Calcolo del termine incognito di una proporzione continua. Soluzioni guidate. Arithmetic - Ratio & Proportion Solved Exercises 1.

1. 6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24 _soluzione

2. 𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥 _soluzione

3. 18 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2 _soluzione

4. 28 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 7 _soluzione

5. 3 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 27 ^soluzione

6. 4 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 81 ^soluzione

7. 2 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 50 ^soluzione

8. 𝑥 ∶ 3 = 12 ∶ 𝑥 ^soluzione

9. 24 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 54 ^soluzione

10. 32 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 98 ^soluzione

11. 36 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 9 ^soluzione

12. 0,6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2,4 ^soluzione

13. 150 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 6 ^soluzione

14. 4,41 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 4 ^soluzione

15. 1

4

1

:x= x:25 soluzione

16. 5

16: 𝑥 = 𝑥:10

2 ^soluzione

17. 𝑥: 1

27=49

3 : 𝑥 ^soluzione

8 2

8

soluzione

23. 𝑥 ∶ 0, 1̅ = 5, 4̅ ∶ 𝑥 𝑥 ∶ 0, (1) = 5, (4): 𝑥

𝑥 =7 9 soluzione

24. 𝑥 ∶ 2, 6̅ = 0, 6̅ ∶ 𝑥 𝑥 ∶ 2, (6) = 0, (6) ∶ 𝑥

𝑥 =4 3 soluzione

25. 0, 3̅ ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 0, 1̅

) 1 ( , 0 : : ) 3 ( ,

0 x = x 3 3

= 1 x

soluzione

26. 



 

 +

 =









 



 



−

4 2 1 : 5 :

2 4

1 ²

x

x 20

= 9 x

soluzione

27. 3 2

3

1

4 2 1

− 3



 

 =  +

 





 

 :x x:

6

=7 x

soluzione

28.

( )



 

 +

=

− 7

2 2 : : 3 , 0 1 ,

1 x x

10

= 21 x

soluzione

29.



 

 +



 

 +

=

















+

− +

−

−

3 , 4 0 : 1 5 , 8 0 3

9 , 11 : 6 91 , : 2 3 :

, 0 1

3 25 1 , 0

2 6 1 , 0

75 , 0

1 x x 12

= 5 x

soluzione

30.

x

x :

1 1 11

2 1 3 5 6 7 1 7

5

3 :7 2 1 3 2 :

−

 

 +

−

= +



 −





 

 −

=1 x

soluzione



    



2 2 2 2

soluzione

34. 



 

 +

 =



 

 +

20 1 29 : 5 :

1 4 x x

10

= 21 x

soluzione

35. 



 

 −

 =



 

 −

20 3 11 : 5 :

2 1 x x

10

= 21 x

soluzione

36.

9 1 3 2 5 3

27 : 1 3 1 : : 8 1 7 2: 1

45 52

− +

=



 

 − x x 2

=3 x

soluzione

37. (3 −5

4+1 8−5

8) : 𝑥 = 𝑥: (2 +1 2−5

4) ^{𝑥 =5}₄

soluzione

38. [(1

2)

3

: (1 2)

2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1 2)

4

: (1 2)

3

] ^{𝑥 =}

5 2 soluzione

39.

[(1 +1 2) + (1

2)

4

: (1 2)

2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − ( 3 16:1

4) + 5

16] ^{𝑥 =}

21 16 soluzione

40. [1, 3̅ ∶ (0, 5̅ ∶ 0, 3̅ −1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −15

14∶ 1,5) ^{𝑥 =4}₇

soluzione

6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24 Proporzione continua

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha 𝑥 = √𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑖 𝑥 = √6 ∙ 24 = √144 = 12

oppure

𝑥 = √6 ∙ 24 = √6 ∙ 6 ∙ 4 = 6 ∙ 2 = 12

Oppure

6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24

Per la proprità fondamentale 𝑥 ∙ 𝑥 = 6 ∙ 24

𝑥² = 6 ∙ 24

Tralasciando, per ora, che se 𝑥² = 𝑎 abbiamo che 𝑥 non corrisponde alla √𝑎 abbiamo che 𝑥 = √6 ∙ 24 = √144 = 12

𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥 Proporzione continua

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha 𝑥 = √𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑖 𝑥 = √54 ∙ 6 = √324 = 18

oppure

𝑥 = √54 ∙ 6 = √9 ∙ 6 ∙ 6 = 3 ∙ 6 = 18

Oppure

𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥

Per la proprità fondamentale 𝑥 ∙ 𝑥 = 6 ∙ 54

𝑥² = 6 ∙ 54

Tralasciando, per ora, che se 𝑥² = 𝑎 abbiamo che 𝑥 non corrisponde alla √𝑎 abbiamo che 𝑥 = √6 ∙ 54 = √324 = 18

18 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2 Proporzione continua

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha 𝑥 = √𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑖 𝑥 = √18 ∙ 2 = √36 = 6

oppure

𝑥 = √18 ∙ 2 = √9 ∙ 2 ∙ 2 = 3 ∙ 2 = 6

Oppure

18 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2

Per la proprità fondamentale 𝑥 ∙ 𝑥 = 18 ∙ 2

𝑥² = 18 ∙ 2

Tralasciando, per ora, che se 𝑥² = 𝑎 abbiamo che 𝑥 non corrisponde alla √𝑎 abbiamo che 𝑥 = √18 ∙ 2 = √36 = 6

28 : x= x : 7

𝑥 = √28 ∙ 7 = √196 = 14

9 81 27 3

27 3

=

=



=



=

 x

x x

18 9 2 81 4 81 4

81 4

=



=



=



=



=

 x

x x

10 100 50

2 50 2

=

=



=



=

 x

x x

6 36 12 3

12 3

=

=



=



=

 x

x x

24 : x = x : 54

36 3 3 2 2 3 3 2 2

3 3 2 2 3 2 54 24

2 2 2 2

2 2

=







=







=

=











=



= x

32 : x= x : 98

𝑥 = √32 ∙ 98 = √16 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 49 = √16 ∙ 2²∙ 7² = 4 ∙ 2 ∙ 7 = 56

36 : x= x : 9

𝑥 = √36 ∙ 9 = √6²∙ 3² = 6 ∙ 3 = 18

0,6: 𝑥 = 𝑥: 2,4 6

10: 𝑥 = 𝑥:24 10 𝑥 = √ 6

10∙24

10= √2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2²

10² =12

10= 6 5

150 : x= x : 6

𝑥 = √150 ∙ 6 = √900 = 30

4,41: 𝑥 = 𝑥: 4 441

100: 𝑥 = 𝑥: 4 𝑥 = √441

100∙ 4 𝑥 =√441

√100∙ √4 = 21

10₅∙ 2 =21 5

1 4

1 :x =x:25

10 1 100

1 100

1 25

1 4

1 = = =

= x

5

16: 𝑥 = 𝑥:10 2 5

16: 𝑥 = 𝑥:5 1 𝑥 = √ 5

16∙5

1= √25 16= 5

4

𝑥: 1 27= 49

3 : 𝑥 𝑥 = √ 1

27∙49

3 = √49 81= 7

9

𝑥:8 3= 2

3: 𝑥 𝑥 = √8

3∙2

3= √16 9 = 4

3

16 : 3 49:

75 x =x

28 15 4 7

15 16 49

225 16

49 225

16 3 49 75

 =

 =

 =

=



=

x x

45 :28 7:

5 x =x

3 2 9 4 45 28 7

5 = =

= x

x

x :

5 4 45 :16 =

15 8 5 3

2 4 5 4 45 16

2 2

2

2 =



= 



= x

0,04̅ ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 1,6

( )

15 4 30

8 900

64 900

64 10

16 90

4 10 :16 90:

4

6 , 1 : : 4 0 , 0

=

=

=

=



=

=

=

x

x x

x x

𝑥: 0, (1) = 5, (4): 𝑥 𝑥:1

9= 54 − 4 9 : 𝑥 𝑥:1

9= 49 9 : 𝑥 𝑥 = √1

9∙49

9 = √49 81= 7

9

𝑥: 2, (6) = 0, (6): 𝑥 𝑥:26 − 2

9 =6

9: 𝑥

) 1 ( , 0 : : ) 3 ( ,

0 x =x

( )

3 3

1 3 9

1 27

1 9 1 9 3

9 :1 9:

3

) 1 ( , 0 : : 3 , 0

 =

=

=



=

=

=

x x x

x x

20 9 400

81 400

81 4

9 100

9 4 :9 100:

9

4 :9 100 :

16 25

4 :9 25 :

4 4 1

4 2 1 : 5 :

2 4

1 ²

=

=

=



=

=

 =



 



 −

 =

 

 −



 

 +

 =









 



 



−

x

x x

x x

x x

x x

3 2 3

1

4 2 1

− 3



 

 =  +

 





 

 :x x:

2 1 : 1 2 :

3 





 +



 =

 

 − x x

( )



 

 +

=

− 7

2 2 : : 3 , 0 1 ,

1 x x

10 9

3

9 2 2

7 7

9

16 7 7 9

16 7

16 9

4 3 1 3

 −

 

  =  +

 



 = 

=  = = =

x x x x

x ,



 

 +



 

 +

=

















+

− +

−

−

3 , 4 0 : 1 5 , 8 0 3

9 , 11 : 6 91 , : 2 3 :

, 0 1

3 25 1 , 0

2 6 1 , 0

75 , 0

1 x x

17 9

25 16 17

3 1 7 17

1 3

7 25 16

17

3 2 119

1 6 175 16

17

2 3 119

1 18 525 16

7 2 3

2 3 119

1 90 2625 3

4 12

7 6 1 4 1

12 7 8 7 119

10 900

291 2916 3

1 1 3 1 4 1 2 1 3 2 4 1

 =



=



 



 

 

 

=





 



  



=





 



 



 



 



=





 

 −



 



 



 



 



=





 



  − 



 



 



 

 





 



 − 



=





 



 



 

 +





 

 +

−



 

 −



x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x :

4 1 3 1 12 11

2 1 3 5 6 7

10 1 7 9 5

3 :7 2 1 3 2 :

−



 



 +

−

= +



 

 −





 

 −

3 1 7 7 3

3 7 7 3

6 14 1 6 14

1 12

3 15

6 14

6 1 14

1

4 1 12 15 6 14

10 3 9 5

7 3 6 1

4 1 12

4 11

6 3 10 7

10 7 10 9 5

7 3 6

3 4

=



=



=





=



 



 



− 

=





−

=



 









 









−



 



 +

− +

=



 



 −







 



 −



x

x x

x x

x x

x x

x x

( )



 

 +

=

− 7

2 2 : : 3 , 0 1 ,

1 x x

3 , 3 1 4 9 16 7

16 9 7

7 :16 9:

7

7 2 2 : 9 :

3 9 10

=

=

=



=

=



 

 +

 =



 



 −

x x x

x x

(1 + 1, 6̅) ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ (1 − 0, 3̅)

(

)

(

)

3 4 9 16 3

2 3 8

3 :2 3:

8

3 :2 3 :

1 5

3 1 1 : 9 :

1 15

9 1 3 : 9 :

1 1 16

=

=



=

=

 =



 

 +



 

 −

 =



 

 +



 

 −

 =



 



 + −

x x x

x x

x x

x x











 



 







 

 +

 =



 

 + ^{3 2}

2 1 2

1 1 : : 2 1

1 x x

2 3 4 9 4 9 2 3 2 3

2 :3 2:

3

2 1 1 : 2:

3

2 1 1 : 2:

3 ^{3 2}

=

=

=



=

=



 +

=











 



 

 +

=

−

x x x

x x

x x

10 21 10

7 3 100

49 9 20 49 5 9

20 1 29 5 1 4

20 1 29 : 5 :

1 4

 =

 =

=



=



 

 +





 

 +

=



 

 +

 =



 

 + x

x x

10 21 10

7 3 100

49 9 20 49 5 9

20 11 60 5

1 10

20 3 11 : 5 :

2 1

 =

 =

=



=



 



 −





 



 −

=



 

 −

 =



 

 − x

x x

2 3 4 9 4

1 9 1 1 52

45 9 45 13

52 45 :9 45:

13

52 9 45 : 4:

1 45 52

45 52 : 9 :

1 8 2 1

45 52

45 5 30 27

1 27 3 1 : : 8 :1 2 1

45 52

9 1 3 2 5 3

27 : 1 3 1 : : 8 1 7 2: 1

45 52

=

 =



 =



=

= 



=



=



− +

= 

− +

=



 

 −

x

x x

x x

x x

x x

x x

(3 −5 4+1

8−5

8) : 𝑥 = 𝑥: (2 +1 2−5

4) (24 − 10 + 1 − 5

8 ) : 𝑥 = 𝑥: (8 + 2 − 5

4 )

10

8 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶5 4 𝑥 = √10

8 ∙5 4= √5

4∙5 4=5

4

[(1 2)

3

: (1 2)

2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1 2)

4

: (1 2)

3

]

[(1 2)

3−2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1 2)

4−3

] [1

2+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 +1 2] 5

2: 𝑥 = 𝑥:5 2 𝑥 = √5

2∙5 2= 5

2

[(1 +1 2) + (1

2)

4

: (1 2)

2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − (3 16:1

4) + 5 16] [(2 + 1

2 ) + (1 2)

4−2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − ( 3 16∙4

1) + 5 16] [3

2+1 4]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 −3 4+ 5

16] [6 + 1

4 ]

2

: 𝑥 = 𝑥: [16 − 12 + 5

16 ]

49

16∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 9 16 𝑥 = √49

16∙ 9 16

𝑥 = √7² 4²∙3²

4² = 21 16

[1, 3̅ ∶ (0, 5̅ ∶ 0, 3̅ −1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −15

14∶ 1,5) [1, (3): (0, (5): 0, (3) −1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −15 14:3

2) [13 − 1

9 : (5 9:3

9−1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −15⁵ 14₇∙2

3) [12

9 : (5 3−1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −5 7) [4

:10 − 3

] : 𝑥 = 𝑥:7 − 5

Keywords

Matematica, Aritmetica, Proporzionalità, Proporzioni, calcolo del termine incognito di una proporzione, estremi, medi, proporzioni, risolvere una proporzione, ricerca termine incognito, proporzioni continue, incognita, x, medio proporzionale, esercizi con soluzioni

Math, Arithmetic, Proportion, Proportionality, extremes, means, solving a proportion, proportionality problem, Math solved exercises

Matemática, Aritmética, Proporción Mathématique, Arithmétique, Proportion

Mathematik, Arithmetik, das Verhältnis

Arabic: دَدَع ،مْجَح ،هَّيِمَك Chinese 比例

Czech: poměr Danish: forhold

Dutch: verhouding Estonian: (õige) vahekord

Finnish: suhde Greek: αναλογία Hungarian: arány

Icelandic: hlutfall Indonesian: perbandingan

Japanese: 割合

Korean: (양·크기·수 따위의) 비, 비율 Latvian: proporcija; attiecība; samērs Lithuanian: proporcija, santykis

Norwegian: forhold Polish: proporcja Portuguese: proporção

Romanian: proporţie Russian: пропорция

Slovak: pomer, podiel