CALCOLO DEL TERMINE: <∇Φ, f

APPENDICE B

CALCOLO DEL TERMINE: <∇Φ, f

>

Si vuole dimostrare che:

^{<∇Φ, >=−}

∫∫

S

S _m dS

m f

f

Per raggiungere tale scopo conviene scegliere un sistema di riferimento cartesiano con i versori ix ed iy appartenenti al piano individuato dalla generica faccia S e con l’origine coincidente con uno dei vertici del triangolo:

y

y = bx

y = ax C

B P

A x^* x^**

y = -cx+d

x

fig. 1.B - Sistema di riferimento solidale con la faccia

S.Mugnaini – Tesi di Laurea: “Implementazione di un codice...”

La scelta di un simile sistema di riferimento fa sì che la funzione peso, in ogni punto, sia un vettore avente componente nulla lungo l’asse z.

Ricordando l’espressione del gradiente:

z y

x y z

x i i i

∂ Φ +∂

∂ Φ +∂

∂ Φ

= ∂ Φ

∇ (B.2)

e del prodotto scalare tra due vettori:

A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz (B.3)

il primo membro della (B.1) diventa:

∫∫

∫∫

=

>

, Φ

∇

<

S S

) , ( f )

, ( f )

, ( ) , ,

( x y dxdy

y y x x

dy dx y x z

y

x _{m mx my}

m f

f

(B.4)

Ricordando l’espressione della funzione di base descritta dalla (1.2.1) e suddividendo l’ultimo integrale della (B.4) in due integrali uno su S⁺ e l’altro su S^-, si ha:

∫∫

∫∫

∫∫

±

±

±

±

±

∂

Φ

± ∂

∂ Φ

± ∂

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

S S

S

2 2

) , ( f )

, ( f

dy A dx

y l dy y

A dx x l x

dy dx y y x

y x x

m m m

m

my mx

(B.5)

152

APPENDICE B

Il primo integrale, nel secondo membro della (B.5), può essere risolto attraverso un’integrazione per parti rispetto alla variabile x:

∂ = Φ

± ∫∫ ∂

± ±

S

2

) , ,

( dx dy

A x l x

z y x

m m

{

∫∫ }

∫

∫

±

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ Φ

−

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ Φ

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ Φ

±

=

± +

−

±

±

S 0

) 2 , , (

) 2 , , 2 (

) , , (

*

*

*

*

dy A dx

z l y x

A dy x z l y x A dy

x z l y x

m m d

cx

ax

x

m x m bx

ax

x

m m

(B.6)

Analogamente si procede per il secondo integrale (questa volta integrando per parti rispetto alla variabile y), ottenendo un’espressione simile alla precedente.

La somma dei primi due termini del secondo membro della (B.6) è nulla:

2 0 ) , , (

) 2 , , 2 (

) , , (

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

= Φ

−

+ Φ

+ Φ

∫

∫

∫

+

−

±

+

−

±

±

A dy x z l y x

A dy x z l y x A dy

x z l y x

d cx

ax m

m

d cx

ax m

m bx

ax m

m

(B.7)

infatti il secondo integrale della (B.7) è nullo perché ax^**=-cx^**+d (come si vede dalla fig. 1.B), mentre il primo ed il terzo integrale coincidono poiché –cx^*+d=bx^* (sempre dalla fig. 1.B). Di conseguenza la (B.6) diviene:

153

S.Mugnaini – Tesi di Laurea: “Implementazione di un codice...”

^± ∫∫

^{∂ Φ} _∂

⁼ ∫∫

^⎢ _⎣ ^{⎡ Φ}

^⎥ _⎦ ^⎤

S

S

( , , ) 2

2 ) , ,

( dx dy

A z l y x dy

A dx x l x

z y x

m m m

m

∓

Com già detto il secondo integrale, nel secondo membro della (B.5),

uindi la (B.4) diventa:

e

fornisce lo stesso contributo; perciò si ha:

Q

[ ]

∫∫

∫∫

∫∫

⋅

∇ Φ

−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ Φ

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ Φ

−

=

>

, Φ

∇

<

−

+ + −

S

S S

) , , (

) , , ( )

, , (

dy dx z

y x

dy A dx

z l y x dy

A dx z l y x

m

m m m

m m

f f

∫∫

⎥

⎢ ⎦

⎣ Φ

=

>

, Φ

∇

<

S

) , ,

( dx dy

z A y x

m

m

∓

f_±

⎡ l

⎤

(B.10) (B.9)

ove l’ultima uguaglianza si deduce ricordando l’espressione (2.3.19) della

ò essere riscritto in maniera compatta otten

<∇ Φ, f m>= - < Φ, ∇ ⋅f m> c.v.d. (B.11)

d

divergenza della funzione di base.

Infine il prodotto interno pu endo:

154