i in ~:i e diciamo yi,, s - - 1 , 2,..., ~ , quei poligoni eostituiti di punti di ~i e di p u n t i di poligoni u / , ] - - 1, 2, ..., v', sottanto p a r z i a l m e n t e eontennti in ~:i. Dieiamo poi v~, s = 1, 2,..., ~i, r ~ , s - - l , 2,..., t~i, le c u r v e continue e chiuse i m m a g i n i delle poligonali u~, e -~.

5. - - I1 poligono v:i, { i = l , 2 , . . . , v) ed i poligoni ~:i,, s = l , 2 , . . . ~ , ,

? i , , s - - 1 , 2,..., ~ , si trovano helle condizioni del t e o r e m a V del § 1. P e r ogni intero n .~ia H , un i n s i e m e di p u n t i di K a v e n t e le seguenti propriet'h

i H~CB--(E+E'},

TH.I > I B i - - I E + E ' J - i/2~+',

I H,, chiuso e completamente diseonnesso.

(13)

L. CESARI: Sulla trasformazione degli integra~i doppi 333 P o n i a m o

I , . + (B - - H,,) - - (E + E') e b = O-'(H,,).

M a n i f e s t a m e n t e

b ~ * = 0, i --- 1, 2 , . . , v, b~'.* - - 0, j - - 1, 2, . . . , v'.

J

I n forza del t e o r e m a eitato ogni p o l i g o n o n , , i---1, 2, ...,v', p u b d e e o m . porsi in u n n u m e r o f i n i t e di poligoni s e m p l i c i ~:i,, "C~8, qt, e eli e a m p i poli.

gonali R,8

~h = - - [ ~ , s - - 1 , 2 . . , IL,; "(~,, s - - 1 , 2, ..., t~i ; q~,, s - - 1 , 2, ..., m~; R~,, s - - 1 , 2,...~o~], i - - 1 , 2, ..., v, a v e n t i le s e g u e n t i propriet[~ :

b) ~ ( R . ) < 1/2 "+i, s - - 1, 2 . . . , ~ , ~(q~,) < 1/2 "+', s = I, 2, ..., m~,

('~" lie 1

~) 8 = 1 t = l I: 1: ~(p*~) < 4 ~ 2 . + , ,

- - $ *

eve con q~*, s = 1, 2, ... , m~, R*,8 = (P~so, P ~ I , ' " , p~,~)s - - 1, 2, ... , ¢% sono le f r o n t i e r e dei poligoni q~8 e dei c a m p i poligonali R ~ .

D i c i a m o c d , s - - 1, 2, ..., m~ , c~st, t - - 1, 2, ..., 1~8, s - - 1, 2, ..., ~o~ , le c u r v e c o n t i n u e e c h i u s e i m m a g i n i delle poligonali q~*, P~*t" L e c u r v e c~, c~8, v~/, c~t, Fi~ sono i n t e r a m e n t e c o s t i t u i t e di p u n t i di B - - H e q u i n d i di p u n t i I~, --I- (E + E'). L e c u r v e

raggio ~(p*~).

D i e i a m o 13n 1' i n s i e m e

c~t sono i n t e r a m e n t e c o n t e n u t e in c e r c h i a~st di

i----1 s = ' l t = O

(4) I z ~ I ~ = 1: ~ E ~ ( p & ) < 4 ~ 1: ~, ~(P*t) < 1/2"+1.

i = 1 a : l t : O i = 1 s = l t=O

I n t u t t i i p u n t i K - - I s . si h a :

(5) 0(x, y ; o~8t)--0, t----l, 2,...,1~,, s - - l , 2 , . . . , m , , i - - l , 2 , . . . , ~ . I n tutti i p u n t i di K - - E p si h a poi, c o m e a b b i a m o gik osservato, (6) 0(w, y ; r~8) - - 0, s = 1, 2, ..., ~t~, i - - 1, 2, ..., v.

I n f i n e in t u t t i i p u n t i di K - - I ' h a

(7) 0(~, y ; ~ ) ~ 0 , s - - l , 2 , . . . , m s ' , i ~ 1 , 2 , . . . , ~ .

o s s e r v a n d o t h e i poligoni qis sono s e n z a p u n t i i n t e r n i in e o m u n e c o n i poli- goni n~', ] - - 1, 2, ... v'.

(14)

334 L. CESARI: Sulta trasformaziotze dcgli i~#egrali doppi

6. - Rileviamo anzitutto che per ogni i--" t, 2,..., v, esiste u n gruppo di poligoni sempliei

(8) r:~ ~ [7:~, ^{7 - ,} q~,, pig°], i - - 1, 2, ..., v, costituenti u n a suddivisione di 7:~.in poligoni semplici.

Se non tutti i potigoni r:~,, s = 1 , 2 , . . . , ~ , sono eontenuti in questo gruppo, allora esistono nuovi gruppi, in n u m e r o finito, di poligoni semplici (9) P,~t "--- [~,~, q,,, , P,so], t ~ 1

eiascuno c o n t e n e n t e a l m e n o uno dei poligoni 7:~ m a n e a n t i nel gruppo (4) e eostituenti u n a suddivisione del poligono P~st in poligoni semplici. Infine ogni poligoao u ~ , s = 1, 2, ..., ~ , si trova in uno ed in uno solo dei gruppi (8) e (9~.

Poieh~ tutte le curve ci, ~ , r'~,, ~8, ~,t sono costituite di punti di I~, + (E ÷ E'), in tutti i p u n t i di K - - I 1 , - ( E - + - E ' ) si ha

O(x, y; ~,) --- ~ O(x, y ; c ~ , ) + ~ O(x, y; P~) + 2] O(x, y ; c'~) + Y, O(x, y; c~o~

8 8 S

eve le sommatorie sono estese ai poligoni ~ , "~8, qis, P~,o a p p a r t e n e n t i al gruppo t8 t. I n o l t r e per ogni gruppo del tipo {9) e per ogni punto di K - - I 1 . - - - - E q - E ' ) si ^{h a}

O(w, y; c~t) = ~ O(x, y; c~ ) -+ ~ O(x, y ; c'~,) -t- ~ 0(x, y ; c~o)

9 $ $

con anMoga convenzione per cib che r i g u a r d a le sommatorie. Ricordando era le (5). (6), (7) si ha, in tutti i punti Q - - ( x , y) di K - - I ~ - - I . ~ , - - E e - - E ' ,

0(~, y ; cd = ~ 0(~, y ; o~,)

8

(10) 0 = ~ 0(~, y ; ~ )

$

i --" 1, 2, ... v.

S o m m a n d o m e m b r o a m e m b r o le (10) e sommando p u r e rispetto ad i si trova

y yH

(10') Y~ O(x, y; ~,)-- ~ 0(~, y; el).

~,=L i = 1

P o n i a m o I,, - - 1~,~ + / ~ . Dalla (10') e dalle (2) (31 segue che in tutti i punti di K - - I - - I ' - - Ee - - E ' ^{- -}I,~ si ha

y?

(11) ~ 0(x, y ; c , ) = E 0(w, y ; c~').

i=1 j=~

0 s s e r v i a m o ehe

f I . l ~ I I~,, I -t-1/~,, I < 1I 2n+' q- 112"+' '= 1/2""

Sia T 1' insieme

T : = lira ~ I . .

(15)

"[.~. (~ESAR,I: ~?tl/a~ trasformazione degli integrab: doppi 335 M a n i f e s t a m e n t e I T t = 0 " Sia e r a O ~ ( x , y) un punto di K - - I - - I ' - - E e - - E ' - - T . Esiste u n ~--~ tale t h e per ogni n ~ il pnnto Q = ( x , , y) a p p a r t i e n e a n e h e a K - - I - - I ' - - E ~ - - E ' - - I , e quindi vale la (11).

I1 L e m m a 3 ~ cosi dimostrato.

7 . - LEM)rA 4. - Se • ~ u n a trasformazione a variazione limitata, ,e { rci, i - - 1, 2...., v I d u n gruppo di poligoni semplici di A a due a due senza p u u t i interni i n comune, se

~(m) < ~, i = 1, 2, ..., v,

se E ~ l'insieme dei p u n t i di B occupati dalle v curve c~, i = l , 2 , . . . , v , i m m a g i n i delle poligonali ui*, se I ~ l' insieme dei trunti di K relative al gruppo di poligoni I *:il considerate net L e m m a 2, se C d la ¢:urva continua immagine della periferia A* del quadrate A, allora in quasi tutti i p u n t i

Q = (x, y) di K - - C - - E - - T che distano da C non me,no di p s i ha O(x, y ; G ) = O(x, y ; C}.

i = - 1

La dimostrazione di questo L e m m a si ottiene da quella del L e m m a 3 con cvidenti semplificazioni.

,~ 3. I , a f u n z l o n e n(x, y; 0).

1 . - Sia I=~, i== 1, 2 , . . . , v l un gruppo di poligoni sempliei di A a due a due senna p u n t i i n t e r n i in eomune. Siano ci, i - - - 1 , 2 , . . . , v , le c u r v e con- tinue e ehiuse i m m a g i n i delle poligonali us*. L' insieme

E--- ~ Ci i=l

6 un i n s i e m e ehiuso di p u n t i di 13 e quindi, indicate con Ee 1' insieme dei punti di K la eui distanza da E b m i n o r e d i p si h a

E C E ~ , lira E ~ = E , lira

IE I=IEIo

f ~ O p~O

Ad ogni ~ > 0 a r b i t r a r i o si pub d u n q u e far eorrispondere u n n u m e r o reale ~ > 0 tale t h e I E ~ [ < f E I - ~ ¢.

Dal t e o r e m a IV del § 1 segue i m m e d i a t a m e n t e ehe esistono q u a n t e si vogliono suecessioni di gruppi di poligoni di A

,,.(n) i - - 1, 2, v,,], n --- 1, 2.

':L~ ) ° ' " , , . ° ° ,

tali the, per ogni n,

a) i poligoni u.t"('~, i = 1, 2, ..., v, , sono a. due a due scnza punti i n t e r n i

(16)

336 L. CESA~.~: ~ulla trasforma~io~e degli inteqrali doppi in e o m u n e ;.

b} m - - I E,,.I--I E c { n ' } < 1/2"+';

i='1

e) II,, I - ~ ~o - - G((I)) - - ~. g(q?'~') < 1 / 2 " + ' ;

i = l

d) ~(q~,n,) < l / 2 n + , , i -~-- 1, 2, ..., v,, ;

e) i n d i c a t e con ~,, il m a s s i m o n u m e r o reale tale ehe

si h a

] (E,,)~,, l < I E . l -t- 1/2"+~

•/•.(n+l)]

^~u, , < ? , , , i ~ l , 2,...,v,+i,

ove si b i n d i c a t o c o n c~ ('~ la e u r v a c o n t i n u a e c h i u s a i m m a g i n e d e l l a poli- g o n a l e q('~, i ~ 1, 2, ... ~v,, con E,, l' in~deme dei p u n t i di B r i c o p e r t o d a l l e v,, c u r v e c~ ('~, i ~ 1, 2, ... v,,, con L, l' i n s i e m e c o n s i d e r a t o nel L e m m a 2, § 2, n. 2 r e l a t i v o al g r u p p o di pol!goni q?'), i~----1, 2 , . . . , v , .

P o s s i a m o i n o l t r e s u p p o r r e ~ ~ ~ ~ ... ~ ~, ~ ..., lim ~ . - - O.

2. - D i m o s t r i a m o il s e g u e n t e :

TEOREM.~ I. - Se la trasformazione @ ~ a variazione limitata, se (1) [ q ~ " , i = 1, 2, ..., v,], n ---- 1, 2 ...,

una successione di gruppi di poligoni semplici di A avenli le propriet~ a), b), c), d), e), allora, quasi ovunque in K, esistono i limiti seguenti

(2) lim ~ 0(x, y ; c~'m), lira ~ [0(x, y, c?m)].

n.--*- c o i = l ~ ~ ~ i = l

Inoltre quasi ovunque in A si ha

y~

• (x, y ; ~9)-- lira ~ I O(x, y, c{m) l.

n ~ o o i = l

I n forza del L e m m a 3 del § 2, p e r ogni c o p p i a di i n t e r ~ n, n + p , esiste u n i n s i e m e di m i s u r a n u l l a T,,,,_~p di p u n t i di K tale ehe, p e r tutti i p u n t i Q ~ (x, y) di K - - / , , - - L,+~ - - (E,1)~,~ - - E,,+~ - - T,~. ,~+~ si h a :

(4) 0(x, y ; (")) ---- y"

I n o l t r e in forza del L e m m a 2 del § 2, in tutti i p u n t i di K - I,, si h a

(5) t o x, y ; c?"')T = y ;

o).

i = : 1

(17)

L. CEs~u~I:

,S,~d'la trasformazionc degli intcg.rali doppi

³³⁷

P o n i a m o

T , , - - E [I,~ 4- (E.,),%,-t- ~ Tin, m+.].

m = . p = l

o o

I T. I ~ E [1/2"+~ 4- 1/2 "+~ + 1/2 "+` -4- 0] - - 3/2"

e quindi, osservando ehe T~ ~ T 2 ..., segue T--- lim T,,, I T ] = 0 .

~'$ ----t, ~

Sia e r a Q ~ (x, y) u n p u n t o di K - - T. Esister~t u n intero no ---

no{Q)

tale ehe Q/~ fuori di T,, ° e q u i n d i fuori di tutti gli i n s i e m i 1,,, (E,,)p,, T,, ,,+~

per ogni p ~ l ,

n ~ n o ( Q ) .

Ne segue ehe, p e r 0gni p ~ l ,

n ~ n o

valgono la (4) e la (5) e q u i n d i esistono i limit, (2). L a {3) segue i m m e d i a t a m e n t e dalla {2).

3. - - I n d i c h e r e m o nel seguito con

n(~, y; ¢)

la funzione, d e f i n i t a quasi o v u n q u e in K

Y~

(6) n(x, y ; (I))-- lira E

O(x, y; c, c"')

n ---,- c ~ ~ = 1

ehe diremo

talvoltafunzio~e caralteristica relativa

della formazione 4).

P e r giustificare q u e s t a definizione oeeorre perb d i m o s t r a r e ehe se (7)

[p,'"',

i - - 1 , 2, ..., v,,1, [q,'"', i - - 1 , 2 , . . . , v',], n - - 1 , 2 . . . ,

sono d u e succession, di g r u p p i di poligoni verifieanti le condizioni a), b), c), d), e)

e n(x, y; ¢~), n'(x, y; (~)

le relative funzioni ealeolate meal, ante il limite (6) allora, quasi o v u n q u e in K si h a

n(z, ¢ ) = n'(z, y; ¢).

P e r d i m o s t r a r e eib c o n s i d e r i a m o le d u e succession, t~, > t~2 --> ' " , P', >--- P'~ > ' " ,

di h u m e r i real, t e n d e n t i a zero relativi ai g r u p p i di poligoni (7). Sia era 1 - - n i > n~ > n~ > ..., u n a success,one di inter, tall ehe, p e r ogni s,

t¢~.~+, < P%~+i' ~?(q~'h~+,)) ~ ~,,~. i : 1, 2, ..., v,~+,, s - - . 1 , 2, ..., p,%~ < p'%,_,, r/(q~%,)) < t~',,,_i, i = 1, 2, ..., v . , , + , , s = 1, 2, ....

L a s u c c e s s , o n e di g r u p p i di poligoni

Ip~,~], tq~",l{, lp~",,l, lq~",){,...,

vet, flea tutte le eondizioni a), b}, c), d), e). Dieiamo n"(~, y ; (I)) la relativa funzione ealcolata r e e d , a n t e il limite (6). Quasi o v u n q u e in K si h a n" = n':

n" = n e quindi, quasi o v u n q u e in K, si deve avere n--= n'.

A n n a l i d l M e t t e m a t i t a , , ~ e r i e I V ' , T o m e * X X V I I . 48

(18)

338 L. C~SaRI: S~dla trasformaz4one degli i~teqroli doppi 4. - - Vale il s e g u e n t e :

TEOR]~IA II. - Sia (I) una trasformazione a variazione limitata, sia {r~, i ~ 1, 2, ... v 1 u,~ qualsiasi gruppo di jpoligoni semplici di A a due a ' d u e senza launti i~terni in comu~e, siano c~, i---l, 2 , . . . , v , le curve continue e chiuse i m m a g i n i delle poligonali r~*, sia E l' insieme dei p u n t i di B rieoperto

dalle v curve c~, i - - 1 , 2, . . , v, sia I l' i~sieme relativo al gruppo di poligoni I ~ I considerato nel L e m m a 2 del § 2. Allora in quasi tutti i 19unit Q ~ (x, y) di K - - E - - I si ha

(s) v; c , ) = v; a)).

i = 1

Consideriamo u n a successione come la (1) di gruppi di poligoni di A verifieanti ]e condizioni a), b), c), d), e). Sia T i ' i n s i e m e dei punti di K

net quali non esiste finito il limite (6). L ' i n s i e m e T ha m i s u r a nulla.

Sia Pl->-~--> P8->-'", l i m p , = 0, la successione di h u m e r i reali relativa alla successione (1) considerata.

Si ha

lim E~ ---.E, lim [E%]-.~-]E]..-~oo'-- " " "

I n forza del L e m m a 3 del § 2 esiste per ogni intero n, un insieme T , di p u n t i K e di m i s u r a n u l l a tale che per ogni pnnto Q ~ (x, y) di K - - I - - I , - - Ep,,_~-- E , , - - T , si ha

c,'"') 0(x, e,).

(9} E 0(~, y; : y ;

4,=1 i = 1

P o n i a m o V , - - E , + I , - t - T , . M a n i f e s t a m e n t e t V, I < 2/2"+~ e quindi 1' insieme V : . lira £ Vm h a m i s u r a nulla.

Sia ora Q ~ ( x , y) un punto di K - - E - - I - - V - - 2 ' . Esiste un nu.

m e r o intero n'~=n~(Q) tale ehe per ogni n ~ n~ il punto Q a p p a r t i e n e a K - - E - - I - - V , . D' altra parte Q ha u n a distanza positiva dall' insieme chiuso E e q u i n d i esiste u n intero 'n~ = n dQ ) tale che p e r tutti gli n > n~ il punto Q appartiene a K - - Er,,,_~.

Ne segue che per ogni n ~ n 0-=- m a x [ n ~ , rt~] il punto Q a p p a r t i e n e a K - - R e , , _ i - - E , , - I - - I , , - V,, e quindi vale la (9).

5Ia Q ~ fuori di T e quindi il primo m e m b r o per n ~ tende a n(x, y; (P). Vale d u n q u e la (8) nel punto Q - ( m , y) eonsiderato. Ma Q 5 u n punto qualsiasi di K - - E - - I - - V - - T e I V ] - - 0 , [ T [ - - 0 .

I1 t e o r e m a I I ~ eosi dimostrato.

Si pub infine dimostrare il s e g u e n t e :

T:EO~]~_~ I l L - Se ~9 ~ u n a trasformazione a variazione limitata, se C la curva continua immagi~e della periferia A* del quadrato A, allora quasi ovunque i n K - - C si ha

(10) O(x, y; C j : - n ( x , y; 0).

(19)

L. CESAR~: ~ulla h'aslor.~mzio~c degli integrali doppi 339 L a dimostrazione ~ i d e n t i c a a quella del t e o r e m a p r e c e d e n t e utilizzando perb il L e m m a 4 al posto del L e m m a 3.

5. - - OSS]~tVAZmNE I. - Nei p u n t i di C la funzione] O(x, y ; C) ~ iden- t i e a m e n t e nulla, m e n t r e la funzione n(ac, y ; ~9) pub essere diversa da zero.

Diamo u n esempio di eib. Sia T il triangolo del piano (w, y) di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) e sin x---c~(t), y - - q b ( t ) , O < t < _ < l , u n a c u r v a di P]~NO che r i e m p i a i n t e r a m e n t e it triangolo T e tale t h e q~(0)-~ 0, ~(0)-" 0.

Sia (I) la trasformazione c o n t i n u a d e f i n i t a nel q u a d r a t e chiuso A ~- (0, 1, 0, 1) del piano (u, v) delle s e g u e n t i posizioni.

- - 2 u - - 2, y ----. (2u - - 1)v, se x = ~ ( 1 - - 2 u ) , y = q ~ ( 1 - - 2 u ) , se

1 u < l , O < v < l ,

2 ~ . . .

< ~ 0 < v < l . O ~ u _ ~ 2 , . . . .

La e u r v a C i m m a g i n e della periferia A * del q u a d r a t e A r i e m p i e inte- r a m e n t e T e quindi, in tutti i p u n t i di T, si ha O(a¢, y; C ) ~ 0. Si ha inveee, in tutti i p u n t i i n t e r n i a T, lIJ'(w, y; (I))--1, n(w, y ; qb)--. 1.

6. ^-^- 0SSERVAZlONE II. - a) Si potrebbe p e n s a r e t h e la (10) debba essere vera in tutti i p u n t i di K - - C q u a n d o p e r ogni p u n t o Q ~ (~, y) di K - - C si eonsideri u n a o p p o r t u n a suceessione di g r u p p i di poligoni (1) verificanti le condizioni a), b}, c), d}, e), e m e d i a n t e q u e s t a si calcoli la funzione n(x, y; ( I ) ) . ) i n cib non b come si vede dall' esempio ehe a n d i a m o ad esporre.

Sia • la t r a s f o r m a z i o n e c o n t i n u a d e f i n i t a nel cerchio ehiuso A ~ ( u ' + v '~ < 4 } del p i a n o (u, v) dalle s e g u e n t i posizioni:

i t t !

~e - - u(u" -I- v~) ^T^M ~(u" -!- v ~ - 1)~, y "-- v(u ~ -t- v~) - ~(u ~ "-I- v ~ - - 1)~, se 1 _< u 2 -I- v' _<_ 4,

t 1 t t

x ~ = ( u 2 - a - v ' ) - ~ ( 1 - - u : - - v ~ ) -i, y - - ' ( u ~ + v i ) ~ ( 1 - - u ~ - - v ' ) "~, se 0 < u ~ + v ~ < l . Sia 1 ~ il eerchio x ~ + y ~ < 3 del piano (~, y). L a e a r v a C i m m a g i n e della p e r i f e r i a A* di A ~ la p e r i f e r i a F* del eerchio F e quindi, in tutti i p u n t i di F, 0(x, y; C ) - - i . In tutti i p u n t i di F si h a p u r e W(w, y; (I))= 1. Sia era Q il p u n t o (0, o) del p i a n o (w, y) e c o n s i d e r i a m o u n a qualsiasi successione come la 11)di g r u p p i di poligoni varifieanti le condizioni a), b), e), d), e).

P e r n abbastanza g r a n d e n e s s u n a delle curve ei ~') pub c i r c u i t a r e il p u n t o Q---(0, 0) e q u i n d i n(0, 0 ; (I))=_: 0.

b) A n e h e nei r i g u a r d i del t e o r e m a I I si p o t r e b b e p e n s a r e t h e la (8) d e b b a essere vera in tutti i p u n t i di K - - E - - I . Ma eib non ~ come si vede subito, sostituendo, come ~ lecito, p e r semplicitk di esposizione al g r u p p o di poligoni del t e o r e m a l], lo stesso cerehio A. Si ha i n t a n t o E - - A e, in tutti i p u n t i di F, O(~v, y; C ) ~ 1 , W(x., y; d p ) - - 1 , m e n t r e in tutti i p u n t i di I'* ed

(20)

340 L. ,CEsARI:

Sulla trasformazio~e degli i~tfegr(di doppi

esterni a F,

O(x, y; C) ==0, qY--O.

L ' i n s i e m e I b d u n q u e vuoto, il punto Q ~ ( O , O) a p p a r t i e n e a K - - E - - I e tuttavia O(a~, y ; C } : = I , m e n t r e come abbiamo visto in

a), n(x,

y ; (I))-- 0 in q u a l u n q u e modo q u e s t ' u l t i m a funzione v e n g a calcolata.

§ 4. N u o v o p r o c e d i m e n t o p e r 11 e a l c o l o d e l l a f u n z l o n e n@, y; ~).

1. - - Ricorderb anzitutto il seguente l e m m a che mi occorrerfi, in seguito:

L ~ M A I (~). - Se C~, p--~ 1, 2, ..., ~ u n a successione di c u r v e c o n t i n u e e chiuse del piano (x, y) convergenti nel senso di ~,REGHET v e r s o u n a curva c o n t i n u a e ehiusa C c o m p l e t a m e n t e c 0 n t e n u t a in K allora in tutti i punti (x, y) di K - - C si ha

O(x, y; C ) -

lim

O(x~, y; C~)

, p ~ ov~

e inoltre

f f l o ( x , y; C) I dxdv_<_

lim I l l

O(x, y; Cv)dxdy.

££

K P ~

I n u n p r e c e d e n t e lavoro, io ho dimostrato inoltre i seguenti t e o r e m i : TEORE~A I (~s). _ Se

q~ : x. = ~(u, v), y - - y(u, v) (u, v)~A,

q)~: x = ~ ( u , v), y =

yp(u, v), (u, v)sA, p = 1, 2, ...,

sono trasformazioni c o n t i n u e e

lim

w~(u, v)-= a~(u, v),

p - - ~ ov

u n i f o r m e m e n t e in A, allora:

lim

y~(u, v)-~ y(u, v)

p ~ o o

W(¢) < lim W(¢j,)

e~ per ogni punto {x, y) di K

(1)

IV(x, y; tl,)~

lim ~(a~, y ; Cv).

l a ~ c ~

TEOREMA II. - Nelle condizioni del teor. I, se le trasformazioni ¢ e @v, p ~ 1, 2, ..., sono a variazione limitata, se

W((I))---- lim W@~),

(~4) Questo L e m m a ~ ben noto. Si cfr. lo% tit. in (2), A).

(~5) Loc. cir. in (~), A).

(~s) Loe. cir. in (~), B).

(21)

L. CESAR,;: ~dla tretsfor~(~zione dcgli intcgrali doppi ³⁴¹ allora le funzioni W(x, y ; (P~), p --~ 1, 2, ..., sono e q u i a s s o l u t a m e n t e integrabili in K e, q u a s i o v u n q u e in K si ha

(2) W(x, y ; ~ ) - - lira W(x, y; O~).

2. ~ D i m o s t r i a m o ora il s e g u e n t e

T~OI~EMX I I I . - 2~elle condizioni del teorema I I le funzioni n(w, y; (I)p) sono equiassotutamente integrabili in K e

(3) lim

f f ; _ ; ¢) t - o

Sia [7:~'*), i ~ 1, 2 .... , v,], u n a suceessione di g r u p p i di p o l i g o n i di A a due a due senza p u n t i interni in c o m u n e e tali che, indicate con c! "), i ~ 1, 2, ...'v,,, le c u r v e c o n t i n u e e chiuse i m m a g i n i detle poligonali el(n)* rispetto _.Li alla trasformazione • si abbia t E,~ I ~ 1/2~+~ ; ] I , I ~ 1/2 '~+~, o r e E , l' insieme dei p u n t i di K ricoperti dalle vn c u r v e c~'), i - ' - 1 , 2,..., e I , l ' i n s i e m e dei p u n t i di K p e r i quali (cfr. L e m m a 2 § 2) si ha

• (~,

y ; ¢ ) > ~: ! o(x, y; ci-~)l.

Siano c~'~,p ) le c u r v e c o n t i n u e e ehiuse iron: ~gini delle poligonali q~')* rispetto alle trasformazioni (I)~, E,~ l' i n s i e m e dei p u n t i di K ricoperti dalle c u r v e v~",p}, i - - 1 , 2, .... , v,., I . ~ 1' i n s i e m e dei p u n t i p e r i quali

• (~, y; % ) >

~ 1 o(~, y; ~?'~))l.

i = l

D i c i a m o infine H . ~ 1' i n s i e m e dei p u n t i di K nei quali, almeno p e r u n i - - 1 , 2, ..., v,,, si h a

o(~, y; ~$-,p))~: o(~, y; ~i-)).

E,, ~ 0 e, d' ultra parte, osservando che in tutti i I n t a n t o lim E . p - -

p ---~- oo

p u n t i di K ~ E . si ha

(4) lim 0(~, y ; v!~,~'))--~ 0(~¢, y ; v! n))

i 0 ~ c ¢

segue lira ( H , , ~ - E,~}--O. Sia I l' i n s i e m e di m i s u r a n u l l a dei p u n t i di K nei quali n o n vale la relazione

(5) ~(x, y; (I))= lira ~(x, y; %).

(27) I n a l t r e p a r o l e la s u c c e s s i o n e n ( x , y ; (~p), p ~ 1~ 2, ..., c o n v e r g e in m e d i a v e r s o la f u n z i o n e n ( x , y ; ~).

(22)

342 L. (~ESARI:

S'tdl(t lresformaz,ionc dcgli i~dcgralj doppi

Dalle (4) e (5) segue lim [/,,:0 -- I - - I,, - - E,,] - - 0 :

p ~ o o

Da tutte le relazioni trovate segue infine

lim [I,,,~ + E,,~ q - H,,~ - - I - - / , , - - g , , ] - - 0.

Sia ora s > 0 un n u m e r o arbitrario. Dalla e q u i a s s o l u t a integrabilit/~ dello f u n z i o n i W(x, y ; (I)~),p = 1, 2, ..., (teor. II) segue t h e esiste un n u m e r o z > 0 tale ehe per ogni insieme J d i K d i misura < z e per ogni intera p s i ha

f w(x, y; O~)dxdy < z, p - - l , 2, .... ,.

J

P o s s i a m o s u p p o r r e ~ cost piccolo affinchb si abbia p u r e

f f w(x, y; O)dxdy < ~.

J

Seegliamo ora un intero n tale che

t i , t <~]3, tE,, i <°/3.

I n corrisponden~a d e l l ' i n t e r o n scelto, d e t e r m i n i a m o un altro intero

.p.--lo(n, ¢)

tale che per ogni p ~ p si abbia

I I , , ~ + E , , ~ , + H . v - - I - - I . - - E , , I

< o 1 3 . P o n i a m o infine J~ ~ I ~ -i- E,E -~- H~p +- I q - I,~ --P E~.

t~ianifestamente per ogni p ~ p si ha

I J, I < + o + z / 3 + z/3 --- z.

P e r ogni punto Q ~ (~c, y) di K - - J p si ha

i = l i-~l

0 quindi, per quasi ogni punto di K ~ J ~ ,

n(x, y ; O)--n(a~,

y;

@~).

Si ha ora, per o g n i p > p ,

In(x, y; O r ) - n(x, y; O) Idxdy = ~ In(x, y; O~) l ..f-

z

Dall' arbitrarieth di ~ segue 17 asserto.

(23)

T.~. CESARI:

Sltlla frelsformelzione de(lli inteqrali doppi

³⁴³

3. - - D a l t e o r e m a I I I di q u e s t o § e d a l t e o r e m a I I I d e l § 3 s e g u e il TEOREMA IV. -

Se ~P : x--x.(u, v), y - - y ( u , v), (u, v)~A ~ una trasforma.

zione a variazione limitata, se

~P~: x , - - ~ ( u , v), y - - y ~ ( u , v), (u, v)¢A, p----l, 2,..., una successione di trasformazioni poliedriche tall che

l i m

:v~(u, v)-~ x(u, v),

l i m

y~(u, v ) ~ y(u, v)

p - - , , - o o p ~ OV

uniformemente in A e

lira

W((I)p)-- W(¢), se Cp, 19-- 1, 2,..., sono le curve

p ..--,- oO

piane continue immagini della 19eriferia A di A rispetto alle trasformazioni*

~9~ allora

] ] ] n(~, y; ~9) - - O(x, y; C~) I dxdy : - 0 (28).

l i m

J y K

§ 5. F o r m u l e p e r l a t r a s f o r m a z i o n e d e l l e a r e e .

1. m D i m o s t r i a m o il s e g u e n t e

TEOI~EMA I. -

Se¢P ~ una trasformazione assolutame~ite continua, allora

i~ ^{I H(u,} ^{v) l} d u d v - - ii l., . ~P)d~cdy, (1)

B

I n t a n t o (I) 6 a v a r i a z i o n e l i m i t a t a e q u i n d i le f u n z i o n i

~(x, y ; 4)) n(x, y;

(I)),

H(u, v)

sono i n t e g r a b i l i L.

S i a ~ 0 u n n u m e r o a r b i t r a r i o e sia 0 ~ a ~ e u n n u m e r o r e a l e t a l e c h e p e r o g n i i n s i e m e I di A e p e r o g n i i n s i e m e J d i B c o n ] I ] ~ : a , I J ] <2 si a b b i a

I J

S i a i n o l t r e c~, 0 ~ ¢~ ~ ~, u n n u m e r o r e a l e t a l e e h e p e r o g n i g r u p p o di p o l i g o n i Ir~, i - - 1, 2, ..., n I di A a d u e a d u e s e n z a p u n t i i n t e r n i in e o m u n e e ~. I r i l ~ %, si a b b i a

i = 1

i = l i--1

(~s) Qucsto t e o r e m a a s s i c u r a c h e l a f u n z i o n e n ( x , y ; ~p) coincide con la funziono indi.

cata d a R,. CACC]Oi,rOL] con p(x, "y). Cfr. ~ ) I a t h . A n n . ~), Bd. 101 (1929), pp. 672-685.

Sulla trasformazione degli integrali doppi.