Esercizi di Algebra Lineare Spazi e sottospazi vettoriali
Anna M. Bigatti 13 dicembre 2012
1 Sottospazi vettoriali
Abbiamo visto che in V = Kn abbiamo due operazioni, la somma di vettori e il prodotto per uno scalare, e valgono queste propriet`a: ∀α, β ∈ K e ∀v, w ∈ V
(a) Associativit`a del prodotto (per uno scalare): α · (β · v) = (α · β) · v (b) Neutralit`a di 1 rispetto al prodotto: 1 · v = v
(c) Distributivit`a del prodotto rispetto alla somma di vettori: α · (u + v) = α · u + α · v (d) Distributivit`a del prodotto rispetto alla somma di scalari: (α + β) · v = α · v + β · v Quando valgono queste propriet`a diciamo che V `e un K -spazio vettoriale.
Esempio 1. In questo corso tratteremo in particolare di sottospazi di Rn ma la nozione di spazi e sottospazi vettoriali si applica molto pi`u in generale: per esempio
• Q3 `e un Q -spazio vettoriale (trascurando il prodotto vettoriale);
• Mat2(R) `e un R -spazio vettoriale (trascurando il prodotto di matrici);
• l’insieme dei polinomi R[x] `e un R -spazio vettoriale (trascurando il prodotto di polinomi);
• Mat3,5(R) `e un R -spazio vettoriale;
• R `e un Q -spazio vettoriale;
• l’insieme delle funzioni R −→ R `e un R -spazio vettoriale;
• l’insieme delle funzioni continue R −→ R `e un R -spazio vettoriale;
• l’insieme delle funzioni derivabili R −→ R `e un R -spazio vettoriale.
Definizione 2. Sia W un R -spazio vettoriale:
• Dati due elementi (vettori) u, v ∈ W , la combinazione lineare di u e v con coefficienti α, β ∈ R `e l’elemento (vettore) α · u + β · v ∈ W .
La combinazione lineare di u1, .., us con coefficienti α1, .., αs `e Ps
i=1αi· ui.
• Dato un sottoinsieme U ⊆ W si dice che U `e un sottospazio di W se qualunque combinazione lineare di elementi di U appartiene a U .
Equivalentemente: qualunque combinazione lineare di due elementi di U appartiene a U
∀ u, v ∈ U e ∀ α, β ∈ R si ha α · u + β · v ∈ U
• Dato un sottoinsieme G ⊆ W indichiamo con hGi il sottospazio generato da G , cio`e l’insieme di tutte le combinazioni lineari di elementi di G (`e un sottospazio).
NB: in particolare contiene tutti i multipli di elementi di G e il vettore nullo.
Esempio 3.
(a) L’insieme dei vettori di Rn con prima coordinata nulla `e un R -sottospazio di Rn; l’insieme dei vettori di Rn con prima coordinata uguale a 1 non lo `e.
(b) L’insieme Q non `e un R -sottospazio di R .
(c) L’insieme dei polinomi in R[x] di grado minore di 5 (con il polinomio nullo) `e un R - sottospazio di R[x] ; l’insieme dei polinomi di grado pari no.
(d) L’insieme dei vettori applicati nell’origine che giacciono su un piano (passante per l’origi- ne) `e un R -sottospazio di R3;
Esercizio 4. Siano w1= (3, 1, 0) e w2= (−1, 2, 1/2) in R3 e U = hw1, w2i ⊆ R3. (a) Trovare, se esiste, un vettore u 6= 0 in U con prima coordinata nulla.
(b) `E vero che (w1, w2) genera U ? (c) `E vero che (u, w2) genera U ?
Esercizio 5. Siano U1, U2 sottospazi di W . Allora U1∩ U2 `e sottospazio di W .
Definizione 6. Sia W un K -spazio vettoriale: Dati s elementi v1, . . . , vs ∈ W si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare che d`a il vettore nullo `e quella con tutti coefficienti nulli.
• Equivalentemente: se ogni elemento di hw1, . . . , wsi si scrive in modo unico come combi- nazione lineare di elementi di w1, . . . , ws.
Se invece esistono α1, . . . , αs∈ K non tutti nulli tali che α1· w1+ · · · + αs· ws= 0W, si dicono linearmente dipendenti.
Esempio 7. I vettori v = (1, 0, 0) e w = (0, 1, 0) ∈ R3 sono linearmente indipendenti perch´e a · v + b · w = 0 implica a = b = 0 .
I vettori w = (1, 2, 0), u, v sono linearmente dipendenti perch´e u + 2v − w = (0, 0, 0) .
Esercizio 8. Calcolare il rango di A =
1 2 3 4
1 5 6 7
2 7 9 11
. Dire se le righe di A sono linearmente dipendenti, se s`ı, mostrare una combinazione lineare nulla a coefficienti non nulli.
Soluzione
B := Mat(K, [
[1, 2, 3, 4], [1, 5, 6, 7], [2, 7, 9, 11]
]); B;
I := IdentityMat(K,3);
E1 := Eso(I,2,1, -1);
E2 := Eso(I,3,1, -2); E2*E1*B;
-- [[1, 2, 3, 4], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, 3, 3, 3]]
E3 := Eso(I,3,2, -1); E3*E2*E1*B;
-- [[1, 2, 3, 4], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, 0, 0, 0]]
Quindi rk(A) = 2 .
Osserviamo che abbiamo ottenuto una riga nulla sommando alla terza riga una combinazione lineare delle prime due.
Osserviamo anche che le righe ottenute sono un diverso sistema di generatori per lo spazio generato dalle tre righe originarie.
Possiamo ricostruire la combinazione lineare nulla, ma vediamo questo approccio diretto: vo- gliamo trovare a, b, c ∈ R tali che a · (1, 2, 3, 4) + b · (1, 5, 6, 7) + c · (2, 7, 9, 11) = 0R4. Questo equivale a risolvere il sistema omogeneo che ha come matrice dei coefficienti Atr (che ha lo stesso rango di A ):
C := transposed(B); C;
-- [[1, 1, 2], -- [2, 5, 7], -- [3, 6, 9], -- [4, 7, 11]]
I := IdentityMat(K,4);
E1 := Eso(I,2,1, -2);
E2 := Eso(I,3,1, -3);
E3 := Eso(I,4,1, -4); E3*E2*E1*C;
-- [[1, 1, 2], -- [0, 3, 3], -- [0, 3, 3], -- [0, 3, 3]]
E4 := Eso(I,3,2, -1);
E5 := Eso(I,4,2, -1); E5*E4 * E3*E2*E1 * C;
-- [[1, 1, 2], -- [0, 3, 3], -- [0, 0, 0], -- [0, 0, 0]]
Quindi rk(A) = 2 (come prima, ovviamente). Ma abbiamo anche che il sistema lineare omo- geneo associato ha soluzione generale (−t, −t, t) , in particolare (1, 1, −1) , che significa che 1 · (1, 2, 3, 4) + 1 · (1, 5, 6, 7) − 1 · (2, 7, 9, 11) = 0R4.
Deduciamo che (1, 2, 3, 4) e (1, 5, 6, 7) sono un sistema di generatori per lo spazio generato
dalle tre righe originarie. ut
Definizione 9. Un sottoinsieme insieme G di uno spazio U si dice base di U se
• genera U
• `e formato da vettori linearmente indipendenti.
Definizione 10. I vettori e1 = (1, 0, 0, .., 0) , e2 = (0, 1, 0, .., 0) , ... en = (0, 0, 0, .., 1) in Rn formano una base di Rn che si chiama base canonica e si indica con E .
Proposizione 11. Sia U uno spazio vettoriale.
(a) Tutte le basi di U hanno la stessa cardinalit`a
(b) Da qualunque insieme di generatori si pu`o estrarre una base.
Definizione 12. La dimensione di U di un sottospazio `e la cardinalit`a di una base di U . Esercizio 13. Sia G = ((1, 2, 3, 4), (1, 5, 6, 7), (2, 7, 9, 11), (7, 8, 9, 10), (1, 1, 1, 1)) una lista di vettori in R4. Calcolare una base del sottospazio vettoriale di R4 generato da G .
Soluzione
R ::= QQ[a,b,c,d];
K := NewFractionField(R);
Use K;
B := Mat(K, [[1, 2, 3, 4], [1, 5, 6, 7], [2, 7, 9, 11], [7, 8, 9, 10], [1, 1, 1, 1]
]); B;
I := IdentityMat(K,5);
E1 := Eso(I,2,1, -1);
E2 := Eso(I,3,1, -2);
E3 := Eso(I,4,1, -7);
E4 := Eso(I,5,1, -1); E4*E3*E2*E1*B;
-- [[1, 2, 3, 4], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, -6, -12, -18], -- [0, -1, -2, -3]]
E5 := Eso(I,3,2, -1);
E6 := Eso(I,4,2, +2);
E7 := Eso(I,5,2, 1/3); E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*B;
-- [[1, 2, 3, 4], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, 0, 0, 0], -- [0, 0, -6, -12], -- [0, 0, -1, -2]]
E8 := Esc(I,3,5);
E9 := Eso(I,4,3, -6); E9*E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*B;
-- [[1, 2, 3, 4], -- [0, 3, 3, 3], -- [0, 0, -1, -2], -- [0, 0, 0, 0], -- [0, 0, 0, 0]]
Il sottospazio generato da G ha dimensione 3, e una base `e F = ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 2))
(perch´e generano lo stesso sottospazio e sono linearmente indipendenti). ut Esercizio 14. Sia G = ((1, 2, 3, 4), (1, 5, 6, 7), (2, 7, 9, 11), (7, 8, 9, 10), (1, 1, 1, 1)) una lista di vettori in R4. Estrarre da G una base del sottospazio generato da G .
Soluzione
Cerchiamo un sottoinsieme di G formato da vettori linearmente indipendenti e che generino lo stesso sottospazio. Le combinazioni lineari nulle di vettori di G
α1g1+ · · · + α5g5= (0, 0, 0, 0)
sono quelle che hanno coefficienti α = (α1, . . . , α5) soluzione del sistema A · α = 0 dove A `e la matrice che ha per colonne le coordinate dei 5 vettori di G
A := Mat(K,[[1, 1, 2, 7, 1], [2, 5, 7, 8, 1], [3, 6, 9, 9, 1], [4, 7, 11, 10, 1] ]);
I := IdentityMat(K,4);
-- prima colonna E1 := Eso(I,2,1, -2);
E2 := Eso(I,3,1, -3);
E3 := Eso(I,4,1, -4); E3*E2*E1 * A;
-- [1, 1, 2, 7, 1], -- [0, 3, 3, -6, -1], -- [0, 3, 3, -12, -2], -- [0, 3, 3, -18, -3]
-- seconda colonna E4 := Eso(I,3,2, -1);
E5 := Eso(I,4,2, -1); E5*E4 * E3*E2*E1 * A;
-- [1, 1, 2, 7, 1], -- [0, 3, 3, -6, -1], -- [0, 0, 0, -6, -1], -- [0, 0, 0, -12, -2]
-- quarta colonna
E6 := Eso(I,4,3, -2); E6 * E5*E4 * E3*E2*E1 * A;
-- [1, 1, 2, 7, 1], -- [0, 3, 3, -6, -1], -- [0, 0, 0, -6, -1], -- [0, 0, 0, 0, 0]
La prima, seconda e quarta colonna di A (corrispondenti ai pivot) corrispondono a un sottoin- sieme massimale di vettori linearmente indipendenti:
F = ((1, 2, 3, 4), (1, 5, 6, 7), (7, 8, 9, 10))
quindi F `e base di hGi . ut
Esercizio 15. Sia data in Mat3(Q) la matrice A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(a) Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R3 generato dalle righe di A . (b) Determinare una base di tale spazio.
Esercizio 16. Sia data in Mat3(Q) la matrice A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(a) Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R3 generato dalle colonne di A . (b) Determinare una base di tale spazio.
Esercizio 17. Siano w1= (3, 1, 0, −7), w2= (−1, 2, 1/2, 5), w3= (0, 14, 3, 16) in R4 e sia U il sottospazio generato da w1, w2, w3.
(a) Trovare, se esiste, un vettore non nullo in U con le prime due coordinate nulle;
(b) E’ vero che (w1, w2, w3) `e una base di U ?
Esercizio 18. Siano w1= (3, 1, 0, −7), w2= (1/2, 7, 3/2, 8), w3= (1, 14, 3, 16) in R4 (a) F = (w1, w2) `e una base di hF i ?
(b) F = (w1, w3) `e una base di hF i ? (c) F = (w2, w3) `e una base di hF i ? (d) hw1, w2i = hw1, w3i ?
(e) hw1, w2i = hw2, w3i ?
