Sottospazi in generale 01/11
Riassunto
Sia W uno spazio vettoriale. Un sottoinsieme U di W si chia- ma sottospazio se U è chiuso rispetto alla somma e il prodotto (tra elementi di U e scalari).
Se U , V sono sottospazi, allora U ∩V è sempre un sottospazio.
L’intersezione non è mai vuota: contiene almeno il vettore nullo 0 (un elemento che esiste in qualsiasi spazio vettoriale).
La somma U + V di due sottospazi è il sottospazio ‘generato’
da U e V nel senso che consiste di tutte le CL di elementi di U e V , più semplicemente
U + V = {u + v : u ∈ U , v ∈ V }.
È il sottopsazio più piccolo che contiene entrambi U , V , e quindi la loro unione U ∪ V . L’unione non è un sottospazio in generale (è sottospazio solo se solo se U ⊆ V o V ⊆ U ).
La formula di Grassmann afferma che
dimU + dim V = dim(U ∩ V ) + dim(U + V )
(suppondendo che le dimensioni siano finite). Segue dal fatto che è sempre possibile scegliere una base
{w1, . . . , wk, uk+1, . . . , up, vk+1, . . . , vq} di U + V per cui
{w1, . . . , wk} è una base di U ∩ V {w1, . . . , wk, uk+1, . . . , up} · · · U {w1, . . . , wk, vk+1, . . . , vq} · · · V
e quindi dim(U + V ) = p + q − k = dim U + dim V − dim(U ∩ V ).
La formula di Grassmann (c. 1860)
Teorema Sia W uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Siano U , V sottospazi di W con dim U = p , dim V = q. Allora dimU + dim V = dim(U ∩ V ) + dim(U + V ).
Esempio W = R3, U = L (i, j) , V = L (i, k). Allora U ∩ V = L (i), U + V = R3
e abbiamo 2 + 2 = 1 + 3.
Un’altra dimostrazione (non richiesta per l’esame) 1. Definiamo un nuovo spazio vettoriale
P = U × V
i cui vettori sono le coppie (u, v) con le operazioni (u1, v1) + (u2, v2) = (u1+u2, v1+v2),
λ(u, v) = (λu, λv).
2. Se (u1, . . . , up) è una base di U e (v1, . . . , vq) una di V , si verifichi che i ‘vettori’
(u1, 0), . . . , (up, 0), (0, v1), . . . , (0, vq) costituiscono una base di P . Quindi dim P = p + q.
3. Sia f : P → W l’applicazione f ((u, v)) = u + v. Allora f è lineare e Imf = U + V . Inoltre,
kerf = {(w, −w) : w ∈ U ∩ V }
ha la stessa dimensione di U ∩ V . La formula di Grassmann segue dalla formula ‘nucleo-immagine’:
dimP = dim(ker f ) + dim(Im f ).
